人教版高中数学【选修1-2】[知识点整理及重点题型梳理]_《《推理与证明》全章复习与巩固(文)

1、精品文档用心整理人教版高中数学选修1-2知识点梳理重点题型（常考知识点）巩固练习推理与证明全章复习与巩固【学习目标】1.了解合情推理的含义，能利用归纳推理和类比推理等进行简单的推理；掌握演绎推理的基本模式；体会它们的重要性，并能运用它们进行一些简单的推理；2.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异；3.了解直接证明的两种基本方法：分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程和特点；4.了解间接证明的一种基本方法：反证法；了解反证法的思考过程、特点.【知识网络】【要点梳理】要点一：有关推理概念归纳推理：又称归纳法，是从特殊到一般、部分到整体的推理根据归纳对象是否完备，分为完全归纳法和不完全归纳法

2、完全归纳法是根据某类事物中的每一个对象或每一个子类的情况作出的关于该类事物的一般性结论的推理；不完全归纳法是根据某类事物中的一部分对象具有某种特征而作出该类事物都具有这一特征的一般性结论的推理由于仅列举了归纳对象中的一小部分，因此得出的结论与前提未必有必然的联系，故其结论未必正确，必须经过理论的证明和实践的检验类比推理：又称类比法，是由特殊到特殊的推理这是由两系统的已知属性，通过比较、联想而发现未知属性的资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理“开拓型”“发散型”思维方式和归纳推理一样，能由已知推测未知，推理的结论也不一定为真，有待进一步证明，通常情况下，类比的相似性越多，类比得出的结论

3、就越可靠演绎推理：又称演绎法是从一般到特殊的推理，是数学证明中的基本推理形式演绎推理的结论完全蕴涵于前提之中它是“封闭型”的思维方法，只要前提真实，逻辑形式正确，则结论必然真实，但由它一般不能取得突破性进展故合情推理与演绎推理各有侧重，相辅相成合情推理有助于发现新事物、新结论、新规律，演绎推理保证结论的可靠性，去伪存真要点诠释：演绎推理更注重推理的形式规则，常见的有假言推理、关系推理、三段论推理三段论推理：其一般形式为：大前提：所有m都是p；小前提：s是m；结论：s是p要点二：有关证明方法综合法综合法是利用已知条件和某些数学定义、公理、定理等经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立的

4、证明方法，是数学推理证明中的主要方法即从已知条件出发，经过逐步的逻辑推理，最后达到待征结论或需求问题如果要证明的命题是pq，那么证明步骤用符号表示为p(已知)pppq123分析法分析法就是从待征结论出发，一步一步探索下去，寻求结论成立的充分条件，最后达到题设的已知条件或已被证明的事实用分析法证明的逻辑关系：q(结论)ppppp(已知)n321要点诠释：综合法和分析法是两种思路截然相反的证明方法，应用综合法证明问题时，必须首先想到从哪里开始起步，分析法就可以帮助我们克服这种困难在实际证明问题时，应当把分析法和综合法综合起来使用，转换解题思路，增加解题途径间接证法间接证法不是从正面确定论题的真实性

5、，而是证明它的反论题为假或改证它的等价命题为真，间接达到目的反证法就是间接证法的一种反证法证题步骤为：(1)假设命题的结论不成立，即假设结论的反面成立(2)从这个假设出发，经过推理论证得出矛盾资料来源于网络仅供免费交流使用【变式】在平面几何中，abc的内角平分线ce分ab所成线段的比为ae精品文档用心整理(3)由矛盾判断假设不成立从而肯定命题的结论成立反证法导出矛盾常见的有以下几种情况：导出非p为真，即与原命题的条件矛盾导出q为真，即与假设“非q为真”矛盾导出一个与定义、公理、定理等矛盾的命题要点诠释：反证法的理论基础是互为逆否命题的等价性，从逻辑角度看，命题“若p则q”的否定是“若p则q”，

6、由此进行推理，如果发生矛盾，那么就说明“若p则q”为假，从而可以导出“若p则q”为真，从而达到证明的目的，反证法是高中数学的一种重要的证明方法，在不等式和立体几何的证明中经常用到，在高考题中也经常出现，它所反映出的“正难则反”的解决问题的思想方法更为重要反证法主要证明：否定性，唯一性命题；至多，至少型问题；几何问题【典型例题】类型一：合情推理与演绎推理例1.平面内的一个四边形为平行四边形的充要条件有多个，如两组对边分别平行类似地，写出空间中的一个四棱柱为平行六面体的两个充要条件：充要条件_；充要条件_(写出你认为正确的两个充要条件)【思路点拨】由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时要做到

