艺术生高考数学专题讲义：考点30 数列前n项和与数列的通项

1、nn222n考点三十数列前 n 项和与数列的通项 知识梳理1数列a 的前 n 项和 snns a a a a n 1 2 3n2数列的通项 a 与前 n 项和 s 的关系n ns1 (n1)a snsn1 (n2)3已知数列的前 n 项和 s ，求 a 的方法n n(1)第一步，令 n=1,求出 a s ；1 1(2)第二步，当 n2 时，求 a s s ；n n n1(3)第三步，检验 a 是否满足 n2 时得出的 a ，如果适合，则将 a 用一个式子表示；若不1 n n适合，将 a 用分段形式写出。n4已知 a 与 s 的关系式，求 a 的方法n n n(1)第一步，令 n=1,求出 a

2、s ；1 1(2)第二步，当 n2 时，根据已有 a 与 s 的关系式，令 nn1(或 nn1)，再写出一个n na 与 s (或 a 与 s )的关系式，然后两式相减，利用公式 a s s 消去 s ，得出 n+1 n+1 n1 n1 n n n1 na 与 a (或 a 与 a )的关系式，从而确定数列a 是等差数列、等比数列或其他数列，然 n n+1 n n1 n后求出通项公式。5根据 a 与 a (或 a 与 a )的递推关系求通项公式n n+1 n n1当出现 a a m 时，构造等差数列；n n1当出现 a xa y 时，构造等比数列；n n1当出现 a a f(n)时，用累加法求

3、解；n n1a当出现 f(n)时，用累乘法求解an1典例剖析题型一 已知数列的前 n 项和 s 求 an n例 1 已知下面数列a 的前 n 项和 s 2n 3n，求a 的通项公式n n n解析 a s 231，1 1当 n2 时，a s s (2nn n n123n)2(n1)3(n1)4n5，由于 a 也适合此等式，a 4n5.1 n变式训练 已知数列a 的前 n 项和 s 3n 2n1，则其通项公式为_n n2，n1，答案 a 6n5，n2222nn 1nn 1n 1n 1n12*2an1 3n2*解析 当 n1 时，a s 31 2112；1 1当 n2 时，a s s 3n 2n13

4、(n1) 2(n1)1 n n n16n5，显然当 n1 时，不满足上式2，n1，故数列的通项公式为 a 6n5，n2.解题要点数列的通项 a 与前 n 项和 s 的关系是 a n n ns ，n1， 1s s ，n2. n n1当 n1 时，a 若适1合 s s ，则 n1 的情况可并入 n2 时的通项 a ；当 n1 时，a 若不适合 s s ， n n1 n 1 n n1则用分段函数的形式表示题型二 已知 a 与 s 的关系式求 an nn2 1例 2 (2013 课标全国)若数列a 的前 n 项和 s a ，则a 的通项公式是 a n n 3 n 3 n n_.答案 (2)解析 当 n

5、1 时，a 1；1当 n2 时，a s sn n2 2 a a a ，故 2，故 a (2) n1 3 n 3 n1 a nn1.当 n1 时，也符合 a (2) .n综上，a (2)n.变式训练 已知数列a 的前 n 项和为 s ，a 1，s 2a ，求a 的通项公式n n 1 n n1 n解析 当 n2 时，a s s 2a 2a ，n n n1 n1 na 3 1 a 1 3 ，又由 s 2a ，得 a ，且 a 2 1 2 2 2 a 2 2n 11 3 n2a 是从第 2 项开始的等比数列，当 n2 时，a ，n2，nn .n n 21，n1，22，n2，nn .解题要点 已知 a

6、与 s 的关系式求 a 时，需要分析所推出的递推式是对 nn 成立，还是n n n +对 n2 时成立。对于求出的 a 也需进行检验，看 a 是否符合 n2 时 a 的表达式，如果符n 1 n合，则可以把数列的通项公式合写；如果不符合，则应该分 n1 与 n2 两段来写 题型三 利用递推式求 an例 3 (1)设数列a 中，a 2，a a n1，则通项 a _.n 1 n1 n n(2)数列a 中，a 1，a 3a 2，则它的一个通项公式为 a _.n 1 n1 n nn1nnn 1n 123nnn 1n 1n(n1)答案 (1) 1 (2)23 2n11解析 (1)由题意得，当 n2 时，a

