九年级数学上《圆周角》（谷风课堂）

1、24.1.4圆周角,探索圆周角和圆心角的关系 理解圆周角和圆心角的概念及性质 体会分类归纳等数学方法,教学目标:,2,沐风教育,一、旧知回放:,答：相等.,1.圆心角的度数和它所对的弧的度数的关系?,B,2、(05年茂名)下列命题是真命题的是( ) 1)垂直弦的直径平分这条弦 2)相等的圆心角所对的弧相等 3)圆既是轴对称图形,还是中心对称图形 A 1) 2) B 1) 3) C 2) 3) D 1) 2) 3),3,沐风教育,课前热身,1、如图，O中，AOB=100，则AB弧的度数为_，AnB弧的度数为_。,100,260,2、判断题： (1)相等的圆心角所对的弧相等 。 (2)等弦对等弧

2、。 (3)等弧对等弦 。 (4)长度相等的两条弧是等弧 。 (5)平分弦的直径垂直于弦 。,4,沐风教育,1.圆心角的定义?,答:顶点在圆心的角叫圆心角.,复习,5,沐风教育,特征：, 角的顶点在圆上., 角的两边都与圆相交.,圆周角定义: 顶点在圆上, 并且两边都和圆相交的角 叫圆周角.,6,沐风教育,辩一辩 图中的CDE是圆周角吗?,圆周角：_，并且的角_。 圆心角: _ 的角.,顶点在圆上,两边都和圆相交,顶点在圆心,7,沐风教育,辨别是非,如图所示的角，哪些是圆周角,8,沐风教育,有没有圆周角？,有没有圆心角？,它们有什么共同的特点？,它们都对着同一条弧,9,沐风教育,下列图形中，哪些

3、图形中的圆心角BOC和圆周角A是同对一条弧。,10,沐风教育,问题：圆周角的度数与相应的圆心角度数有 什么关系？,(1)当圆心在圆周角的一边上时,探究一：,证明:(圆心在圆周角上),结论：一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,C,O,B,A,11,沐风教育,2.当圆心在圆周角外部时,结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD = AOD,CBD = COD,D,12,沐风教育,3.当圆心在圆周角内部时,提示:能否转化为1的情况?,过点B作直径BD.由1可得:, ABC = AOC.,ABD =

4、 AOD,CBD = COD,结论:一条弧所对的圆周角等于它所对圆心角的一半.,13,沐风教育,结论:,圆周角的定理： 在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半。,14,沐风教育,A,B,C,O,如图，已知在 O 中，BOC =150，求A,15,沐风教育,2、如图，A是圆O的圆周角，,A=40，求OBC的度数。,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,130,C,C,D,B,3、 如图，在直径为AB的半圆中，O为圆心，C、D为半圆上的两点，COD=500，则CAD=_,25,做做看，收获知多少？,一、判断 1、顶点在圆上

5、的角叫圆周角。 2、圆周角的度数等于所对弧上的圆心角度数的一半。,36或144,2 、如图，已知圆心角AOB=100，求圆周角 ACB=_、ADB=_。,1、半径为R的圆中，有一弦分圆周成1：4两部分，则弦所对的圆周角的度数是 。,二、计算,130,50,3.已知O中弦AB的等于半径,求弦AB所对 的圆心角和圆周角的度数.,圆心角为60,圆周角为30,或150.,19,沐风教育,1、已知AOB75， 求：ACB= 。,2、已知AOB120， 求： ACB =,3、已知ACD30， 求：AOB =,4、已知AOB110， 求：ACB =,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,3、如图，

6、AB是O的直径，AOD是圆心角， BCD是圆周角， 若BCD=25，则AOD= 。,130,21,沐风教育,例1.如图：OA、OB、OC都是 O的半径 AOB=2BOC. 求证：ACB=2BAC.,AOB=2BOC,ACB=2BAC,证明：,规律:解决圆周角和圆心角的计算和证明问题,要准确找出同弧所对的圆周角和圆心角,然后再灵活运用圆周角定理,ACB= AOB,BAC= BOC,22,沐风教育,第二课时,23,沐风教育,圆周角: ABC, ADC, AEC. 这三个角的大小有什么关系?.,圆周角,当球员在B,D,E处射门时,他所处的位置对球门AC分别形成三个张角ABC, ADC,AEC.这三个

