年高考第一轮复习数学优选不等式的解法二

1、不等式的解法（二）知识梳理1.| x| ax a 或 x a（ a0）；| x| a a x a（ a 0） .2. 形如 | x a|+| x b| c 的不等式的求解通常采用“零点分段讨论法”.3. 含参不等式的求解，通常对参数分类讨论.4. 绝对值不等式的性质：| a| | b| | ab| | a|+| b|.思考讨论1. 在|x| a xa或x （ 0）、|x| a （ 0）中的0a aa xa aa改为 a R 还成立吗 ?2. 绝对值不等式的性质中等号成立的条件是什么?点击双基1. （2003 年成都第三次诊断题）设a、 b 是满足 ab 0 的实数，那么A.| a+b| | a

2、 b|B.| a+b| | a b|C.| a b| | a| | b|D.| a b| | a|+| b|解析：用赋值法 . 令 a=1，b= 1，代入检验 .答案： B2. （2004 年春季安徽）不等式 |2 x2 1| 1 的解集为A. x| 1 x 1B. x| 2 x 2C. x|0 x2D. x| 2x0解析：由 |2 x2 1| 1 得 1 2x2 1 1. 0 x2 1，即 1 x 1.答案： A3. 不等式 | x+log 3x| | x|+|log3x| 的解集为A. （0，1）B. （1，+）C. （0，+）D. （， +）解析： x0， x 与 log 3x 异号，

3、log 3x 0. 0x 1.答案： A4. 已知 不 等式 a x 22 对 x 取一 切 负数 恒成 立 ，则 a 的 取值 范 围 是| x |_.解析：要使 a x22 对 x 取一切负数恒成立，| x |令 t =| x| 0，则 a t 22 .t而 t 22 2 2t =2 2 ，tt a 2 2 .答案： a 2 25. 已知不等式 |2 x t |+ t 1 0 的解集为（ 1 ， 122），则 t =_.解析： |2 xt | 1 t ， t 12xt 1t ，2t 12x1， t 1 x 1 .22 t =0.答案： 0典例剖析【例 1】 解不等式 |2 x+1|+| x

4、 2| 4.剖析：解带绝对值的不等式，需先去绝对值，多个绝对值的不等式必须利用零点分段法去绝对值求解. 令 2x+1=0， x 2=0，得两个零点x1 = 1 ， x2 =2.2解：当 x 1 时，原不等式可化为2 2x 1+2x 4， x 1.当 12 x 2 时，原不等式可化为2x+1+2 x4， x 1. 又 1 x 2，2 1 x 2.当 x 2 时，原不等式可化为2x+1+x 24， x 5 .3又 x 2， x 2.综上，得原不等式的解集为 x| x 1 或 1 x.深化拓展若此题再多一个含绝对值式子. 如：|2 x+1|+| x2|+| x 1| 4，你又如何去解？分析：令 2x

5、+1=0， x2=0， x 1=0，得 x1= 1 ， x2 =1， x3 =2.2解：当 x 1 时，原不等式化为2 2x 1+2x+1x 4， x 1 .2当 12 x 1 时，原不等式可化为2x+1+2 x+1 x4， 4 4（矛盾） .当 1 x 2 时，原不等式可化为2x+1+2 x+x 14， x1.又 1 x 2， 1 x 2.当 x 2 时，原不等式可化为2x+1+x 2+x 14， x 3 .2又 x 2， x 2.综上所述，原不等式的解集为 x| x 1 或 x 1.2【例 2】 解不等式 x2 9 x 3.剖析：需先去绝对值，可按定义去绝对值，也可利用| x| a axa

6、 去绝对值 .解法一：原不等式（ 1） x290，或（ 2） x290，x29x 39x 2x 3.不等式（ 1）不等式（ 2）x3或 x33x43x3x3或 x2x 3 或 3x 4；2 x 3.原不等式的解集是x2 x 4 或 x 3 .解法二：原不等式等价于x3x 3， 或 x2 x=3 或 2 x4.3x4原不等式的解集是x2 x 4 或 x 3 .【例 3】 （理）已知函数f （ x） =x| xa| （ a R） .（ 1）判断 f （ x）的奇偶性；（ 2）解关于 x 的不等式： f （ x） 2a2.解：（ 1）当 a=0 时，f （ x） =x| x|= x| x|= f （

