加法原理、乘法原理

1、加法原理、乘法原理基础知识：1. 加法原理：如果完成一件事情可以分成几类方法，每一类又包含若干种不同方法，那么将所有类中的方法数累加就是完成这件事的所有方法数加法原理的关键在于分类，类与类之间用加法2. 乘法原理：如果完成一件事情可以分成几个步骤，每一步又包含若干种不同方法，那么将所有步骤中的方法数连乘就是完成这件事的所有方法数乘法原理的关键在于分步， 步与步之间用乘法3. 分类原则：分类要做到“不重不漏” 任意两类之间不可以重复，这叫做不重；把所有的类别累加在一起就得到整体，这叫做不漏4. 分步原则：分步要做到“前不影响后” 无论前面步骤采取哪种方法，后面一个步骤都应该有相同多的方法数，也就

2、是说后面一个步骤的方法数与前面步骤采取哪一种方法无关例1.从1开始依次写下去一直到999，得到一个多位数 1234567891011121314997998999,请问：(1)这个多位数一共有多少位？(2) 第999位数字是多少？(3) 在这个多位数中，数字 9 一共出现了多少次？(4) 数字0 共出现了多少次？问题(1)这个多位数一共有多少位？0答疑编号 5721040101【答案】(1) 2889;( 2) 9; ( 3) 300; ( 4) 189【解答】分析1： 999个自然数构成一个多位数，可以利用加法原理分类的思想求这个多位数的位数将这999个自然数分成3类：第1类是1位数；第2类

3、是2位数；第3类是3位数.分别 计算每一类自然数占了多少位，再求和就可以得出多位数的位数了详解1 :按照自然数的位数去分类构成这个多位数的自然数中1位数有9个，占了 9位；2位数有90个，占了 2X 90=180位；3位数有900个，占了 3X 900= 2700位；所以这个多位数总共有9+180+2700=2889位.问题(2)第999位数字是多少？详解2: 1位数和2位数一共占了 189位，999位数数字还需要 3位数占据999- 189=810位.由 810-3=2700可知第999位数字是第270个3位数的最后1位.第270个3位数是369,所以第999 位数字是9.问题(3)在这个多

4、位数中，数字9一共出现了多少次？分析3:前面2问分类的方法是按照自然数的位数去分类，1位数，2位数，3位数各自分为一类但按照这种分类的思路来解第3问就不是很方便了：1位数含有1个9, 2位数含有19个9,但是考虑3位数含有多少个9还是比较复杂.通过这种分类的思路去分析问题并没有使问题变得简单.可以考虑按照分段的方法去分类，第1类1 99;第2类100 199 ;第3类200 299；第10类900 999.分别计算每一类中包含了多少个9，然后再加和就可以了 .注意利用每一类的相似性，比如第1类到第9类每一类所包含 9的个数应该一样多，当然第 10类900 999中9的个数比 前9类要多100个

5、.再考虑一种分类的方法，按照9出现的位置去分类.首先考虑9在百位出现了多少次；再考虑 9在十位出现了多少次；最后考虑9在个位出现了多少次.详解3 :按照分段的方法去分类.实际这种分类方法也是按照百位数的不同去分类，在每一类中百位数是相同的(1 99可以看成百位数为0).考虑第1类1 99中包含了多少个 9,个位包含 9的有：9, 19, 29, 39, 49, 59, 69, 79, 89,99 一共 10 个；十位包含 9 的有：90, 91, 92, 93, 94, 95, 96, 97, 98, 99 也是 10 个.这样在 1 99 中9在个位和十位各出现了10次，一共是20次.同理，

6、第2类100 199；第3类200 299 ；第9类800899;每一类中也都包含 20个9.第10类900 999中9的个数比前9类要多100个，应该是120个.所以原来的多位数中总共有 20X 9+ 120=300 个 9.其实更快的方法是按 9出现的位置去数，应用乘法原理问题(4)数字0 共出现了多少次？详解4 :按照0出现在个位、十位去分类当0出现在十位时，百位可以为19,个位可以为09，根据乘法原理，共有 9X 10=90次；同理，当0出现在个位时，共有 9X 10+9=99次，所以原来的多位数中0出现了 99 + 90=189次.例2.允许数字重复，那么用数字0、1、3、5、7、9

7、最多可以组成多少个不同的三位数？轲答疑编号 5721040102【答案】180【解答】百位有5种选择，十位和个位都有 6种选择.根据乘法原理，一共可以组成5X 6X 6=180 个三位数.变化：如果不允许数字重复呢？其中被5整除的无重复数字的三位数又有多少个呢？例3.在所有的三位数中，至少出现一个 2的偶数有个.0答疑编号 5721040103【答案】162【解答】个位是 2的有9X 10=90个；十位是 2但个位不是2的偶数有9X 4= 36个；百 位是2但十位和个位都不是 2的偶数有9X 4=36个，所以一共有 90 + 36+ 36= 162个符合条件的三 位数例4.用1、2、3、4、5