7、角的大小有什么关系?.,24,沐风教育,如图是一个圆柱形的海洋馆的横截面的示意图,人们可以通过其中的圆弧形玻璃AB 观看窗内的海洋动物,同学甲站在圆心的O 位置，同学乙站在正对着玻璃窗的靠墙的位置C，他们的视角（AOB 和ACB）有什么关系？如果同学丙、丁分别站在他靠墙的位置D和E，他们的视角（ ADB 和AEB ）和同学乙的视角相同吗？,探 究,25,沐风教育,试找出下图中所有相等的圆周角。,同弧或等弧所对的圆周角相等； 同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧相等。,思考：1、“同圆或等圆”的条件能否去掉？ 2、判断正误：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、 两条弧、两条弦、两条弦心距、两个圆周角中

8、有一 组量相等，那么它们所对应的其余各组量也相等。,4、如图，AB是O的直径 = ，A=30，则BOD= 。,5、如图，OA、OB、OC都是O的半径，AOB=2BOC，ACB与BAC的大小有什么关系？为什么？,60,28,沐风教育,1.半圆或直径所对的圆周角等于多少度？,推论： 半圆或直径所对的圆周角都相等,都等于90(直角).反过来也是成立的,即90的圆周角所对的弦是圆的直径,探究二：,O,A,B,C,2.90的圆周角所对的弦是 否是直径？,画板3,29,沐风教育,半圆（或直径）所对的圆周角是90； 90的圆周角所对的弦是直径。,如果三角形一边上的中线等于这条边的一半，那么这个三角形是直角三

9、角形。,什么时候圆周角是直角？反过来呢？ 直角三角形斜边中线有什么性质？反过来呢？,例题:如图，AB为O的直径， A=70，求ABC的度数。,A,B,C,O,解： AB为O的直径 C=90，又A=70 B=20 ,31,沐风教育,AB是O的直径,BCD=300,则ABD=_,300,32,沐风教育,例 如图，O直径AB为10cm，弦AC为6cm，ACB的平分线交O于D，求BC、AD、BD的长,又在RtABD中，AD2+BD2=AB2，,解：AB是直径，, ACB= ADB=90,在RtABC中，,CD平分ACB，,AD=BD.,例题,33,沐风教育,1.如图, 内接于O, , , BD是O的直

10、径, BD交AC于点E, 连接DC, 则 （ ）. A. B. C. D.,34,沐风教育,.如图AB是O的直径, C ,D是圆上的两点,若 ABD=40,则BCD=.,40,提示:连接AD,50,35,沐风教育,2.如图所示,O为 的外接圆, CE是O的直径, 于D, 求证： .,36,沐风教育,练习：,2.如图，圆心角AOB=100，则ACB=_。,1.求圆中角X的度数,C,C,D,B,3.半圆（或直径）所对的圆周角是_，90的圆周角所对的弦是_。,37,沐风教育,4.如图, 内接于O, , AB=AC, BD为O的直径, AD=6, 则BC= .,38,沐风教育,如图 AB是O的直径,

11、C ,D是圆上的两点,若ABD=40,则BCD=.,40,3、若圆的一条弦把圆分成度数的比为1：3的两条弧，则劣弧所对的圆周角等于多少度。,6.如图所示, BC为O的直径, G是半圆上任意一点, 点A为 的中点, 求证：BE=AE=EF.,5.如图，你能设法确定一个圆形纸片的圆心吗？你有多少种方法？与同学交流一下,D,O,O,O,方法一,方法二,方法三,方法四,A,B,练 习,42,沐风教育,2.如图所示,O为 的外接圆, CE是O的直径, 于D, 求证： .,43,沐风教育,4、AB、AC为O的两条弦，延长CA到D，使AD=AB，如果ADB=35，求BOC的度数。,解AB=AC ABD=AD