7、 x）， f （ x）是奇函数 .当 a 0 时， f （ a） =0 且 f （ a） = 2a| a|.故 f （ a） f （a）且 f （ a） f （ a） . f （ x）是非奇非偶函数.（ 2）由题设知x| x a| 2a2，xa，原不等式等价于2ax 2a 2x或 xa，x2ax2a 2 .由得 xa，x .x2ax 2a 20.由得xa，（ x 2a）（ x a） 0.当 a=0 时， x 0.当 a 0 时， x 2a.xa，x2a或 xa，当 a 0 时， xa，a，x2a或 x即 x a.综上a0 时， f （x） 2a2 的解集为 x| x 2a ；a0 时， f （

8、x） 2a2 的解集为 x| x a.（文）设函数f （ x）=ax+2，不等式 | f （ x） | 6 的解集为（ 1， 2），试求不等式x1的解集 .f（ x）解： | ax+2| 6，（ ax+2） 2 36，即 a2x2+4ax320.4a由题设可得a 21，32a 2解得 a= 4.2. f （ x） =4x+2.由x 1，即x 1 可得 5 x2 0.f（ x）4x24 x2解得 x 1 或 x 2 .25原不等式的解集为 x| x 1或 x 2 .25闯关训练夯实基础1. （2003 年北京海淀区一模题）已知集合A= x| a 1x a+2 ， B= x|3 x5 ，则能使 A

9、B成立的实数 a 的取值范围是A. a|3 a4B. a|3 a 4C. a|3 a4D.解析：由题意知a1，3 得3 4.a2，a5答案： B2. 不等式 | x2+2x| 3 的解集为 _.解析： 3x2+2 3，即 x 22 x30，x2x2 x30. 3x 1.答案： 3x 13. （2004 年全国， 13）不等式 | x+2| | x| 的解集是 _.解法一： | x+2| | x|（ x+2）2 x24x+40x 1.解法二：在同一直角坐标系下作出f （ x） =| x+2| 与 g（ x）=| x| 的图象，根据图象可得 x 1.解法三：根据绝对值的几何意义，不等式| x+2|

10、 | x| 表示数轴上x 到 2 的距离不小于到0 的距离， x 1.答案： x| x 1评述：本题的三种解法均为解绝对值不等式的基本方法，必须掌握.4. （2004 年春季北京）当 0 a 1 时，解关于 x 的不等式 a 2x 1 ax 2.解：由 0 a 1，原不等式可化为2x1 x 2.这个不等式的解集是下面不等式组及的解集的并集. 2x10，x202 x1，0或 x20，2 x1（x2）2 .解不等式组得解集为 x| 1 x 2 ，2解不等式组得解集为 x|2 x 5 ，所以原不等式的解集为 x| 1 x 5.222的两实根为x1 、x2，若 | x1|+| x2|=2 ，5. 关于

11、 x 的方程 3x 6（ m1）x+m+1=0求 m的值 .解： x1、x2 为方程两实根，22=36（ m 1） 12（ m+1） 0. m 35 或 m 35 .22又 x1x2 = m21 0， x1 、x2 同号 .2 | x1|+| x2 |=| x1 +x2|=2| m1|.于是有 2| m1|=2 ， m=0 或 2. m=0.培养能力6. 解不等式x21 1 .2| x |解：（ 1）当 x2 20 且 x0，即当2 x2 且 x 0 时，原不等式显然成立220时，原不等式与不等式组| x |2，等价（ 2）当 xx22 | x |x2 2 x，即 x 2 x 2 0. x 2

12、. 不等式组的解为x 2，即 x 2 或 x2原不等式的解集为（，2（2 ，0）（ 0，2 ） 2，）7. （ 2003 年湖北黄冈模拟题）已知函数f （ x） = ax 22 x 1 的定义域恰为不x等式 log 2（ x+3） +log 12取值范围 .x3 的解集，且f （ x）在定义域内单调递减，求实数a 的解：由 log 2（ x+3） +log 1 x 3 得2x3x33log 23x8x，x7x 0x0即 f （ x）的定义域为3 ，+） .7 f （ x）在定义域3 ， +）内单调递减，7当 x2 x1 3时， f （x1） f （ x2） 0 恒成立，即有（ ax1 1 +2

