巧设未知数轻松列方程

1、巧设未知数，轻松列方程高峰【专题名称】初中数学教与学【专 题 号】g352【复印期号】2011年02期【原文出处】中学生语数外(津)2010年11期第1921页【关 键 词】eeuu设元是列方程解应用题的一个重要的环节。有时巧妙的设元，可以帮我们巧妙地列出方程解题，那么应怎样设元呢？这里结合实例介绍几种方法，供同学们参考。一、直接设未知数这是一种求什么就设什么的设未知数的方法。这是最常用的设元法。例1某同学在a、b两家超市发现他看中的英语学习机的单价相同，书包单价也相同，英语学习机和书包单价之和是452元，且英语学习机的单价比书包单价的4倍少8元。(1)求该同学看中的英语学习机和书包单价各是多

2、少元。(2)某一天该同学上街，恰好赶上商家促销，超市a所有商品打7.5折销售；超市b全场购物每满100元返购物券30元销售（不足100元不返券，购物券全场通用），但他只带了400元钱，如果他只在一家超市购买看中的英语学习机、书包，那么在哪一家购买更省钱？分析：(1)设书包的单价为x元，则英语学习机的单价为(4x-8)元，利用“英语学习机和书包单价之和是452元”列出一元一次方程求解即可；(2)分别计算在a、b两个超市购买英语学习机和书包各一件所需花费的现金并与400元比较，再比较在a、b两个超市购买英语学习机和书包各一件所需花费的现金，来确定在哪家超市购买更省钱。解：设书包的单价为x元，则英语

3、学习机的单价为(4x-8)元。根据题意，得4x-8+x=452，解得x=92。4x-8=492-8=360。答：该同学看中的英语学习机单价为360元，书包单价为92元。(2)在超市a购买英语学习机与书包各一件，需花费现金45275%=339（元）；因为339400，所以可以选择在超市a购买。在超市b可先花费现金360元购买英语学习机，再利用得到的90元购物券，加上2元现金购买书包，总计共花费现金：360+2=362（元）；因为362400，所以也可以选择在超市b购买。但是，由于362339，所以在超市a购买英语学习机与书包，更省钱。二、间接设未知数所设的量不是要求的，但更易找出符合题意的相等关

4、系，这种把题中要求量以外的量设为未知元的方法，称之为“间接设元法”。有些应用题，直接设未知数列方程比较困难，或列出的方程比较复杂，可以考虑使用间接设未知数法。例2“种粮补贴”惠农政策的出台，大大激发了农民的种粮积极性，某粮食生产专业户去年计划生产小麦和玉米共18吨，实际生产了20吨，其中小麦超产12%，玉米超产10%，该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨？分析：要求该专业户去年实际生产小麦、玉米各多少吨，而知道小麦、玉米超产百分率，直接设未知数时，列式比较困难，所以考虑设间接未知数。解：设原计划生产小麦x吨，生产玉米(18-x)吨。根据题意，得12%x+10%(18-x)=20-18。解得x

5、=10，18-x=8。10(1+12%)=11.2（吨），8(1+10%)=8.8（吨）。答：该专业户去年实际生产小麦11.2吨，玉米8.8吨。三、直接设未知并辅以参数对于一些较复杂的问题，往往条件隐含、关系交错。这时不妨引入参数，在已知量和未知量之间架起一座“桥梁”，以便理顺各个量之间的关系，列出方程。而所设的参数在解题过程中被消去，不影响问题的结果。这种方法叫做“参数法”，也叫“设而不求法”。例3甲从a地到b地需30分钟，乙从a地到b地需20分钟，若甲乙两人都从a地到b地，甲比乙早出发5分钟，问乙出发几分钟后追上甲？分析：由于路程一定时，速度与时间成反比，于是“甲速：乙速=2030=23”

6、，这是此题的隐含条件，据此可增设辅助元甲速为2k米分钟，乙速为3k米分钟。相等关系为“甲走的路程乙走的路程”。解：设乙出发x分钟后追上甲，又设甲速为2k米分钟，乙速为3k米分钟。得到方程3kx=2k(5+x)，因为k0，方程两边同时约去，得方程3x=2(5+x)，解得x=10。答：乙出发10分钟后追上甲。四、间接设元并辅以参数有些应用题在间接设元后，也需要引入适当的参数才比较容易列出方程。例4李明与王云分别从a、b两地相向而行，若两人同时出发，则经过80分钟两人相遇；若李明出发60分钟后王云再出发，则经过40分钟两人相遇，问李明与王云单独走完全程各需多少小时？答：李明与王云单独走完全程各需12