8、这5个数字组成四位数， 至多允许有1个数字重复两次.例如1234、1233 和2454是满足条件的，而 1212、3335和4444就是不满足条件的.那么，所有这样的四位数共有 个.O答疑编号 5721040104【答案】480个【解答】方法1:分类讨论如果包含4个互不相同的数字，一共有 5X 4X 3X 2=120个；如果 包含3个互不相同的数字，我们可以先从 5个数字中选出3个数字，然后再从挑出的 3个数字中选 1个可以重复，最后把这 3个数字带上1个重复的数字共4个数字排成1行.根据乘法原理，就有- 二 -个，所以一共有 120 + 360= 480个四位数.方法2:排除法.所有可能的四

9、位数有 5X 5X 5X 5= 625个；只包含1个数字的有5个，包含2 个数字的有5X 4X( 2X 2X 2- 1 )= 140个.那么包含3个或4个不同数字的四位数有 625- 5 140=480 个.例5.书架上有1本英语书，9本不同的语文书，9本不同的数学书和 7本不同的历史书.现在要 从中取出3本书，而且不能有两本是同一科的.那一共有多少种取法？O答疑编号 5721040105【答案】774【解答】因为一共要 4种书中选3种，所以要分4种情况讨论：如果拿的是英语、语文和数学 书，根据乘法原理一共有 1X 9X9种方法；如果拿的是英语、语文和历史书，一共有 1X 9X7种拿 法，同理

10、另外两种情况分别有 1X 9X7种和9X 9X7种拿法.最后我们根据加法原理，一共有1X 9X9 + 1X 9X 7+ 1X 9X 7+ 9X 9X 7= 1X 9X 16+ 10X 9X 7=144+ 630 = 774 种拿法.例1.用0, 1 , 2, 3, 4这五个数字可以组成多少个无重复数字的：（1）银行存折的四位密码；（2）四位数；（3）四位奇数.O答疑编号 5721040201【答案】（1） 120 （个）；（2） 96 （个）；（3） 36 （个）.有5种选取方法;有4种选取方法;有3种选取方法;有2种选取方法;第一步第二步第三步第四步【解答】（1）完成“组成无重复数字的四位密

11、码”这件事，可以分四个步骤: 选取左边第一个位置上的数字， 选取左边第二个位置上的数字， 选取左边第三个位置上的数字， 选取左边第四个位置上的数字，由乘法原理，可组成不同的四位密码共有（2）完成“组成无重复数字的四位数”这件事，可以分四个步骤：从1, 2, 3, 4中选取一个数字作千位数字，有4种选取方法；从1, 2, 3, 4中余下的三个数字和 0中选取一个数字作百位数字，有 从余下的三个数字中选取一个数字作十位数字，有3种选取方法；从余下的两个数字中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；N=4X 4X 3X 2=96 （个）N=5X 4X 3X 2=120 （个）第一步 第二步 第三步

12、第四步4种选取方法;由乘法原理，可组成不同的四位数共有（3）完成“组成无重复数字的四位奇数”这件事，可以分四个步骤： 第一步：从1, 3中选取一个数字作个位数字，有2种选取方法；第二步：从1, 3中余下的一个数字和 2, 4中选取一个数字作千位数字，有3种选取方法;第三步：从余下的三个数字中选取一个数字作百位数字，有3种选取方法；第四步：从余下的两个数字中选取一个数字作十位数字，有2种选取方法；由乘法原理，可组成不同的四位奇数共有N=2X 3X 3X 2=36 （个）.例2.在120共20个整数中取两个数相加，使其和为偶数的不同取法共有多少种？O答疑编号 5721040202【答案】90 （种

13、）【解答】取a+b与取b+a是同一种取法.分类标准为两加数的奇偶性，第一类，偶偶相加，由乘法 原理得（10X 9）/2=45种取法，第二类，奇奇相加，也有（10X 9）/2=45种取法.根据加法原理共有45+ 45=90种不同取法.例3将5名志愿者分配到3个不同的奥运场馆参加接待工作，每个场馆至少分配一名志愿者的方案有多少种？O答疑编号 5721040203【答案】150 （种）【解答】5名志愿者分配到 3个不同的奥运场馆，可以分成 3, 1 , 1和2, 2, 1两类， 第一类：分成3, 1，1，完成此件事可以分成 3步， 第1步：3个馆选一个馆去3个人，共有3种选法，第2步：5个人中选3个

