高中数学教学论文：巧用数形结合解含参问题

1、巧用数形结合解含参问题摘要：数形结合是一种很有价值的思想, 它也是高考中明确规定要求考查的主要思想之一，运用数形结合的思想,可以让一些似乎要大费气力、绞尽脑汁的题目轻松获解。比如在解含参问题时,如果恰当地利用数形结合思想,能使题目的解答直观醒目,从而使很多题目巧妙地得到解答。 关键词：数形结合 函数 不等式 方程 参数在新课程理念下，进一步明确数学学习的目的，发展自主学习和合作学习的能力，形成有效的数学学习策略，培养学生的解题能力，解题能力的形成建立在数学知识、学习策略、数学方法等素养整合发展的基础上。方法在解题中至关重要，这对于节省时间，提高效率，煅炼能力有重要的作用。含参数问题在高中教学中

2、是一个难点，演算过程繁琐冗长，学生往往将问题复杂化导致解题不完整。自从浙江省自主命题以来，含参数问题似乎已经被遗忘在角落，而今又成了今年高考的新宠。值得思考的是含参问题能否也有巧妙的解法，使学生轻而易举地解决问题呢？在第二轮高考复习中遇到了几类学生难以解决的含参问题，下面就这些例题具体来说明用数形结合思想解含参问题的巧妙之处。一巧用数形结合思想解决含参方程问题。 例1若关于的方程有实数解，求实数的取值范围。分析：原命题等价于 有实数解。（1） 由（1）（2）条件，由（4）构造两个函数图象有交点，其中的几何意义是在轴上的截距，（3）是必需满足。（2） 由（1）（2）条件，由构造两个函数和图象有交

3、点，其中的几何意义是在轴上截距，（3）必须满足。（3） 由（1）（2）条件，由（4）构造两个函数和图象有交点，其中的几何意义是抛物线的对称轴，（3）是必需满足。由（1）（2）条件，由（4）分离，即构造两个函数，（3）必须满足。解法1：作函数它表示圆心在原点，半径为的半圆。它表示斜率为1的射线不含端点。直线相切时圆心到切线的距离等于半径，观察图像得，又解得综上所述：实数的取值范围为。解法2：作函数和即的图象。 注意解法3：作函数图象。两抛物线相切时：观察图象，又故 点拨：在确定含参数的方程的根的情况时，应由数思形，观察该方程对应的在同一坐标系中两个函数图象的交点个数或交点的情况即可；如果已知含参

4、数的方程的根的情况，应由数思形，画出该方程对应的函数的示意图，再由形思数，挖掘出不等式或不等式组，从而求出参数的取值范围.二巧用数形结合思想解决含参集合问题例2设a=x2xa，b=yy=2x+3，且xa，c=zz=x2，且xa ，若cb，求实数a的取值范围.分析：解决本题的关键是依靠一元二次函数在区间上的值域求法确定集合c。进而将cb用不等式这一数学语言加以转化。解：y=2x+3在2, a上是增函数1y2a+3，即b=y1y2a+3作出z=x2的图象，该函数定义域右端点x=a有三种不同的位置情况如下：当2a0时，a2z4即c=zz2z4要使cb,必须且只须2a+34得a与2a0矛盾.当0a2时

5、，0z4即c=z0z4，要使cb，由图可知：必须且只需解得a2当a2时，0za2，即c=z0za2，要使cb必须且只需解得2a3当a2时，a=此时b=c=，则cb成立.综上所述，a的取值范围是(,2),3。点拨：解决集合问题首先看清元素究竟是什么，然后再把集合语言“翻译”为一般的数学语言，进而分析条件与结论特点，再将其转化为图形语言，这样参数a的情况在图形中一目了然。例3.已知集合求实数m的取值范围. 分析：由已知条件可知是系数方程没有正根，按照常规思路我们可以讨论： 方法一：（1）方程无解（2）方程有两个（可能为重根）负根方法二：方程根的情况可以转化成函数与x轴的交点情况，即函数与x轴在正半

6、轴上没有交点，结合函数的图像，情况一目了然。这两种方法是平时学生最常用的方法，往往就是对进行讨论，下面我们介绍一种学生不易想到的方法。方法三：为了消除中一次项系数的变化造成抛物线的位置变动，我们运用“参数分离”，即解出。由于方程的根显然，所以方程两边同除以，得，令，因此原问题就转化成两个没有横坐标为正的交点问题。因为不含参数，函数图像又比较熟悉，因此处理问题就简便多了 y具体解法如下：先画出函数的图像如图所示：(1)当时两个函数没有交点，x即方程无实解。 （2）当时，在第三象限有两个重合的交点， 即原方程有两个相等的负根。 （3）当在第三象限有两个不重合的交点，2-2-10即原方程有两个不相等

7、的负根 综上所述，实数的取值范围为。 点拨：本题本质上是一个方程根的讨论问题，方法二和方法三都采用了“数形结合”的数学方法，但这两种方法选用的函数不同，而解决的简便程度也不同，特别要指出的是方法三构造的函数不含有参数，而讨论常数函数就比较方便，此时将问题中的参数分离，从而构造一个不含参数的基本函数，而将参数看成一个常数函数，结合图形巧妙的将问题y10解决。三巧用数形结合解决含参不等式问题例4. 已知，解关于x的不等式。x解：如图1所示，在同一坐标系中，作和的图象。解和交点的坐标，即在时，由，得。由图象知，当时，曲线在的上方。所以原yxca不等式的解集为：例5. 求实数a的范围，使当时，不等式恒

8、成立。解：原不等式变形得：令 如图所示，在同一坐标系中作出曲线c：直线。由于直线恒经过定点a(1,-1)，由图3可知，要使在时恒成立，直线应在原点下方，即斜率a应该大于。所以a的取值范围是。点拨：这两道例题都是含参不等式问题，可以用代数计算方法做，对式子进行讨论，但是计算量大且显得繁琐，可是通过图象来求解，直观而简洁。可见，数形结合是一种很有价值的思想, 它也是高考中明确规定要求考查的主要思想之一，运用数形结合的思想,可以让一些似乎要大费气力、绞尽脑汁的题目轻松获解。比如上述解含参问题时,如果恰当地利用数形结合思想,能使题目的解答直观醒目,从而使很多题目巧妙地得到解答。所以在解题过程中既要由数想形，又要以形助数，这对提高解题速度，提高解题正确率有重要的作用。总之，它是优化解题过程的一种重要数学思想方法。著名数学家华罗庚曾说过“数与形本是相依，焉能分作两边飞，数缺形少直觉， 形少数难入微， 数形结合百般好，隔裂分家万事休