利用零点分段法解含多绝对值不等式

1、利用零点分段法解含多绝对值不等式对于含有两个或两个以上绝对值不等式的求解问题， 不少同学感到无从下手， 下面介绍 一种通法零点分段讨论法一、步骤通常分三步：找到使多个绝对值等于零的点分区间讨论， 去掉绝对值而解不等式 一般地 n 个零点把数轴分为 n 1 段进行讨论将分段求得解集，再求它们的并集.二、例题选讲例1求不等式|x+ 2|+ |x 1|3的解集.再分别讨论而去掉绝对值. 从而(x 1)(x 1)分析： 据绝对值为零时 x 的取值把实数分成三个区间， 转化为不含绝对值的不等式解： |x+ 2|= X 2 (X 2) , |x1|= X x 2 (x 2)故可把全体实数x分为三个部分：x

2、v 2,一2 1.所以原不等式等价于下面三个不等式组：x2(I ) x 2 1 x3，或(n)x1x2x1，或(川)2x13x 2 1 x 3不等式组(I )的解集是x|xv 2，不等式组(n )的解集是不等式组(川)的解集是x|x 1.综上可知原不等式的解集是x|xv 2或x 1.例 2 解不等式 |x 1|+ |2 x|3 x.(2,+s )三部分，故分三个区间来解：由于实数1, 2将数轴分成(一R, 1 , (1 , 2,讨论. 当XW 1时，原不等式可化为一(x 1) (x 2) x+ 3,即卩xv 0故不等式的解集是 x|xv 0 . 当1v x x+ 3,即xv 2 故不等式的解集

3、是. 当x2时，原不等式可化为(x 1) + (x 2)x+ 3,即x6.故不等式的解集是x|x 6.综上可知，原不等式的解集是x|xv 0或x 6.例3已知关于x的不等式|x 5|+ |x 3|v a的解集是非空集合，求a的取值范围.解：T x= 5 时，|x 5|= 0; x= 3 时，|x 3|= 0.当xw 3时，原不等式可化为一 x+ 5 x+ 3 v a，即卩a 8 2x,由xw 3,所以一2x6，故 a 2.当3v xw 5时，原不等式可化为一x+ 5+ x 3v a,即卩a 2.当x5时，原不等式可化为 x 5+ x 3va，即a2x 8 10 8 = 2,故a2. 综上知a

4、2.无理不等式与绝对值不等式考试目标 主词填空1含有绝对值的不等式 |f(x)|0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是af(x)a(a0),去掉绝对值后，保留其等价性的不等式是f(x)a或f(x)|g(x)|%)口妝).2无理不等式对于无理不等式的求解，通常是转化为有理不等式(或有理不等式组)求解.其基本类型有 两类：.f (x) g(x)g(x) 02 或 g!2x 4;.x 1 0,故原不等式可化为不等式组(2)因右边2x符号不定，故须分两种情况讨论,(3)与(2)类似，也须讨论x10x 1【规范解答】(1)化原不等式为：x 5 .x1 4x5x 10x 10(2)化原不等式为：2x

5、4 0或2 2x 40(x 1) (2x 4)217178x 2x 1或24x217x 170 x 2(3)化原不等式为两个不等式组x1x 10A2x 10x-x 02x 1(2x 1)24x23x 0【解后归纳】将无理不等式转化为有理不等式组，基本思路是分类讨论，要注意解集的交、并运算对于那些复杂的无理不等式，一般情况下读者不要去研究它，避免消耗太多 精力【例2】解下列含有绝对值的不等式：(1) |x2 4|2x 1|;(3) |x 1|+|2x+1|4.【解前点津】(1)可直接去掉绝对值符号，转化为一(x+2) x2 4|2x 1|2(2x 1)2 (x+1)20.(2x 1+x+l) (