12、B=35 BAC=ABD+ADB=70BOC=2BAC=140,44,沐风教育,圆的内接四边形,45,沐风教育,1、如图，ABC叫O的_三角形 ， O叫ABC的 _ 圆. 2、 如图1，若弧BC的度数为1000， 则BOC=_，A=_ _.,复习回顾,内接,外接,100,50,46,沐风教育,如图，四边形ABCD为圆内接四边形；O为四边形ABCD外接圆.,问题1,47,沐风教育,6、如图，A、B、C、D是O上的四个点，且BCD=100，求BOD（ 所对的圆心角）和BAD的大小。,如图,AB是直径,则ACB=,48,沐风教育,若一个多边形各顶点都在同一个圆上，那么，这个多边形叫做圆内接多边形，这

13、个圆叫做这个多边形的外接圆。,O,A,C,D,E,B,问题2,返回,49,沐风教育,C,O,D,B,A,如图：圆内接四边形ABCD中，, A的度数等于弧BCD的一半，BCD的度数等于弧BAD的一半， 又弧BCD+弧BAD 度数为360，,AC,180.,同理BD180.,圆内接四边形的对角互补。,问题3,50,沐风教育,如果延长BC到E，那么DCEBCD ,180.,ADCE.,又 A BCD 180，,51,沐风教育,因为A是与DCE相邻的 内角DCB的对角，我们把 A叫做DCE的内对角。,圆内接四边形的一个 外角等于它的内对角。,ADCE,52,沐风教育,探索结论,先根据图形讨论，然后用语

14、言归纳为 :,圆的内接四边形的对角互补，并且任何一个外角 都等于它的内对角。,几何表达式： 四边形ABCD内接于O， A+C=180且B=1 .,性质定理：,53,沐风教育,1、如图，四边形ABCD为O的内接四边形，已知BOD=100， 则BAD= BCD=,反馈练习：,A,B,C,D,O,2、圆内接四边形ABCD中,A:B:C= 2:3:4,则A= B= C= D=,50,130,60,90,120,90,3、如图，四边形ABCD内接于O， DCE=75， 则BOD=,150,A,B,C,D,O,E,54,沐风教育,应用举例,例 如图O1与O2都经过A、B两点，经过点A的直线CD与O1 交于

15、点C，与O2 交于点D。经过点B的直线EF与O1 交于点E，与O2 交于点F。 求证：CEDF,55,沐风教育,CEDF,EF180,E1180、1F,连结AB,1,思路分析,56,沐风教育,证明：连结AB,例1： 如图4，O1和O2都经过A、B两点， 经过点A的直线CD 与O1相交于点C，与O2相交于点D，经过点B的直线EF与O1 相交于点E，与O2相交于点F。 求证：CEDF,ABEC是O1的内接四边形 1+E =1800,又ADFB是O2的内接四边形 1=F.,E+F=1800,CEDF,1,57,沐风教育,反思与拓展,证明两条直线平行的方法很多，但常用的还是通过证明同位角相等、内错角相

16、等、同旁内角互补等方法。刚才我们通过同旁内角互补证明了CE DF，想一想还能否通过同位角相等或者内错角相等证明结果？,1）延长EF,是否有E=BAD 1 ？,2) 延长DF,能否证明E3？,58,沐风教育,变式1：如图，O1和O2都经过A、B两点，过A点的直线CD与O1交于点C，与O2交于点D，过B点的直线EF与O1交于点E，与O2交于点F。,E,D,C,F,A,B,猜想：CEDF仍然成立吗？,O1,O2,59,沐风教育,变式2:如图,O1和O2有两个公共点AB，过AB两点的直线分别交O1于C 、E,交O2于D 、F，且 CDEF。,C,E,A,B,D,F,O1,O2,求证：CE=DF,60,沐风教育,思维拓展:,1、圆内接平行四边形一定是 形。,2、圆内接梯形一定是 形。,3、圆内接菱形一定是 形。,矩,等腰梯,正方,61,沐