7、0分钟和240分钟。五、整体设元法有些问题未知量太多，而已知关系又太少，如果某一部分未知量存在一个整体关系，则可设这一部分为一个未知元，这样就减少了设元的个数，这种设元的方法叫做“整体设元法”。例5一个五位数，个位数为4，这五位数加上6120后所得的新五位数的万位、千位、百位、十位、个位上的数恰巧分别为原五位数的个位、万位、千位、百位、十位上的数，试求原五位数。分析：在解此题时，可以把原五位数去掉个位数4以后得到的四位数看作一个整体，设其x，就达到化难为易，化繁为简了。解：设原五位数去掉个位数后的四位数为x则原五位数可表示为10x+4。得方程(10x+4)+6120=410000+x。解得：x

8、=3764，10x+4=37644。六、设辅助未知数有些应用题，往往发现要列方程，量不够，未知的量太多，此时可考虑适当地引入辅助未知数，把它视为已知量，已知量多了，已列方程就简便了，辅助未知数与参数不同，参数在化简过程中往往会消失，但是辅助未知数不一定消失。例6陈老师为学校购买运动会的奖品后，回学校向后勤处王老师交账说：“我买了两种书，共105本，单价分别为8元和12元，买书前我领了1500元，现在还余418元。”王老师算了一下，说：“你肯定搞错了。”(1)王老师为什么说他搞错了？试用方程的知识给予解释；(2)陈老师连忙拿出购物发票，发现的确弄错了，因为他还买了一个笔记本。但笔记本的单价已模糊

9、不清，只能辨认出应为小于10元的整数，笔记本的单价可能为多少元？分析：(1)根据钱数列方程求出本数即可作出判断；(2)设出笔记本的单价为a元，单价为8元的课外书为y本，多了一个a列方程就容易多了，列出方程后，利用整除的有关知识求解即可。解：(1)设单价为8元的课外书为x本。得8x+12(105-x)=1500-418。解得x=44.5（不符合题意）。所以王老师肯定搞错了。(2)设单价为8元的课外书为y本，设笔记本的单价为a元。依题意得8y+12(105-y)=1500-418-a。解得：178+a=4ya、y都是整数，则178+a应被4整除，a为偶数。又a为小于10元的整数，a可能为2、4、6

10、、8。当a=2时，4y=180，y=45，符合题意；当a=4时，4y=182，y=45.5，不符合题意；当a=6时，4y=184，y=46，符合题意；当a=8时，4y=186，y=46.5，不符合题意。笔记本的单价可能是2元或6元。练习：1.为了节约水资源，某市对城镇居民每月用水作如下规定：不超过3吨收费5元，3吨到5吨之间，每吨收费1.5元，5吨以上，每吨收费2.5元。若居民张大娘家3月份缴纳水费20.5元，请你帮张大娘算算，她家3月共用水多少吨？2.小民和爷爷在400米的环形操场上跑步，同时同向从同一点出发，如果小民的速度是6米秒，爷爷的速度是4米秒，问爷爷跑几圈后，小民超过爷爷一圈？3.

11、农科所向农民推荐渝江号和渝江号两种新型良种稻谷。在田间管理和土质相同的条件下，号稻谷单位面积的产量比号稻谷低20%，但号稻谷的米质好，价格比号高。已知号稻谷国家的收购价是1.6元千克。当号稻谷的国家收购价是多少时，在田间管理、土质和面积相同的两块田里分别种植号、号稻谷的收益相同？4.一个六位数2abcde的3倍等于abcde9，求这个六位数。答案：1.设张大娘家3月用水x吨，易知x5，故得方程5+1.5(5-3)+2.5(x-5)=20.5，解得x=10。2.设经过x秒后，小民超过爷爷一圈，得方程：(6-4)x=400,解得x=200（秒），(4200)400=2（圈）。3.设号稻谷的国家收购价为x元千克，用参数a表示号稻谷的产