材料力学简单静不定问题

1、精品课件,1,第十章 简单静不定问题,精品课件,2,第一节 静不定结构的基本概念,结构按静力学特性可以分成静定结构和静不定结构两类。,如图所示，求固定端的约束反力,平面任意力系，通过静力学平衡方程可以解出全部的三个约束反力。,若在C处增加一个约束,则无法仅通过静力学平衡方程求出全部的四个未知力。,精品课件,3,1、静定和静不定结构,若结构的全部约束反力和内力都可由静力平衡方程求得，称为静定结构。,若结构的约束反力与内力不能仅仅根据静力平衡方程求出，称为静不定结构或超静定结构。,精品课件,4,1、静定和静不定结构-多余约束,比较上下两图，下面的图中是在上面的图中增加了一个约束。在静定结构上增加的

2、约束，称为多余约束。相应的反力称为多余约束力。,多余约束并不“多余”，通过增加多余约束，可提高安全度，减少变形。,精品课件,5,2、静不定结构的类型,外力静不定结构,仅在结构外部存在多余约束，即支座反力不能全由静力平衡方程求出。,精品课件,6,2、静不定结构的类型,内力静不定结构,仅在结构内部存在多余约束，即结构内力不能全由静力平衡方程求出。,精品课件,7,2、静不定结构的类型,混合静不定结构,内、外静不定兼而有之的结构。,精品课件,8,判断下列结构属于哪类超静定,外力超静定,外力超静定,（d）,（a）,（b）,（c）,（e）,（f）,混合超静定,混合超静定,内力超静定,内力超静定,精品课件,

3、9,基本静定系和相当系统,1基本静定系：去掉原载荷，只考虑结构本身解除多余约束后得到的静定结构，称为原结构的基本静定系。,2相当系统：在基本静定系上，用相应的多余约束力代替被解除的多余约束，并加上原载荷，则称为相当系统。,“相当”：相当系统的受力状态与原静不定结构完全相同。,3基本静定系和相当系统的选取：不唯一。,精品课件,10,精品课件,11,精品课件,12,静不定次数,2 内静不定结构 将结构切开一个或n个截面去掉内部多余约束，使其变成静定的，则切开截面上内力分量的总数就是静不定次数 内力分量的总数=原内部多余约束数,1 外静不定结构 约束反力数-平衡方程数,精品课件,13,（1）切开一个

4、链杆（2力杆），只有N，相当于去掉1个多余约束。,（2）切开一个单铰，有2个内力分量：N、Q， 相当于去掉2个多余约束。,精品课件,14,（3）切开一处刚性联结，有3个内力分量N、Q、 M，相当于去掉3个多余约束。 平面问题，多一个闭合框架，就多一3次静不定,（4）将刚性联结换为单铰或将单铰换为链杆，相当于去掉1个多余约束。,精品课件,15,3. 静不定次数=外静不定次数+内静不定次数 =多余约束数（内外多余约束数） =多余未知量个数（约束反力和内力） =未知量个数-平衡方程数,例,精品课件,16,2、静不定结构的类型,精品课件,17,工程中的超静定结构（ Statically indeter

5、minate structure in engineering）,在机械和工程结构中常采用超静定结构增加系统的刚度，提高构件的承载能力 .,塔式吊车起重臂可简化为外伸粱结构,当需要延长主臂以 增加其回转半径时,如何才能保持原有的承载能力?,精品课件,18,辅助支撑,跟刀架,顶尖,在铣床上洗削工件时，为 防止工件的移动并减小其变形 和振动，需要增加辅助支撑， 虎钳和辅助支撑构成系统,用车床加工细长轴时，经常 采用顶尖和跟刀架等辅助支撑以 减少其变形。卡盘和辅助支撑 构成超静定系统。,精品课件,19,精品课件,20,第二节 拉压静不定问题,精品课件,21,如图所示，求三杆的轴力,问题:,这个结构是

