圆心角圆周角垂径定理和应用

1、第一课时辅导讲义课题圆的对称性教学目标1理解圆的对称性及有关性质.2 .理解同圆或等圆中， 圆心角、弧、弦各组量之间的关系，并会应用.3.掌握圆周角定理3 探索垂径定理并会应用其解决有关问题.重点、难点1. 圆心角与弦的关系，圆心角与圆周角的关系2. 垂径定理的理解与应用考点及考试要求1. 会计算圆心角，圆周角。并熟练其之间的转化关心，注意弧和弦在圆心 角中的等量关系2. 熟练掌握垂径定理的应用教学容知识框架1. 圆是轴对称图形(重点)通过折叠与旋转的方法，我们可以得到：圆是轴对称图形，其对称轴为任意一条过圆心的直线； 圆是中心对称图形，其对称中心是圆心.2. 圆心角，弧，弦之间的关系(重点)

2、在同圆或等圆中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等。在冋圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么它们所对应的其余 各组量都分别相等。(1)在具体运用以上定理解决问题时，可根据需要选择，如“在等圆中，相等的弧所对的圆心角 相等”.(2) 不能忽略“在同圆或等圆中”这个前提条件，如果丢掉这个前提条件，即使圆心角相等，所 对的弧、弦也不一定相等.(3)要结合图形深刻理解圆心角、孤、弦这三个概念和“所对应的”一词的含义，因为一条弦 所对的弧有两条，所以由“弦等”得出“弧等”，这里的“弧等”指的是对应的劣弧和劣弧相等，对应的优弧和优弧相等。3. 圆心角的度数与它所对的弧的度数的

3、关系(1) 1的弧：将顶点在圆心的周角等分成360份时，每一份的圆心角是1的角因为同圆中相等的圆心角所对的弧相等，所以整个圆也被等分成 360份.我们把1的圆心角所对的弧叫做 1的弧.(2)圆心角的度数与它所对的弧的度数的关系：圆心角的度数与它所对的弧的度数相等.4、圆周角定理及其推论(重点)同弧所对的圆周角等于它所对的圆心的角的一半。推论1同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧是等弧；推论2:半圆或直径所对的圆周角是直角；圆周角是直角所对的弧是半圆，所对的弦是直径。推论3:若三角形一边上的中线等于这边的一半，那么这个三角形是直角三角形。即：在 ABC 中，I OC=O

4、A=OB ABC是直角三角形或匚C=905.垂径定理的应用(难点)(1)垂径定理：垂直于弦的直径平分这条弦，并且平分弦所对的 垂径定理的表现形式：如图5-2-8所示，推论1 : (1)平分弦(不是直径)的直径垂直于弦，并且平分弦所对的两条弧；(2) 弦的垂直平分线经过圆心，并且平分弦所对的两条弧；(3) 平分弦所对的一条弧的直径，垂直平分弦，并且平分弦所对的另一条弧以上共4个定理，简称2推3定理：此定理中共 5个结论中，只要知道其中 2个即可推出其 它3个结论，即：AB是直径 AB CD CE DE 弧BC 弧BD 弧AC 弧AD中任意2个条件推出其他3个结论。考点一：圆心角，弧，弦的位置关系

5、例1、(2006?)如图，BE是半径为6的圆D的1/4圆周，C点是BE上的任意一点， ABD是等边三角形，则四边形ABCD勺周长P的取值围是()例2、有下列说法：等弧的长度相等；直径是圆中最长的弦；相等的圆心角对的弧相等； 圆中90角所对的弦是直径；同圆中等弦所对的圆周角相等其中正确的有()例 3、(2007?)如图，AB是OO的直径，AB=AC BC交O O于点 D, AC交O O于点 E,/ BAC=45 , 给出下列五个结论： / EBC=22.5;BD=DCAE=2EC劣弧 AE是劣孤 DE的2倍；AE=BC其 中正确结论的序号是例4. (2005?江)如图所示，O O半径为2，弦BD