14、人，共有=丨种选法，第3步：剩下的2个人分别去两个馆，所以当分配成3, 1 , 1时，根据乘法原理，共有 3X 10X 2=60（种）； 第二类：分成2, 2, 1，完成此件事可以分成 3步，第1步：5个人中选出一个人，共有 5种选法，第2步：3个馆中选出一个馆，共有 3种选法，第3步：剩下的4个人中选2个人去剩下两个馆中的一个， 最后一个人去另外一个馆， 共有-（种），所以当分配成2, 2, 1时，根据乘法原理，共有 5X 3X 6=90 （种）； 所以根据加法原理，不同的分配方案共有60+ 90=150 （种）.例4.用1, 2, 3, 4, 5, 6组成六位数（没有重复数字），要求任何相

15、邻两个数字的奇偶性不 同，且1和2相邻，这样的六位数有多少个？&答疑编号 5721040204【答案】40 （个）【解答】可分三步来做这件事：第一步：先将3、5放到六个数位中的两个，共有2种排法；第二步：再将4、6插空放入剩下四个数位中的两个，共有2X 2=4种排法；第三步：将1、2放到3、5、4、6形成的空位中，共有 5种排法.根据乘法原理：共有 2X 4X 5=40 （种）.例5.在一个3行4列的方格表内放入 4枚相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共有多少种不同的放法？在一个3行4列的方格表内放入 4枚互不相同的棋子，要求每列至多只有1枚棋子，每行不做限制，那么一共

16、有多少种不同的放法？0答疑编号 5721040205【答案】81 （种）；1944 （种）【解答】问题14枚棋子放入4列，每一列有且仅有1枚棋子，因此总共分 4个步骤考 虑.第1步考虑第1列的棋子放在什么位置； 第2步考虑第2列的棋子放在什么位置； 第3步考虑第 3列的棋子放在什么位置；第 4步考虑第4列的棋子放在什么位置.每一步都有3种选择方法，所以 方法数一共有 3X 3X 3X 3=81种.问题2假设4枚互不相同的棋子为 A, B, C, D将按照下面的4个步骤进行考虑，先放棋子 A, 12个格子可以随便选择，一共有 12种方法.第2步放棋子B, A那一列的3个格子不能选择，其 它的格子

17、都可以放 B,所以一共有9种方法.第3步放棋子C, A B那两列一共6个格子不能选，所 以一共有6种方法.第4步放棋子D, A B C三列一共9个格子不能选，还剩 3个格子，所以一共 有3种方法.利用乘法原理，放入 4个不同棋子的方法数一共有 12X 9X 6X 3=1944种方法.另外一种解法问题24个棋子要占4个方格，先选出放棋子的 4个方格实际上挑出4个方格的方法数和第1问是完全相同的，总共有 3X 3X 3X 3=81种选择方法.选好方格后再将棋子排列进去，第 1列的方格可以选择 A, B, C D中的任何一个棋子，所以有 4种方法；第2列的方格还剩下三个棋子可供选择，所以有 3种方法

18、；第3列的方格还剩下两个棋 子可供选择，有2种方法；第4列的方格只有1种方法.所以选好4个方格后排列棋子的方法数一共 是 4X 3X 2X 1=24 种.选4个方格有81种方法，选好4个方格后放棋子一共有 24种方法，所以将表格中放入 4个互 不相同的棋子的总方法数是 81 X 24=1944种.例6.如图，把图中的8个部分用红、黄、绿、蓝 4种不同的颜色着色，且相邻的部分不能使 用同一种颜色，不相邻的部分可以使用同一种颜色那么，这幅图共有多少种不同的着色方法？AFBGCHO答疑编号 5721040206【答案】768 （种）【解答】按照 A，B, D, E，C, G F，H的步骤进行染色.对

19、A进行染色的时候没有任何的限制，总共有4种染色的方法；对 B进行染色的时候由于不能和A同色，所以有3种染色的方法；对 D进行染色的时候由于不能和A, B同色，所以只剩2种染色的方法；对E进行染色时不能和 B, D同色，所以有2种染色的方法；对 C进行染色时不能和 B, E 同色，所以有2种染色方法；对 G进行染色时不能和 D, E同色，所以有2种染色的方法；对 F进行 染色时不能和 D, G同色，所以有2种染色的方法；对 H进行染色时不能和 E, G同色，所以有2种 染色的方法综合上面的八个步骤，利用乘法原理，共有4X 3X 2X 2X 2X 2X 2X 2=768种着色的方法评议本题染色的步骤还有很多种，大家考虑一下按照A, B, C, D, E, F, G, H的步骤进行染色是否可以？可能有同学发现按照 A, B, C, D, E, F, G H的步骤进行染色会算出另外一个答案 4X 3X 3X 2X 1X 3X 1X2 =432.当然，正确答案只能有一个，那么这种分步方法到底错在哪里呢？这里