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文档简介

1、第五节 充分统计量,1、充分性的概念 2、因子分解定理,一、充分性的概念,不损失信息的统计量就是充分统计量.它概括了样本中所含未知参数的全部信息.,例1 为研究某运动员的打靶命中率, 对其进行测试。观测10次，发现除第三、六次未命中外，其余八次都命中。此观测结果包括两种信息： （1）打靶10次命中8次； （2）两次未命中出现在第三、六次打靶上。,例2 设总体X分布为b(1,), X1 , X2, Xn是取自总体的样本，令T=X1 +.+Xn , 则在给定T 的取值 t 后, 对任意一组 , 有,该条件分布与无关，因而T是充分统计量。,注1：用条件分布与未知参数无关来表示统计量不损失样本中有价值

2、的信息的方法是可行的.,2：充分统计量不唯一. 实际上, 样本本身就是参数的一个充分统计量. 由此, 充分统计量总存在.,3：若样本容量为n, （在上例中）则T1=x1+x2不是充分统计量. 显然,它浪费了n-2个样品的信息.,定义:,注：条件分布可用条件分布列或条件密度函数来表示.,定理1：设T=T(x1,xn)是参数的一个充分统计量，z=(t)具有单值反函数，则Z=(T)也是的一个充分统计量.（即充分统计量经一一对应变换后仍是充分统计量）,T和可以是向量,维数不一定相同,定理2：,以下统称分布列和密度函数为概率函数.,二、因子分解定理,其中g( t,)是通过统计量T 的取值而依赖于样本的，

3、 而h(x1,xn)不依赖于.,例4 设x1 , x2, xn是取自总体N(,1) 的样本， 令 , 则T 为 的充分 统计量.,由因子分解定理可知, 是的充分统计量。,证：,例5 设总体X分布为U(0,), x1 , x2, xn是取自总体的样本，则T=x(n) 是 的充分统计量.,由因子分解定理可知,T=x (n)是的充分统计量。,证：,例6 设总体X分布为N(,2), x1 , x2, xn是取自总体的样本，=( ,2) 是未知的, 则 是的充分统计量. 进一步, 它的一一对应变换 仍是充分统计量.,证：,注：若是参数向量，T是随机向量，且满足因子分解定理的条件，则T是的充分统计量. 但不能由T关于是充分的, 推出T 的第i 个分量关于的第i 个分量也是充分的.,例7. 设x1 , x2, xn是取自均匀分布U(,2)的样本，其中参数0，试给出充分统计量.,例8 设x1 , x2, xn是取自总体X的样本，其中X的密度为,试给出一个充分统计量. (P283),由因子分解定理可知, 是的充分统计量。,注：因为充分统计量的一一对应变换仍是充分统计量. 故例8中 几何平均 及其对数 都是的

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