6、2x 1 x 1)0 3x (x 2)00x2.1令x 1=0得x=1,令2x+仁0得x=.212时，原不等式可化为：一(x 1) (2x+1)41x -23x 41当x_,1时，原不等式可化为：一(x 1)+(2x+1)4.21xW 1.2x 14当x (1,+g)时，原不等式可化为：(x 1)+(2x+1)0)及y=ax+ 3 (x0)的图像 若y= . x的图像位于y=ax+ 图像的上方，则与之对应的x的取值范围就是不等式的解2|_3【规范解答】设y1=.x,它的图像是半条抛物线；y2=ax+ (x 0),它的图像是经过点(0,23),斜率为a的一条射线.i_33不等式 X ax 的解即

7、当y1= . x的图像在y2=ax+ (x0)的图像上方时相应的x的33取值范围，因为不等式解集为(4,m),故方程 x ax 有一个解为4,将x=4代入x ax22再求方程、x18 .3的另一个解，得:x=36,即m=36.2【解后归纳】须在“公共定义域内”【例4】1x8用图像法解不等式，须在同一坐标系中作出两个函数的图像,，要确定那一部分的图像对应于不等式的解集且图像必解不等式 |log2x|+|log2(2 x)| 1.【解前点津】从x的可取值范围入手，易知0x0且2 x0故0x0,故此时原不等式为：Iog2x+log2(2 x) 1Iog2x-一x Iog22x 2xx 1当x (1,

8、2)时，因为Iog2x0,log2(2 x) 1Iog2- Iog22x2(2 x)x 22故原不等式的解集为 0,3【解后归纳】本题利用对数函数的性质，去掉了绝对值符号，从而转化为分式不等式组.号,5.2.3无理不等式的解法、引入：1、无理不等式的类型:、f(x)g(x)型f(x) g(x) f(x)0 定义域0g(x)g(x)0、.、f(x)g(x)型f(x)0或f(x)g(x)2f(x)0、.f (x)g(x )型g(x)0f(x)g(x)2、典型例题:例1、解不等式.3x 4、x 30g(x)0f(x) 0例2、解不等式x2 3x 2 4 3x例3、解不等式 2x2 6x 4 x 2例

9、4、解不等式2x 1. x 11例5、解不等式.x2 1 ax 1(a 0)例6、解不等式3 2 x x 11三、小结:四、反馈练习:解下列不等式1. 2x 3 3x5,5x 62. 3x 3 x 34. (x 1)、x2 x5. 2 x 、x 1第6课无理不等式与绝对值不等式习题解答对a=3进行检验，考虑不等式的几何意义.利用x0,化简另一个不等式.由 0 X 3 10x 313x0 且 4 x2(x+1)22xw 2.分别画出:y= .a2 x2，与 y=2x+a的图像，看图作答.|x a| ,|y a|x y|=|(x a) (y a)| |x a|+|y a| + =2 ,当 |x y

10、|2 时，不能推出 |x a| &且 |y a| e .若 0abc,且 lgalgb|lgc|lgb|O,ac 1 (a+c)=ac+1 a c=(c 1) (a 1)0, ac+10,当 log2x0 时,不等式成立，此时 0x 0 时,|2x+log 2x|=2x+|log2x|.4x2当0x2时，不等式成立，另由x4 x22x0,4 x2 1 010. 由(|x| 1) (|x| 3)01|x| 0 知,x、x 2w 0,( . x 2) (、x+1) w 00 w . x w 20 w x0)上方a ( 、2，+g).3x0亠x30 亠或13x1x3(3x) 3x013.(1)化原不等式为2 2x 2 23x2 2x 0x 102(2)化原不等式为：1 2x 02 2(x 1)21 2x2原不等式解集为:，I 0,乎14.原不等式等价于x 2x15 x 2x 355 2x 3 11-7) U (?+g).1解之:x 7或-5,故原不等式解集为315. 由 a(a x) 0xw a.aa当x时,a 2x0,不等式成立，故 x