例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题

1、例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题?42-中学数学月刊2011年第2期例谈图形变换与二次函数相结合的中考试题沈贤(江苏省江阴高级中学实验学校214400)初中数学中的图形变换,主要包括轴对称变换(翻折变换),平移变换,旋转变换,相似变换(位似变换).图形变换作为数学课程改革新增加的内容,对学生具有重要的教育价值,有利于发展学生的空间观念.同时,二次函数也是历年中考的热点和难点.一方面教材的内容强化了对图形变换的要求,另一方面二次函数在初中数学中占有重要地位,所以二次函数和图形变换的结合,是学生在学习中不可忽视的内容.纵观近几年的中考,题型灵活,设计新颖,富有创意的二次函数试题如雨后春笋般涌

2、现,其中一些平移,旋转,轴对称图形变换与二次函数相结合的试题更是成为中考压轴题的主角.本文结合2010年全国各地中考试题评析,谈谈图形变换在二次函数中的应用,以及对教师课堂教学的一些启示.1图形平移与二次函数相结合例1(2010年天津)在平面直角坐标系中,已知抛物线y一.+c与z轴交于点a,b(点a在点b的左侧),与y轴的正半轴交于点c,顶点为e.(i)若b=2,c一3,求此时抛物线顶点e的坐标;()将(工)中的抛物线向下平移,若平移后,在四边形abec中满足s肼一sab.,求此时直线bc的解析式;(m)将(工)中的抛物线作适当的平移,若平移后,在四边形abec中满足sbc一2soc,且顶点e

3、恰好落在直线y=-4x+3上,求此时抛物线的解析式.解(i)略.()将(i)中的抛物线向下平移,因为顶点e在对称轴z一1上,易得b一2.所以抛物线的解析式为y=一z+2+c(c>0).j,c,一|ao;d曰f,j图1此时,抛物线与y轴的交点为c(o,c),顶点为e(1,1+c).因为方程一z+2x+f一0的两个根为一1一/1+c,z21+/1+c,所以此时抛物线与z轴的交点为a(1一,0),b(1+,0).如图1,过点e作ef/cb与x轴交于点f,连结cf,则s彤esf.因为sbce:sabc,所以sfsabc.所以bf=ab=2j1+c.设对称轴z一1与轴交于点d,则df一ab+bf一

4、3,/1+c.由ef/cb,得efd=cbo.所以rtaedfrtacob,有器一器.因此一=.结合题意,解得3l+cl+l+cc一导.故点c(o,5),b(导,0).设直线bc的解析式为ymx+n,则f5f1l.i一一解得5l0一m+,i一.因此直线bc的解析式为y一专z+?(m)方法与()雷同,此略.评析第()问是抛物线向下平移,顶点也随之移动,根据平行线距离处处相等,把面积相等进行转化得到线段相等关系,随后用三角形相似对应边成比例列出方程,得出平移后的抛物线解析式,从而得出直线bc的解析式;第(m)问是第()问的推广,处理方法与第()问相同.2图形旋转与二次函数相结合例2(2010年四川

5、南充)已知抛物线一一妄z+bx+4上有不同的两点e(k+3,一h+1)和f(一尼l,一是+1).2011年第2期中学数学月刊?43?(1)求抛物线的解析式;(2)如图2,抛物线1一一z+bx+4与z厶轴和轴的正半轴分别交于点a和b,m为abp的中点,/pmq在ab的同侧以m为中心旋转,且/pmq一45.,m尸交y轴于点c,mqjl图2交轴于点d.设ad的长为m(>0),bc的长为,求和m之间的函数关系式;(3)当m,为何值时,pmq的边过点f?解(1)抛物线的解析式为一一z+4.(过程略)(2)抛物线一一z+4与.22轴的交点为a(4,o),与轴的交点为b(0,4),故ab一4,ambm

6、一2.在/pmq绕点m在ab同侧旋转的过程中,有mbc一dam一/pmq一45.又bmq一bmc+pmq一mda+dam,所以/bmc一adm.故bcmaamd.所以一一一8.故和之间的函数关系式为一旦(>o).(3)(略).评析发现bcmamd是解答本题的关键,而此结论比较隐蔽.3轴对称变换与二次函数相结合例3(2010年安徽芜湖)如图3,在平面直角坐标系中放置一矩形abc0,其顶点为a(0,1),b(一33,1),c(一3,/g,0),o(0,o).将此矩形沿着过e(一/,1),f(一,0)的直线ef向右下方翻折,b,c的对应点分别为b,c.(1)求折痕所在直线ef的解析式;(2)一

7、抛物线经过b,e,b三点,求此二次函数解析式;(3)能否在直线ef上求一点p,使得pbc的周长最小?如能,求出点p的坐标;若不能,说明理由.),ji/4,/2古e/lc1/一43/-2一id12/一1-2yil/4g,3,/2l/1,l2图3图4解(1)设ef的解析式为一+b,把e(一,1),f(一竽,.)的坐标代入得j一解得一竽,解得所以直线ef的解析式为一3+4.(2)本题的关键是求出b的坐标.记fe的延长线交y轴于g,则g的坐标是(o,4).由tan日一=等,tanlbga一一0n一,得/ega一3o.,b(一60.因此上gb经翻折后,在y轴上.因为bgcag2+ba一(41)+(一3,/5).一6,所以gb一6,故b的坐标是(0,一2).利用待定系数法,可求得二次函数的解析式1是y:=一z.一3一2.0o(3)解略.评析此题把矩形的折叠放到坐标系中来研究,综合考查了折叠的性质.本题的点e,f位置很特殊,使点b在y轴上,这是难以觉察的.一般情况下,b的坐标比较难计算.图形的运动变换思想是近年中考的热点.因此,我们平时教学中要多为学生创设动手实验,操作演练的机会,让学生多做几何模型,进行