四边形笔记——正方形(复习)

1、四边形笔记一一正方形（复习）上次打印时间：7/25/2020 4:19 PM正方形复习知识梳理：1、正方形的性质： 边： ； 角： ； 对角线： ； 对称性：正方形既是轴对称图形也是中心对称图形。2、正方形的判定： 的菱形是正方形； 的矩形是正方形；o 1 o3、正方形的面积：S 正方形=考点1正方形的性质【例1】（正方形的轴对称性）如图，已知P是正方形ABCD对角线BD上一点，PE丄DC, PF丄BC, E、F分别是垂足。求证：AP = EF。【例1】（正方形的绕顶点旋转对称性）如图，边长为6的正方形ABCD绕点B按顺时针方向旋转 30后得到正方形EBGF , EF交CD于点H，贝U FH的

2、长为 （结果保留根号）。【例1】（正方形的绕中心旋转 90o对称性）例1、如图，在正方形 ABCD中，O是对角线，AC、BD的交点，过点 O作OE丄OF, 0E、 OF分别交边AB、BC于点E和F,若AE=4，CF=3。（1）求 EF 的长；（2）求厶EOF的面积。例2、如图，四边形ABCD是正方形，直线11、|2、|3，分别经过A、B、C三点，且11 II 12/|3，若l1与l2的距离为a，l2与l3的距离为b,则正方形ABCD的面积等于(2009年南充)如图，ABCD是正方形，点 G是BC上的任意一点，DE丄AG于E, BF / DE,交 AG 于 F.(2009肇庆)如图，ABCD是正

3、方形.(1)求证： ABF DAE ;G是BC上的一点,DE丄AG于E，BF丄AG于F.如图，在正方形 ABCD中，E是CD边的中点，AC与BE相交于点F,连结DF(1) 在不增加点和线的前提下，直接写出图中所有的全等三角形。(2) 连结AE，试判断AE与DF的位置关系，并证明你的结论。(3) 延长DF交BC于点M，试判断BM与MC的数量关系。DC八ZAAB如图，在正方形 ABCD中，取AD、CD边的中点E、F,连接CE、BF交于点G,连接AG 试判断AG与AB是否相等，并说明道理。【例1】（正方形的邻边旋转 90o对称性）如图，在正方形 ABCD中，E为AD上一点，BF平分/ CBE交CD于

4、F,试说明BE = CF+AE。BC如图所示，正方形 ABCD , M为BC上任一点，AN是/ DAM的平分线，且交DC于N，求如图，正方形ABCD中，P、Q分别为BC、CD上的点，若/ 1 = 7 2,求证:PA= PB+ QD。【例1】（正方形的旋转缩放）（2008梅州）如图所示，E是正方形ABCD（1）求证： ADE BEF;（2）设正方形的边长为4, AE = x, BF = y.的边AB上的动点，EF丄DE交BC于点F.当x取什么值时，y有最大值？并求出这个最大已知边长为4cm的正方形ABCD中，F是AD的中点，E点在AB边上，且AE : EB = 1: 3,UZL第 3 页共 8

5、页2020-7-25正方形ABCD ,E、F为BC上的两点，BE = CF,过F作FG丄DF,交AB于G,求证：EG丄ED。如图1所示，已知正方形 ABCD的对角线AC、BD相交于点0，E是AC上一点，连接 EB，过点A作 AM丄BE，垂足为 M，AM 交BD于点F。（1）求证：OE= OF;（2）如图2,若点E在AC的延长线上，AM丄BE于点M，交DB的延长线于点F，其他条件不变，则结同步练习（2010宜宾）如图，点 P是正方形 ABCD的对角线 BD上一点，PE丄BC于点E，PF丄CD于点F，连接EF给出下列五个结论： AP =EF ;AP丄EF;厶APD 一定是等腰三角形； / PFE=