6、静定的还是静不定的？,如果是静不定问题，那么有静不定次数是多少?,精品课件,22,若对A点分析，可知三杆的轴力与外力F构成平面汇交力系。,平面汇交力系的独立平衡方程数是:,2,未知力个数是,3,因此这个结构是 次静不定。,1,精品课件,23,先对A点进行受力分析，写出2个平衡方程。,2个方程不能求3个未知量，还需要增加一个补充方程。,通过三杆的变形及A点的位移找出变形协调方程 补充方程,精品课件,24,变形几何关系,设AC杆长为l 得到变形协调方程,结合前面的静力学方程,精品课件,25,得到结果是,如果有若干根杆，结构是n次静不定,则总可以找到n个补充条件，相应建立n个补充方程(变形协调方程)

7、。,精品课件,26,一般拉压静不定问题的基本步骤,1、根据静力学原理列出独立的平衡方程；,2、根据变形与约束应互相协调的要求列出变形几何方程；,3、列出物理关系，这通常是胡克定律；,4、从2、3两项得到补充方程；,5、联立求解平衡方程和补充方程，即得到问题的解答。,精品课件,27,、几何方程变形协调方程：,、物理方程变形与受力关系,解：、平衡方程:,、联立方程(1)、(2)、(3)可得:,A,B,D,C,1,3,2,a,a,例10-1：图示杆系结构,，求：各杆的内力。,FN1,精品课件,28,超静定结构的特征：内力按照刚度分配 能者多劳的分配原则,A,B,D,C,1,3,2,a,a,精品课件,

8、29,例10-2 如图所示杆系结构，设AB为刚性杆，杆的刚度为EA,载荷为F,求杆的轴力。,精品课件,30,1、对AB杆进行受力分析，确定静力学平衡方程：,2、变形几何方程,3、物理方程,联立静力方程求解得到：,精品课件,31,装配应力：,加工构件时，尺寸上的一些微小误差是难以避免的。对于静定结构，加工误差只不过是造成结构几何形状的轻微变化，不会引起内力。但对于超静定结构，加工误差却往往要引起内力，这与温度应力的形成是非常相似的。,因杆件尺寸有微小误差而于装配后在杆件内产生的应力称为装配应力。,1、静定问题无装配应力,2、超静定问题存在装配应力。,由于构件制造尺寸产生的制造误差，在装配时产生变

9、形而引起的应力。,精品课件,32,例10-3,吊桥链条的一节由三根长l的钢杆组成，简化为如图所示的静不定结构，若三杆的横截面积相等，材料相同，中间钢杆略短于名义长度，且加工误差为d = l / 2000, 求各杆的装配应力。,精品课件,33,当把较短的中间杆与两侧杆一同固定于两端的刚体时，中间杆将受到拉伸，两端杆将受到压缩，最后在红色虚线所示位置，两杆的变形相互协调。,设两侧杆的轴向压力FN1, 中间杆的轴向拉力为FN2,静力平衡方程有,精品课件,34,由图中可知,上式联立静力平衡方程可求得:,精品课件,35,温度应力：,由温度引起杆变形而产生的应力（热应力）。,温度引起的变形量,1、静定问题

10、无温度应力。,2、超静定问题存在温度应力。,精品课件,36,例10-4 已知两杆面积、长度、弹性模量相同，A、L、E，求：当1杆温度升高 时，两杆的内力及约束反力。杆温度膨胀系数,精品课件,37,B,C,1,2,1、平衡方程:,2、几何方程：,解：,解除1杆约束，使其自由膨胀；,AB横梁最终位置在AB ,3、物理方程：,精品课件,38,第三节 扭转静不定问题,精品课件,39,解决扭转超静定问题的方法步骤：,平衡方程；,几何方程变形协调方程；,补充方程：由几何方程和物理方程得；,物理方程；,解由平衡方程和补充方程组成的方程组。,精品课件,40,例10-5长为 L=2m 的圆杆受均布力偶 m=20