7、点类比线、线类比面、面类比体【解析】两组相对侧面分别平行；一组相对侧面平行且全等；对角线交于一点，底面是平行四边形(填任意两个即可)【总结升华】本题考查类比推理，其关键是掌握由平面几何图形的性质类比立体几何图形的性质时，元素间的对应关系举一反三：ac=，把这个结论类比ebcb到空间：在三棱锥abcd中(如图所示)，面dec平分二面角acdb且与ab相交于e，则得到的类比的结论是_资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理=【答案】aesdacd.ebsdbcd【变式2】观察图中各正方形图案，每条边上有n2个圆点，第n个图案中圆点的总数是sn按此规律推断出s与n的关系式为_n【答案】s=(n

8、-1)4n【解析】依图构造规律可以看出：s=24-4，即四角四顶点重复计数一次2s334-4(3-1)4；s444-4(4-1)4，猜想：sn=(n-1)4(n2，且nn+)例2.已知函数f(x)=loga(ax-1)(a0且a1)，若a(x1，y1)、b(x2，y2)(x1x2)是f(x)图象上两点，证明直线ab的斜率大于零【解析】当a1时，y=ax是增函数，设0x1x2，则1ax1ax2，于是0ax1-1ax2-1，故log(ax1-1)log(ax2-1)，即yax21，于是ax1-1ax2-10，故loga(ax1-1)0x-x12【总结升华】依题设函数特征，要直接由斜率公式求解不易证

9、出，但题设所给函数的单调性比较明确，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理可利用递增函数斜率一定大于零的性质求解举一反三：【变式】纸制的正方体的六个面根据其方位分别标记为上、下、东、南、西、北现在沿该正方体的一些棱将正方体剪开、外面朝上展平，得到如图所示的平面图形，则标“”的面的方位是()a南b北c西d下【答案】b【解析】将所给图形还原为正方体，如图所示，最上面为，最左面为东，最里面为上，将正方体旋转后让东面指向东，让“上”面向上可知“”的方位为北类型二：直接证明与间接证明例3.设a0，b0，a+b1，求证：【解析】证法一(综合法)：a0，b0，a+b1，111+8abab1=a+b2

10、ab，ab11，ab，241ab4又1+=(a+b)+=2+4，111baababab+1118abab证法二(分析法)：a0，b0，要证111+8，abab资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理只需证1+18，即证+8，1a+babab1111abba即证11a+ba+b+4，即证+abab4，ba即证+2abba由基本不等式可知，当a0，b0时，+2成立，所以原不等式成立ab【总结升华】本题既可用综合法，也可用分析法来解，解题时应灵活运用举一反三：【变式】求证：以过抛物线y2=2px(p0)焦点的弦为直径的圆必与直线x=-p2相切【答案】如图所示，过a，b分别作aa，bb垂直准线于

11、点a，b，取ab的中点m，作mm垂直准线于点m要证明以ab为直径的圆与准线相切，只需证|mm|=12|ab|由抛物线的定义有|aa|=|af|，|bb|=|bf|，所以|ab|=|aa|+|bb|，因此只需证|mm|=12(|aa|+|bb|)根据梯形的中位线原理可知上式是成立的，所以以过抛物p线y2=2px焦点的弦为直径的圆必与直线x=-相切2例4.设函数f(x)对定义域内任意实数都有f(x)0，且f(x+y)=f(x)f(y)成立求证：对定义域内任意x，都有f(x)0【思路点拨】直接证明有些困难，考虑用反证法.【解析】假设满足题设条件的任意x，f(x)0不成立，即存在某个x，有f(x)00

12、00f(x)，资料来源于网络仅供免费交流使用精品文档用心整理又知f(x)=f0+0=f0222f0=f200f(x)00xxx0xx22这与假设f(x)0【总结升华】此题证明过程中，“对任意x，都有f(x)0”的否命题是：“存在x0，使f(x0)0”，而不是“对所有的x，都有f(x)0”，因此在应用反证法时正确写出结论的否定形式是很重要的举一反三：【变式1】用反证法证明命题“23是无理数”时，假设正确的是()a假设2是有理数b假设3是有理数c假设2或3是有理数d假设23是有理数【答案】d【变式2】已知a、br，|a|+|b|1，求证：方程x2+ax+b=0的两根的绝对值都小于1【答案】假设x是x2+ax+b=0的根，且|x|1，11由x2+ax+b=0得-11ab-xx211=1，所以ax1+bx21=1，21，所以|a|+|b|abab+xx2xx1111这与|a|+|b|1矛盾，故两根绝对值都小于1【变式3】已知函数f(x)=1x，问：是否存在这样的正数a，使得对定义