7、 a (a a )(a a )(a a )n 1 2 1 3 2 n n1(n1)(2n)n(n1)2(23n)2 1.2 21(11)又 a 2 1，符合上式，1 2n(n1)因此 a 1.n 2(2)方法一 (待定系数法)设 a 3(a )，展开得 a 3a 2 ， n1 n n1 n与 a 3a 2 比较可知：2 n1 n，an1a 113(a 1)，即 3，因为 a 1， n a 1 1n所以数列a 1为以 a 12 为首项，3 为公比的等比数列， n 1所以 a 123 ，即 a 23 1(n1)，n1 n1所以 a 23 1(n2)，n又 a 1 也满足上式，1故数列a 的一个通项

8、公式为 a 23n n1.方法二 (迭代法)a 3a 2，n1 n即 a 13(a 1)3 (a 1)3 (a 1)3 (a 1)23 (n1)， n1 n n1 n2 1所以 a 23 1(n2)，n又 a 1 也满足上式，1故数列a 的一个通项公式为 a 23n n1.变式训练 已知数列a 中，a 1，若 a 2a 1(n2)，则 a 的值是_.n 1 n n1 5答案 31解析 由题意得 a 2a 13，a 2317，a 27115，a 215131.2 1 3 4 5解题要点 形如 a pa q(p,q 为常数)这类递推数列称为一阶线性递推数列，求解的基本n1 n策略是待定系数法，即假

9、设 a p(a )，展开与原式 a pa q 比较系数后求出参n1 n n1 n数 ，然后再转化为等差数列或等比数列求通项。当堂练习n 13 .n*12n 112nn 1222n 1n 1n 11(2015 湖南理)设 s 为等比数列a 的前 n 项和，若 a 1，且 3s ，2s ，s 成等差数列，n n 1 1 2 3则 a _.n答案 3解析 由 3s ，2s ，s 成等差数列知，4s 3s s ，可得 a 3a ，公比 q3，故等比 1 2 3 2 1 3 3 2数列通项 a a q n 1n1 n12已知数列a 满足 a 1，a 2a 3(nn )，则 a 等于_. 1 n1 n 1

10、1答案 2 3解析 a 2a 3，a 32(a 3)， n1 n n1 nan3是公比为 2 的等比数列，an3(a13)2n12n1，a 2n3，a 2 3.1133. 如果数列a 的前 n 项和 s a 3，那么这个数列的通项公式是_.n n 2 n答案 a 23n4已知数列a 的前 n 项和为 s ，a 1，s 2a ，则 s _.n n 1 n n1 n3答案 ( )2解析 当 n1 时，s 2a ，又因 s a 1，1 2 1 11 1 3所以 a ，s 1 2 2 2 2 25设数列a 的前 n 项和 s n ，则 a 的值为_.n n 8答案 15解析 a s 1，a s s n

11、 (n1) 2n1(n2)a 28115 1 1 n n n1 8课后作业一、 填空题1已知数列a 的前 n 项和为 s ，且 s 2a 2，则 a 等于_.n n n n 2答案 4解析 s 2a 2，s a 2a 2.n n 1 1 1即 a 2，又 s a a 2a 2，a 4.1 2 1 2 2 212 已知数列a 中 a 1，a a 1(n2)，则 a _.n 1 n 2 n1 n1答案 2( )21 1 1解析 设 a c (a c)，易得 c2，所以 a 2(a 2)( ) ( ) n 2 n1 n 1 2 23数列a 的前 n 项和为 s ，若 a 1，a 3s (n1)，则