11、Nm/m 的作用，如图，若杆的内外径之比为 =0.8 ，外径 D=0.0226m ，G=80GPa，试求固端反力偶。,解：杆的受力图如图示， 这是一次超静定问题。 平衡方程为：,精品课件,41,几何方程变形协调方程, 综合物理方程与几何方程，得补充方程：, 由平衡方程和补充方程得：,另:此题可由对称性直接求得结果。,精品课件,42,例10-6 已知在C、D两处作用有外力偶矩T, 绘出该轴的扭矩图,精品课件,43,1、对轴进行受力分析，确定静力学平衡方程：,2、变形几何方程,设jB1、 jB2 、jB3 分别表示外力偶和MxB引起B截面相对于A截面的扭转角，而B截面实际相对于A截面的扭转角为0，

12、因此:,精品课件,44,按照计算结果，画出扭矩图,3、物理方程,结果代入变形几何方程，可得,精品课件,45,第四节 静不定梁,精品课件,46,工程中有许多约束反力数目多于静力平衡方程数目的梁，这种梁称为静不定梁。,求解静不定梁的方法:,1、在静定基上加上外载荷以及多余约束力，得到受力和变形与原静不定梁完全相同的静定系统；,2、求解相当系统在多于约束处的变形，并将相当系统与静不定梁相比较，找到多余约束处的变形协调条件，列出求解静不定梁所需的补充方程；,3、联立求解静力平衡方程和补充方程得到静不定梁的约束反力；,4、进行内力、强度、刚度分析。,精品课件,47,例10-7,如图所示双跨简支梁受集中力

13、F作用，求约束反力，并画出剪力图和弯矩图。,精品课件,48,1、以支座B为多余约束。解除约束B，代之以多余未知力FB ，得到相应的静定基和相当系统。,静定基,相当系统,2、在F单独作用下，查表得到B点的挠度为,3、在FB单独作用下，查表得到B点的挠度为,4、根据B点的实际挠度为0,精品课件,49,5、由静力学平衡方程,6、作剪力图和弯矩图,精品课件,50,第五节 用力法解静不定结构,精品课件,51,1力法：以多余未知力为基本未知量将位移表示为未知力的函数，然后按位移协调条件建 立方程，从而解除多余未知力。,2位移法：以位移为基本未知量，将多余未知力表示为位移的函数，然后按平衡条件建立方程，从而

14、通过求解未知位移来求解多余未知力。,精品课件,52,用力法解静不定结构 （Solving statically indeterminate structure by force method）,力法的求解过程（Basic procedure for force method）,1.判定超静定次数 解除超静定结构的多余约束，用多余约束力X1, X2 ,X3代替多余约束,得到一个几何不变的静定系统,称为原静不定系统的“相当系统”;,2.在多余约束处满足“变形几何条件”,得到变形协调方程;,3.由补充方程求出多余约束力;,4.在相当系统上求解原超静定结构的内力和变形.,精品课件,53,A,B,l,（

15、1）去掉多余约束代之约束反力,得基本静定系,把 B 支座作为多余约束,X1 为多余反力,AB 悬臂梁为基本静定系,例题1 如图所示,梁EI为常数,试求支座反力.,精品课件,54,变形协调条件： B点的 挠度为,（2） 利用多余约束处的变形情况写出变形协调条件,1X1表示由于X1作用在静定基上时,X1作用 B 点沿X1方向的位移.,1F表示荷载 F (广义力) 作用在静定基上时,X1作用 B点沿X1方向的位移.,精品课件,55,若用 11 表示沿X1方向的单位力在其作点引起的X1方向的位移.,由于X1作用,B点的沿X1方向位移是11的X1倍,利用上式解出 X1,精品课件,56,（3） 用莫尔定理求1F,精品课件,57,（4） 用莫尔定理求 11,精品课件,58,代入,解得,精品课件,59,二、力法正则方程 (Generalized equations in the force method),上例中以多余力为未知量的变形协调方程可改写成下式,X1 多余未知量；,变