13、）（ ax27x1 1 +2）0a（x1 x2 ）（1 1）0x2x1x2（ x1 x2）（ a+ 1x1x2）0 恒成立 . x1 x2，（ x1 x2）（ a+ 1） 0x1 x2a+1 0.x1 x2 x x9149，1249x1 x29要使 a1恒成立，x1 x2则 a 的取值范围是a 49 .98. 有点难度哟！已知 f （ x） =x2 x+c 定义在区间 0，1上， x1、 x2 0， 1，且 x1 x2 ，求证：（ 1） f （ 0）=f （ 1）；（ 2） | f （ x2） f （ x1） | | x1 x2| ；（ 3） | f （ x1） f （ x2） | 1 ；2（

14、 4） |f （ x1） f （ x2） | 1 .4证明：（1） f （ 0）=c，f （1） =c， f （ 0） =f （ 1） .（ 2） |f （ x2） f （ x1） |=| x2 x1| x2+x1 1|. 0 x1 1， 0 x21，0 x1 +x2 2（x1 x2 ） . 1x1+x2 11. |f （x2） f （x1） | | x2 x1|.（ 3）不妨设 x2 x1 ，由（ 2）知|f （ x2） f （ x1 ） | x2 x1.而由 f （0） =f （1），从而| f （ x2） f （ x1 ）|=|f （ x2 ） f （ 1） +f （ 0） f （ x1

15、） | | f （ x2） f （1）|+|f （0）f （x1） | |1 x2|+| x1| 1 x2+x1. +得 2|f（ 2）（ 1）| 1，xfx即 |f （x2） f （x1） | 1 .2（ 4） | f （ x2） f （ x1） | f maxf min=f （0） f （ 1 ）= 1 .24探究创新9. （1）已知 | a| 1， | b| 1，求证： | 1 ab | 1；ab（ 2）求实数 的取值范围，使不等式| 1abab| 1 对满足 | a| 1，| b| 1 的一切实数 a、 b 恒成立；（ 3）已知 | a| 1，若 | a b | 1，求 b 的取值范围

16、 .1 ab（ 1）证明： |1 ab| 2 | a b| 2=1+a2b2 a2 b2 =（ a2 1）（ b2 1） . | a| 1， | b| 1， a2 1 0， b2 1 0. |1 ab| 2| ab| 20. |1 ab| | a b| ，|1ab | = |1a b | 1.| ab | ab |（ 2）解： | 1ab| 1|1 ab| 2| a b| 2=（a2 2 1）（ b2 1） 0.a b b2 1， a2 2 10 对于任意满足 | a| 1 的 a 恒成立 .当 a=0 时， a221 0 成立；当 a 0 时，要使 2 1对于任意满足 | a| 1 的 a

17、恒成立，而1 1，a2a2 | | 1. 故 1 1.（ 3） | ab | 1（ ab ）2 1（ a+b）2（ 1+ab）2a2+b2 1 a2 b2 01ab1ab（ a2 1）（ b2 1） 0. | a| 1， a2 1. 1b2 0，即 1 b 1.思悟小结1. 解含有绝对值的不等式的指导思想是去掉绝对值 . 常用的方法是：（1）由定义分段讨论；（2）利用绝对值不等式的性质； （3）平方 .2. 解含参数的不等式，如果转化不等式的形式或求不等式的解集时与参数的取值范围有关，就必须分类讨论 . 注意：（1）要考虑参数的总取值范围 . （2）用同一标准对参数进行划分，做到不重不漏 .教

18、师下载中心教学点睛1. 绝对值是历年高考的重点， 而绝对值不等式更是常考常新 . 在教学中要从绝对值的定义和几何意义来分析，绝对值的特点是带有绝对值符号，如何去掉绝对值符号，一定要教给学生方法，切不可以题论题.2. 无理不等式在新课程书本并未出现，但可以利用不等式的性质把其等价转化为代数不等式 .3. 指数、对数不等式能利用单调性求解 .拓展题例【例1】 设 x1 、 x2、 y1、 y2 是实数，且满足x12+x22 1，证明不等式（ x1 y1 +x2 y2222221）. 1）（ x1+x2 1）（ y1 +y2分析：要证原不等式成立，也就是证（x1y1+x2y2 1） 2（ x1 2+x2 21）（y12 +y22 1） 0.22证明：（1）当 x1 +x2 =1 时，原不等式成立.（ 2）当 x12+x221 时，联想根的判别式，可构造函数f （x）=（x12