12、a _.n n 1 n1 n 6答案 344*n 1 n 1 5 44nn1n1n503n 1n 1nn1 n23n12n12n 1 2 (n 1) n*nnn nnn1解析 a s s ，nn n1 n1 n，3s s s ，则 s 4s ，又 s a 1，n n1 n n1 n 1 1数列s 是公比为 4 的等比数列，s 14 4 n n，从而 a s s 4 4 34 . 6 6 534 若数列a 的前 n 项和为 s a 3，则这个数列的通项公式 a _.n n 2 n n答案 23解析 a s s n n n1a 15数列a 满足 a 2，a ，其前 n 项积为 t ，则 t _.n

13、 1 n a 1 n 2 014n1答案 6a 1 1a 1 1解析 由 a 得 a ，而 a 2，所以 a 3，a ，a ，a 2，则 n a 1 n1 1a 1 2 3 2 4 3 5n1 n数列是以 4 为周期，且 a a a a 1，所以 t 1 2(3)61 2 3 4 2 0146在数列a 中，a 1，当 n2 时，有 a 3a 2，则 a _.n 1 n n1 n答案 231解析 设 a t3(a t)，则 a 3a 2t.n n1 n n1t1，于是 a 13(a 1)a 1是以 a 12 为首项，以 3 为公比的等比数列n n1 n 1a 23 1.n7若数列a 满足 a 1

14、，a 2 a ，则数列a 的通项公式 a _.n 1 n1 n n n答案2n ( n +1) 2a a a a解析 由于 2 ，故 2 ， 2 ， 2 a a a an1n1，将这 n1 个等式叠乘，得aa12 2n ( n +1) 2，故 a n2n ( n -1) 2.8已知a 满足 a 1，且 an 1 n1 1答案 a n 3n2a (nn )，则数列a 的通项公式为_ 3a 1 nn解析 由已知，可得当 n1 时，an1a .3a 1n1 3a 1 1两边取倒数，得 3.a a an11 1 1 1即 3，所以 是一个首项为 1，公差为 3 的等差数列 a a a an11 1则其

15、通项公式为 (n1)d1(n1)33n2.a an 11所以数列a 的通项公式为 a .n n 3n2n 1nn 1222* 4 4 4nn1nn 4 4 4n2 19若数列a 的前 n 项和 s a ，则a 的通项公式是 a _.n n 3 n 3 n n答案 (2)2 1 2 1解析 s a ，当 n2 时，s a .n 3 n 3 n1 3 n1 32 2 a，得 a a a ，即 2.n 3 n 3 n1 an12 1a s a ，a 1.1 1 3 1 3 1a 是以 1 为首项，2 为公比的等比数列，a (2) .n n10在数列a 中，a 1，a a 2n1，则数列的通项 a _

16、.n 1 n1 n n答案 n解析 a a 2n1.n1 na (a a )(a a )(a a )(a a )a (2n1)(2n3)53 n n n1 n1 n2 3 2 2 1 11n (n2)当 n1 时，也适用 a n .n1 111已知数列a 中，a ，a 1 (n2)，则 a _.n 1 2 n1 a 16n答案121 1 1 1解析 由题意知 a 1 1，a 1 2，a 1 ，此数列是以 3 为周期的2 a 3 a 4 a 21 2 31周期数列，a a a .16 351 1 2二、解答题12已知数列a 满足 a 1，a 2a 1(nn )n 1 n1 n(1)求证：数列a

17、1是等比数列，并写出数列a 的通项公式；n n(2)若数列b 满足n4b -1 b -1 b -1 b -1 1 2 3 n(a 1)n，求数列b 的前 n 项和 s . n n解析 (1)证明：a 2a 1，n1 na 12(a 1)，又 a 1，n1 n 1a 120，a 10，1 na 1 2，a 1n数列a 1是首项为 2，公比为 2 的等比数列 na 12 ，可得 a 2 1.n n(2)解：4b -1 b -1 b -1 b -1 1 2 3 n(a 1) ， n4( b +b +b +. +b -n ) 1 2 3 n=2n2，2(b b b b )2nn 1 2 3 n2，22