化二次型为标准型

1、第二节化二次型为标准形若二次型只心壬,，兀)经可逆线性变换化为只含平方项的形式 则称之为二次型fa心,，兀)的标准形.由上节讨论知，二次型f(xx,.,x) = XAX在线性变换x = cr下，可化 为厂(cUc)K如果Lac为对角矩阵 %L化则念宀心)就可化为标准形勺斤+6;+.+必其标准形中的系数恰好为 对角阵厅的对角线上的元素，因此上is的问题归结为A能否合同于一个对 角矩阵.内容分布图示4二次型的标准性用配方法化二次型为标准形例1例2用初等变换化二次型为标准形例5例6定理3 ?4用正交变换化二次型为标准形例7例8二次型与对称矩阵的规范形例9课堂练习返回内容小结 习题5-2例10内容要点

2、：一、用配方法化二次型为标准形.定理1任一二次型都可以通过可逆线性变换化为标准形.拉格朗日配方法的步骤：(1) 若二次型含有岛的平方项，则先把含有兀的乘积项集中，然后配方, 再对其余的变量进行同样过程直到所有变量都配成平方项为止，经过可 逆线性变换，就得到标准形；(2) 若二次型中不含有平方项，但是0产则先作可逆变换码=乳-刀Xj =力 +刀（2 = 12 /且2* ij）忑=儿化二次型为含有平方项的二次型，然后再按(i)中方法配方.注：配方法是一种可逆线性变换，但平方项的系数与A的特征值无关. 因为二次型/与它的对称矩阵A有一一对应的关系，由定理1即得： 定理2对任一实对称矩阵A ,存在非奇

3、异矩阵C,使bMac为对角 矩阵.即任一实对称矩阵都与一个对角矩阵合同.二、用初等变换化二次为标准型设有可逆线性变换为X = CT,它把二次型0AX化为标准型厂貯，则 CSC.己知任一非奇异矩阵均可表示为若干个初等矩阵的乘积，故存 在初等矩阵上，使C = PP2匕,于是C = EPP2 匕CAC = PJ P,=A.由此可见，对加矩阵匕施以相应于右乘叽 匕的初等列变换，再对A 施以相应于左乘P：、P；、,P：的初等行变换，则矩阵A变为对角矩阵B,而 单位矩阵E就变为所S求的可逆矩阵C.三、用正交变换化二次型为标准形定理2若月为对称矩阵，C为任一可逆矩阵，令5 = lac,则乃也为对 称矩阵，且

4、r(B) = r(A).注：(1)二次型经可逆变换x = cr后，其秩不变，但2的矩阵由月变为 S = CAC：(2)要使二次型经可逆变换x=cr变成标准形，即要使L/tc成为对 角矩阵，即2)、儿、厂cSceoMF,儿)2=/2+/2卅 + + )、：ijl定理3任给二次型f = Z咛“心=a)总有正交变换X = PY,使f化为标准形f = /1|7 +心 +入$：,其中人,心人是f的矩阵心冋)的特征值.用正交变换化二次型为标准形(1)(2)(3)(4)将二次型表成矩阵形式/ = xSx求出A;求出H的所有特征值入人；求出对应于特征值的特征向量鼻鼻瓷,； 将特征向量7鼻，歹”正交化，单位化，

5、得记c =(九心);(5) 作正交变换x = cr,则得于的标准形/ = A.v? + 心 y； +2”y：.四、二次型与对称矩阵的规范型将二次型化为平方项之代数和形式后，如有必要可重新安排量的次序 （相当于作一次可逆线性变换），使这个标准形为兀1 * dpXp dp+iXp+i -，”I；其中 J.0（ = 1,2,/）.定理4任何二次型都可通过可逆线性变换化为规范形.且规范形是 由二次型本身决定的唯一形式，与所作的可逆线性变换无关.0-Er0000, 且ChQ.使得注：把规范形中的正项个数P称为二次型的正惯性指数，负项个数 厂-“称为二次型的负惯性指数，r是二次型的秩.（Ep注：任何合同的

6、对称矩阵具有相同的规范形00定理5设S为任意对称矩阵，如果存在可逆矩阵CQ,000OCAC =0-Er0，Qaq =0-Er0000、000z则 p = q.注：说明二次型的正惯性指数、负惯性指数是被二次型本身唯一确定 的。例题选讲：例1 （讲义例1） 将.V|- + 2,V,.V2 + 2吋3 + 2卅 + 42-Vj + X；化为标准形.用配方法化二次型为标准形.例2化二次型y = x： + 2x；+5x； + 2M2+2Xjr3+6.j3为标准形，并求所用的 变换矩阵.例3 （讲义例2）化二次型/ = 2.v,x,+2x,X3-6.v,X3成标准形，并求所用的 变换矩阵.例4用配方法将以

7、下二次型化为标准型./（A|,心宀/4）= 2%心一“勺 +小4 -尤沁3 +力2心 一2X3X4.用初等变换化二次为标准須例5（讲义例3）设A= I 2 2,求非奇异矩阵C使CUC为对角矩阵. 2 I.例6求一可逆线性变换将签內+2*內-4x,a-3化为标准形.用正交变换化二次型为标准形例 7 （讲义例 4）将二次型 f = l7x； + l4 +14.V- -4a-X, -4a-8.v,x,通过正 交变换化成标准形.例 8 设 f = 2a-,a-, + 2a-,%3 -2xjAj -+ 2xx +,求一个正交变换 x = Py,把该二次型化为标准形.二次型与对称矩阵的规范型例9将标准型2昇-2貝-i卅规范化.例10 （讲义例5）化二次型/ = 2a-