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文档简介
1、一元二次方程的应用(1)【知识梳理】1、列一元二次方程解应用题的一般步骤:和列一元一次方程解应用题一样,列一元二次方程解应用题的一般步骤是:“审、设、列、解、答”(1) “审”指读懂题目、审清题意,明确已知和未知,以及它们之间的数量关系这一步是 解决问题的基础;(2) “设”是指设元,设元分直接设元和间接设元,所谓直接设元就是问什么设什么,间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的,但由于对列方程有利,因此间接设元也十分重 要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易;(3)“列”是列方程,这是非常重要的步骤,列方程就是找出题目中的等量关系,再根据这个相等关系列出含有未知数的等式,即方程找出相等关
2、系列方程是解决问题的关键; (4)“解”就是求出所列方程的解;(5)“答”就是书写答案,应注意的是一元二次方程的解,有可能不符合题意,如线段的长度不能为负数,降低率不能大于 100%等等因此,解出方程的根后,一定要进行检验2、列方程解应用题的关键:(1) 审题是设未知数、列方程的基础,所谓审题,就是要善于理解题意,弄清题中的已知量 和未知数,分清它们之间的数量关系,寻求隐含的相等关系;(2) 设未知数分直接设未知数和间接设未知数,这就需根据题目中的数量关系正确选择设未 知数的方法和正确地设出未知数3、列方程解应用题应注意:(1) 要充分利用题设中的已知条件,善于分析题中隐含的条件,挖掘其隐含关
3、系;(2) 由于一元二次方程通常有两个根,为此要根据题意对两根加以检验即判断或确定方程 的根与实际背景和题意是否相符,并将不符合题意和实际意义的222题型:增长率、减少率问题【例题精讲】例 1.某企业 2005 年的年利润为 50 万元,如果以后每年的年利润比上一年的年利润都增长p%,那么 2007 年的年利润将达到 50(1+p%)2万元【考点】一元二次方程的应用【分析】根据增长率的等量关系:增长后的量=增长前的量(1+增长率)增长的,次据数此可 得 2007 年的年利润【解答】解:50(1+p%) 【教法】讲授法【学法】学练结合法例 2某种药品原来售价 100 元,连续两次降价后售价为 8
4、1 元,若每次下降的百分率相同, 则这个百分率是 10% 【考点】一元二次方程的应用【分析】设平均每次降价的百分率为 x,那么第一次降价后的售价是原来的(1x),那么 第二次降价后的售价是原来的(1x) ,根据题意列方程解答即可【解答】解:设平均每次降价的百分率为 x,根据题意列方程得100(1x)=81,解得 x =0.1=10%,x =1.9(不符合题意,舍去)1 2答:这两次的百分率是 10%故答案为:10%【教法】讲授法【学法】学练结合法例 3近年来,某县为发展教育事业,加大了对教育经费的投入,2009 年投入 6000 万元, 2011 年投入 8640 万元(1) 求 2009 年
5、至 2011 年该县投入教育经费的年平均增长率;(2) 该县预计 2012 年投入教育经费不低于 9500 万元,若继续保持前两年的平均增长率, 该目标能否实现?请通过计算说明理由【考点】一元二次方程的应用222【分析】(1)等量关系为:2009 年教育经费的投入(1+增长率) =2011 年教育经费的投 入,把相关数值代入求解即可;(2)2012 年该区教育经费=2011 年教育经费的投入(1+增长率)【解答】解:(1)设每年平均增长的百分率为 x6000(1+x)2=8640,(1+x) =1.44,1+x0,1+x=1.2,x=20%答:每年平均增长的百分率为 20%;(2)2012 年
6、该县教育经费为 8640(1+20%)=10368(万元)9500 万元故能实现目标【点评】讲授演示法【学法】学练结合法【变式练习】1、某商场元旦休假期间进行让利销售,全部商品一律按九折销售,这样所获利润恰是收入的 20%,如果第一天的销售额是 4 万元,第三天的利润是 1.25 万元,则第二,第三天的销 售收入平均增长率为 25 %【考点】一元二次方程的应用【分析】 主要考查增长率问题,一般用增长后的量 =增长前的量( 1+增长率),设第二、第三天的销售收入平均增长率为 x,则第二天的利润是 420%(1x),第三天的利润是420%(1x)2,即可列出方程求解【解答】解:设第二、第三天的销售收入平均增长率为 x, 由题意可得出 420%(1+x) =1.25,解得 x=2.25(不合题意舍去),x=0.25,故第二、第三天的销售收入平均增长率为 25%【教法】练习法【学法】学练结合法2222、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价,每部售价由 1000 元降到了 810 元则平 均每月降价的百分率为 10% 【考点】一元二次方程的应用【分析】等量关系为:原售价(1降低率) =降低后的售价,依此列出方程求解即可 【解答】解:设平均每月降价的百分率为
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