6、=2/ 3, A为弧BD的中点，E为弦AC的中点，且在BD上，则四边形 ABCD勺面积为考点二：圆周角定理例1如图，三角形 ABC中，/ A=60 ,BC为定长，以 BC为直径的O O分别交AB, AC于点D,E.连接DE已知DE=EC下列结论： BC=2DEBD+CE=2DE其中一定正确的有()例2、(2011?) 一个圆形人工湖如图所示，弦AB是湖上的一座桥，已知桥 AB长100m,测得圆周角/ ACB=45，则这个人工湖的直径 AD%()例3、(2010?)如图，MN是O O的直径，MN=2 点 A在O O上,/ AMN=30 , B 为 ANA的中点，P是直径MN上一动点，贝U PA+

7、PB的最小值为()例4、如图AB是O O的直径，ACA所对的圆心角为 60, BEA所对的圆心角为 20,且/ AFC玄BFD, / AGD/ BGE则/ FDG的度数为()考点三：垂径定理1、 (2010?大田县)如图，在平面直角坐标系中，点P在第一象限，OP与x轴相切于点Q与y轴交于M( 0, 2), N( 0, 8)两点，则点P的坐标是()A、(5, 3) B、( 3, 5) C、( 5, 4) D、( 4, 5)2、(2010?潍坊)已知：如图， AB是OO的弦，半径 OCLAB于点D,且AB=8m OC=5m贝U DC的长 为( )A、3cm B、2.5cm C、2cm D、1cm3

8、、 (2009?)如图，AB CD是半径为5的OO的两条弦，AB=8 CD=6 MN是直径，AB丄MN于点E, CDL MN于点F, P为EF上的任意一点，贝U PA+PC的最小值为多少？4、 已知：如图，/ PAC=30，在射线 AC上顺次截取 AD=3cm DB=10cm以DB为直径作OO 交射线 AP于E、F两点，求圆心 O到AP的距离及EF的长.5、如图所示，O O的直径AB和弦CD交于E,已知AE=6cm EB=2cm / CEA=30，求CD.6、如图， OAB中，OA=OB以O为圆心的圆交 BC于点C, D,求证：AC=BD考点四：垂径定理的应用1、（ 2009?） 根水平放置的

9、圆柱形输水管道横截面如图所示，其中有水部分水面宽0.8米，最深处水深0.2米，则此输水管道的直径是多少？2（2006?）如图，底面半径为5cm的圆柱形油桶横放在水平地面上，向桶加油后，量得长方形油面 的宽度为8cm，则油的深度（指油的最深处即油面到水平地面的距离）为多少？3、（2008?黄冈）如图是“明清影视城”的圆弧形门，黄红同学到影视城游玩，很想知道这扇门的 相关数据于是她从景点管理人员处打听到：这个圆弧形门所在的圆与水平地面是相切的， AB=CD=20cm BD=200cm且AB, CD与水平地面都是垂直的.根据以上数据，请你帮助黄红同学计算 出这个圆弧形门的最高点离地面的高度是多少？5

10、、如图，圆柱形水管原有积水的水平面宽CD=20cm水深GF=2cm若水面上升2cm（EG=2cr） 则此时水面宽AB为多少？针对性练习1、 （2004?）如图，D E分别是O O的半径 OA OB上的点，CDL OA CE丄OB CD=CE贝U ACA与CBA 弧长的大小关系是2、 如图，已知 AB是O O的直径，PA=PB / P=60,则弧CD所对的圆心角等于度.3、（2009?）如图，在O O中，D、E分别为半径 OA OB上的点，且 AD=BE点C为弧AB上一点，连接 CD CE CO / AOCM BOC求证：CD=CE4、 （2011?）如图，O O是厶ABC的外接圆，/ OCB=40，则/ A的度数等于（）5、 （2011?）如图，AB是O O的直径，C, D两点在O O上，若/ C=40,则/ ABD的度数为（）6、（2005?）如图，OO是等边三角形 ABC的外接圆，DE是O O上两点，则/ D=度，/ E=度7、 在厶ABC中，/ A=150, BC=6cm则厶ABC的外接圆的半径为cm .& 如图，P是直径AB上一点，且 PA=2, PB=6, CD为经过点P的弦，那么下列 PC与PD的长度中， 符合题意的是（）9、 如图，在圆 O中，直径AB=10, C D是上半圆