苏科版九年级数学上册：一元二次方程解决问题讲义

1、一元二次方程的应用（1）【知识梳理】1、列一元二次方程解应用题的一般步骤：和列一元一次方程解应用题一样，列一元二次方程解应用题的一般步骤是：“审、设、列、解、答”(1) “审”指读懂题目、审清题意，明确已知和未知，以及它们之间的数量关系这一步是 解决问题的基础；(2) “设”是指设元，设元分直接设元和间接设元，所谓直接设元就是问什么设什么，间接设元虽然所设未知数不是我们所要求的，但由于对列方程有利，因此间接设元也十分重 要恰当灵活设元直接影响着列方程与解方程的难易；(3)“列”是列方程，这是非常重要的步骤，列方程就是找出题目中的等量关系，再根据这个相等关系列出含有未知数的等式，即方程找出相等关

2、系列方程是解决问题的关键； (4)“解”就是求出所列方程的解；(5)“答”就是书写答案，应注意的是一元二次方程的解，有可能不符合题意，如线段的长度不能为负数，降低率不能大于 100%等等因此，解出方程的根后，一定要进行检验2、列方程解应用题的关键：(1) 审题是设未知数、列方程的基础，所谓审题，就是要善于理解题意，弄清题中的已知量 和未知数，分清它们之间的数量关系，寻求隐含的相等关系；(2) 设未知数分直接设未知数和间接设未知数，这就需根据题目中的数量关系正确选择设未 知数的方法和正确地设出未知数3、列方程解应用题应注意：(1) 要充分利用题设中的已知条件，善于分析题中隐含的条件，挖掘其隐含关

3、系；(2) 由于一元二次方程通常有两个根，为此要根据题意对两根加以检验即判断或确定方程 的根与实际背景和题意是否相符，并将不符合题意和实际意义的222题型：增长率、减少率问题【例题精讲】例 1.某企业 2005 年的年利润为 50 万元，如果以后每年的年利润比上一年的年利润都增长p%，那么 2007 年的年利润将达到 50（1+p%）2万元【考点】一元二次方程的应用【分析】根据增长率的等量关系：增长后的量=增长前的量（1+增长率）增长的，次据数此可 得 2007 年的年利润【解答】解：50（1+p%） 【教法】讲授法【学法】学练结合法例 2某种药品原来售价 100 元，连续两次降价后售价为 8

4、1 元，若每次下降的百分率相同， 则这个百分率是 10% 【考点】一元二次方程的应用【分析】设平均每次降价的百分率为 x，那么第一次降价后的售价是原来的（1x），那么 第二次降价后的售价是原来的（1x） ，根据题意列方程解答即可【解答】解：设平均每次降价的百分率为 x，根据题意列方程得100（1x）=81，解得 x =0.1=10%，x =1.9（不符合题意，舍去）1 2答：这两次的百分率是 10%故答案为：10%【教法】讲授法【学法】学练结合法例 3近年来，某县为发展教育事业，加大了对教育经费的投入，2009 年投入 6000 万元， 2011 年投入 8640 万元（1） 求 2009 年

5、至 2011 年该县投入教育经费的年平均增长率；（2） 该县预计 2012 年投入教育经费不低于 9500 万元，若继续保持前两年的平均增长率， 该目标能否实现？请通过计算说明理由【考点】一元二次方程的应用222【分析】（1）等量关系为：2009 年教育经费的投入（1+增长率） =2011 年教育经费的投 入，把相关数值代入求解即可；（2）2012 年该区教育经费=2011 年教育经费的投入（1+增长率）【解答】解：（1）设每年平均增长的百分率为 x6000（1+x）2=8640，（1+x） =1.44，1+x0，1+x=1.2，x=20%答：每年平均增长的百分率为 20%；（2）2012 年

6、该县教育经费为 8640（1+20%）=10368（万元）9500 万元故能实现目标【点评】讲授演示法【学法】学练结合法【变式练习】1、某商场元旦休假期间进行让利销售，全部商品一律按九折销售，这样所获利润恰是收入的 20%，如果第一天的销售额是 4 万元，第三天的利润是 1.25 万元，则第二，第三天的销 售收入平均增长率为 25 %【考点】一元二次方程的应用【分析】 主要考查增长率问题，一般用增长后的量 =增长前的量（ 1+增长率），设第二、第三天的销售收入平均增长率为 x，则第二天的利润是 420%（1x），第三天的利润是420%（1x）2，即可列出方程求解【解答】解：设第二、第三天的销售收入平均增长率为 x， 由题意可得出 420%（1+x） =1.25，解得 x=2.25（不合题意舍去），x=0.25，故第二、第三天的销售收入平均增长率为 25%【教法】练习法【学法】学练结合法2222、某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由 1000 元降到了 810 元则平 均每月降价的百分率为 10% 【考点】一元二次方程的应用【分析】等量关系为：原售价（1降低率） =降低后的售价，依此列出方程求解即可 【解答】解：设平均每月降价的百分率为