6、Z BAP ;PD= ,；2 EC .其中正确结论的序号是 .（2010上海）已知正方形 ABCD中，点E在边DC 上, DE = 2，EC = 1 （如图所示），把线段 AE绕点A 旋转，使点E落在直线BC上的点F处，贝U F、C两点的距离为 。1、（2010红河州）如图，在正方形 ABCD中，G是BC上的任意一点，（G与B、C两点不重合），E、F 是AG上的两点（E、F与A、G两点不重合），若AF=BF+EF，/ 1 = / 2,请判断线段 DE与BF有怎样的1、如图，正方形 ABCD内有两条相交线段 MN、EF, M、N、E、F分别在边 AB、CD、AD、BC上.小 明认为：若 MN =

7、 EF，贝U MN丄EF;小亮认为：若 MN丄EF，贝U MN = EF .你认为（）C .两人都对D .两人都不对考点2正方形的判定下列说法中，错误的是（）A .一组对边平行且一组对角相等的四边形是平行四边形; B.每组邻边都相等的四边形是菱形；C .四个角都相等的四边形是矩形；D .对角线互相垂直的平行四边形是正方形。已知如图所示，在 ABCD中，E、F分别是BC、AD的中点.（1）试分析四边形AECF是什么四边形？并说明理由.（2） 当AB丄AC时，四边形AECF是什么特殊四边形.（不说明理由）（3）结合现有图形，请你添加一个条件，使其与原已知条件包括（2）共同能推出四边形AECF 是正

8、方形.（不能添加AE丄BC，CF丄AD ）如图，已知点A、B、C、D分别是正方形ABCD四条边上的点，并且AA亠BBCC= DD : 那么四边形A B C D是正方形，试说明理由。(2008乌鲁木齐)如图，在四边形 ABCD中，点E是线段AD上的任意一点(E与A、D不 重合)，G、F、H分别是BE、BC、CE的中点.(1)证明四边形EGFH是平行四边形；1EF丄BC，且EF=2BC，证明平行四边形EGFH是正方形.【例1】(2010宁夏)在厶ABC中，/ BAC = 45 AD丄BC于D，将 ABD沿AB所在的直线折叠，使点 D 落在点E处；将厶ACD沿AC所在的直线折叠，使点 D落在点F处，

9、分别延长 EB、FC使其交于点M .(1) 判断四边形 AEMF的形状，并给予证明；(2) 若BD = 1，CD = 2,试求四边形 AEMF的面积.例4、如图， ABC是等腰直角三角形，/ A=90，点P、Q分别是AB、AC上的动点，且满足 BP= AQ， D是BC的中点。(1) 求证： PDQ是等腰直角三角形；(2) 当点P运动到什么位置时，四边形 APDQ是正方形，说明理由。四、同步课堂测试：(2010黄冈等)如图，一个含 45的三角板HBE的两条直角边与正方形 ABCD的两邻边重合，过 E点作 EF丄AE交/ DCE的角平分线于F点，试探究线段 AE与EF的数量关系，并说明理由。(20

10、10衡阳)如图，在正方形 ABCD中，点E、F分别在BC、CD上移动，但 A到EF的距离AH始终保 持与AB长相等，问在E、F移动过程中：(1)Z EAF的大小是否有变化？请说明理由.否有变化？请说明理由.(2010日照)如图，四边形 ABCD是边长为a的正方形，点 G、E分别是边AB、BC的中点，/ AEF = 90。，且EF交正方形外角的平分线 CF于点F.(1 )证明：/ BAE= / FEC;(2)证明： AGE ECF;(3 )求厶AEF的面积.C If1、(2010吉林)正方形 ABCD与正方形CEFG的位置如图所示，点 G在线段CD或CD的延长线上，分 另U连接 BD、BF、FD,得到 BFD。(1)在图1图3中，若正方形 CEFG的国长分别为1、3、4,且正方形 ABCD的边长均为3,请通过计 算填写下表：正方形CEFG的边长134 BFD的面积(2)若正方形CEFG的边长为a,正方形ABCD的边长为b，猜出Sbfd的大小，并结合图 3证明你的猜 想。IJ團ABCD是边CD的正方形 DEFG的边DE上，连接 AE ,