解析几何中的“隐形圆”问题

1、2 22 2 211222 2 1 1 1222 2 1 1 22 22 2 1 1 122 22 2 1 1 22 2微点深化解析几何中的“隐形圆”问题高考中圆的方程是 c 级知识点，其重要性不言而喻.但在一些题目中，条件没有 直接给出圆方面的信息，而是隐藏在题目中，要通过分析和转化，发现圆 (或圆 的方程)，从而最终可以利用圆的知识求解，我们称此类问题为“隐形圆”问题. 【例 1】 (1)(2018 南通、泰州调研)在平面直角坐标系 xoy 中，已知点 a(4， 0)，b(0，4)，从直线 ab 上一点 p 向圆 x y 4 引两条切线 pc，pd，切点分 别为 c，d.设线段 cd 的中

2、点为 m，则线段 am 长的最大值为_.b(2)已知实数 a，b，c 满足 a b c ，c0，那么 的取值范围为_.a2c解析 (1)法一(几何法)因为直线 ab 的方程为 yx4，所以可设 p( a，a4), 设c(x ，y )，d(x ，y )，所以 pc 方程为 x xy y4，pd：x xy y4，将 p(a， 1 1 2 2 1 1 2 2ax （a4）y 4，a4)分别代入 pc，pd 方程，ax （a4）y 4，则直线 cd 的方程为 ax(a4)y4，即a(xy)44y，所以直线 cd 过定点 n(1，1)，又因为 omcd， 所以点 m 在以 on 为直径的圆上(除去原点)

3、，又因为以 on 为直径的圆的方程为x y ，所以 am 的最大值为 24 3 2. 2法二(参数法) 因为直线 ab 的方程为 yx4，所以可设 p(a，a4)，同法一可知直线 cd 的方程为 ax(a4)y4，即 a(xy)44y，得 a44y.又因为 o， xyp，m 三点共线，所以 ay(a4)x0，得 a4x 44y 4x.因为 a ，所以 yx xy yx点 m 的轨迹方程为 x y ( 除去原点 ) ，所以 am 的最大值为 4 3 2. 22 22ccc c2ac322222 x y223 3x y 22223322 22 22222222 222a b a b(2)由已知得1

4、，设 x， y，则 x ybb c y 1， ，a2c x2 2问题就转化为求单位圆上的点与点(2，0)连线斜率的取值范围.设直线的方程为 yk(x2)，即 kxy2k0，由 dr，得|2k| 31，解得 k ，所 k （1） 3 3 b 3 3以所求斜率的取值范围为 ， ，即 的取值范围为 ， . 3 3 a2c 3 3 3 3答案 (1)3 2 (2) ， 3 3 【例 2】 (1)(2018 南京、盐城一模 )在平面直角坐标系 xoy 中，若直线 yk(x 3 3)上存在一点 p，圆 x (y1) 1 上存在一点 q，满足op3oq，则实数 k 的最小值为_.(2)(2018 南通一调)

5、在平面直角坐标系 xoy 中，点 a(1，0)，b(4，0).若直线 xy1m0 上存在点 p 使得 pa pb，则实数 m 的取值范围是_.解析 (1)设点 p(x，y)，由op3oq可得 q， .又点 q 在圆 x (y1) 1 上， 2 2可得11，即 x (y3) 9，所以点 p 既在圆 x (y3) 9 上， 又在直线 y k(x 3 3) 上，即直线与圆有交点，所以圆心到直线距离d |33 3k|3，解得 3k0.1k1 1(2)设 p(x，y)，由 pa pb，得 （x1） y （x4） y ，化简得 xy 4，问题等价于直线与圆有交点，即 d|m|2，解得 m2 2，2 2.

6、2答案 (1) 3 (2)2 2，2 2【例 3】 (1)在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 c：(xa) (ya2) 1，点 a(0，2)，若圆 c 上存在点 m，满足 ma mo 10，则实数 a 的取值范围是 _.(2)在平面直角坐标系 xoy 中，已知圆 m：(xa) (ya3) 1(a0)，点 n22222 222222 22222222 2为圆 m 上任意一点.若以 n 为圆心，on 为半径的圆与圆 m 至多有一个公共点， 则 a 的最小值为_.解析 (1)设点 m(x，y)，由 a(0，2)，o(0，0) 及 mamo10，得 x(y2)x y 10，整理得 x (y1) 4，

7、即点 m 在圆 e：x (y1) 4 上.若圆 c 上存在点 m 满足 ma mo 10 也就等价于圆 e 与圆 c 有公共点，所以|21|ce21，即|21| a （a3） 21，整理得 12a 6a99， 解得 0a3，即实数 a 的取值范围是0，3.(2)圆 m 的圆心 m(a，3a)在直线 xy3 上，点 o 到直线 xy30 的距离 3 2为 2，所以 on211.圆 m 与圆 n 至多有一个公共点，则两圆内含或内切(圆 m 在圆 n 内)，所以 mn1on1，所以 on2，即(on) 2，所以minom12，即 a (3a) 9(a0)，解得 a3.故 a 的最小值为 3.答案 (

8、1)0，3 (2)3探究提高 (1)如何发现隐形圆(或圆的方程)是关键，常见的有以下五个策略： 策略一：利用圆的定义(到定点的距离等于定长的点的轨迹)确定隐形圆； 策略二：动点 p 对两定点 a，b 的张角是 90(k k 1 或pa pb0)确定隐形pa pb圆； 策略三：两定点 a，b，动点 p 满足pa pb 确定隐形圆；策略四：两定点 a，b，动点 p 满足 pa pb 是定值确定隐形圆；策略五：两定点 a，b，动点 p 满足 apbp(0，1)确定隐形圆(阿波罗尼 斯圆).(2)“隐形圆 ”发掘出来以后常考查点和圆、直线和圆、圆和圆的位置关系等相 关知识点，例 1、例 2 和例 3

9、分别从三个方面作了考查，一般解决思路可从“代 数角度”或“几何角度”入手.【训练】 (1)若实数 a，b，c 成等差数列，点 p(1，0)在动直线 axbyc0 上的射影为点 m，点 n(3，3)，则线段 mn 长度的最大值为_.(2)(2016 镇江模拟)已知集合 m(x，y)|x3yx1，np |pa 2pb， a(1，0)，b(1，0)，则表示 mn 的图形面积等于_.解析 (1)由题意，2bac，所以动直线的方程为 2ax(ac)y2c0，即 a(2x222 22 2222 232223 233y)c(y2)0，所以动直线 axbyc0 过定点 a(1，2).设点 m(x，y)，由 mpma 可求得点 m 的轨迹方程为圆 q：x (y1) 2，故线段 mn 长度的最 大值为 qnr5 2.(2)令 p(x，y)，所以( x1) y 2(x1) y .所以 x 6xy 10，所以(x3) y 8，所以点 p 的轨迹为以(3，0)为圆心的圆及圆的