导数大题的常用找点技巧和常见模型

1、导数大题的常用找点技巧和常见模型引子：（ 2017 年全国新课标1理 21）已知fxae2 x a 2 ex x .（ 1）讨论fx 的单调性；（ 2）若 fx有两个零点，求 a的取值范围 .解析：（ 1） f x2ae2 xa2 ex12ex1 aex1若 a0 ，则 f x0 恒成立，所以fx 在 R 上递减；若 a0 ，令 f x0 ，得 ex1 , x ln 1 .aa当 xln 1时， f x0，所以 fx在,ln 1 上递减；aa当 xln 1时， f x0 ，所以 fx在 ln 1 ,上递增 .aa综上，当 a0 时， fx在 R 上递减；当 a0 时， fx在,ln1上递减，在

2、ln 1 ,上递增 .aa（ 2） f xfx min0，即 a0 ，且 f xf11ln1有两个零点，必须满足minln10.aaa构造函数 gx1xln x ， x0 .易得 g x110 ，所以 gx1 x ln x 单调递减 .x又因为 g 10，所以1110g1g 1110a1 .lnaaaa下面只要证明当 0a1时， fx有两个零点即可，为此我们先证明当x0 时， xln x .事实上，构造函数h xx ln x ，易得 h x1 1， hx minh11，所以 h x0，即 xln x .x当 0a 1时， f 1a a 21aeae220 ，e2e2ef ln 3 a23 1

3、ln 3 13 1 ln 3 1 0 ，a 3 1a 2aaaaaa其中1 ln 1， ln 3aln 1，所以 f x在1,ln1和ln 1 ,ln 3a上各有一个零点 .aaaaaa故 a 的取值范围是0,1 .注意： 取点过程用到了常用放缩技巧。一方面： ae2 xa 2 exx 0 ae2 xa2 exex0 aexa30 ex 3 ax ln 31 ；aa另一方面：x0时，2xxxaea 2 e x 0a 2 e x 0 x1（目测的）常用的放缩公式 （考试时需给出证明过程）第一组：对数放缩（放缩成一次函数）ln xx1， ln xx ， ln 1xx（放缩成双撇函数）ln x1x1

4、x1 ， ln x1x10x 1 ，2x2xln xx1x 1， ln xx10 x 1 ，xx（放缩成二次函数）ln xx2x ， ln1xx1 x21x0， ln1xx1 x2 x 022ln x 11， ln x2 x1x1， ln x2x1x1 ，（放缩成类反比例函数）x1x0x1ln 1 xx ， ln 1 x2xx 0 ， ln 1 x2xx 01 x1x1x第二组：指数放缩（放缩成一次函数）exx1 ， exx ， exex ，（放缩成类反比例函数）ex11x0， ex1x0，xx（放缩成二次函数）ex1x1 x2x0， ex1x1 x21 x3 ，226第三组：指对放缩exln

5、 xx 1x12第四组：三角函数放缩sin xxtan xx0， sin xx1 x2， 1 1 x2cos x11 sin2 x .222第五组：以直线yx1为切线的函数y ln x ， y ex 11， y x2x ， y11 ， y x ln x .x几个经典函数模型经典模型一： yln x 或 yx .xln x【例 1】讨论函数 f xln xax的零点个数 .（ 1） a1时，无零点 .ef x111a ， f xmaxfln1 0 .xaa1（ 2） ae时，1个零点 .11x maxfeln e 10 .f xx， f1e（3）当 0a个零点 .时， 2ef 1a 0（目测），

6、 f1ln1a11a0，其中 11e .（放缩）1 a1 a 1 a 1 a1 a1 afe1 ea0 .f1ln111a1a0，其中12e .（用到了1）a2a2aaaa2eln xxxx 1（ 4）当 a0时，1个零点 .a1f x1a 0，单调递增 . f1a0 ，x1a11a11feaaaeaae21e2 a0.aaa【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例1： fxln xax）：1.讨论 fxln xm x 的零点个数 （令xma ）；t ，122.讨论 fxx mln x的零点个数 （令a ）；m3.讨论 fxx ln x mx 的零点个数 （考虑 gfxxx）；34.讨论

7、 fxln xmx 的零点个数（ 考虑 g xx fx，令 tx 2 ， 3 ma ）；x25.讨论 fxln xmx2 的零点个数（ 令 tx2， 2ma ）；6.讨论 fxaxex 的零点个数 （令 ext ） .经典模型二： yex或 yexxx【例 2】讨论函数fxexax 的零点个数 .（ 1） a 0 时， 1 个零点 .f x exa0 ， fx exax 单调递增 .111 ,0 上有一个零点；且 f01 a 0 ， fea10 ，所以在aa（ 2） a0 时，无零点 .fxex0恒成立；（ 3） 0ae 时，无零点 .fx minfln aa 1ln a0 ；（ 4） ae

8、时， 2 个零点 .11fea1 0 ， f 1e a 0 ， f 2ln a a a 2ln a a e 2 0 .a【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题2： fx exax ）：1.讨论 fxe2xmx 的零点个数（ 令 2x t ， ma ）；22.讨论 fxexm的零点个数（ 去分母后与1等价）；xex3.讨论 fxexmx 的零点个数（ 移项平方后与1等价）；4.讨论 fxexmx2 的零点个数（ 移项开方后换元与 1 等价 ）；5.讨论 fxex1mx 的零点个数（ 乘以系数 e，令 ema ）；6.讨论fxln xmx的零点个数（ 令 x et2，转化成 ）x7.讨论

9、 fxex1mx m 的零点个数（ 令 x1t ， ma ）；e2经典模型三： yx ln x 或 yxex【例】讨论函数 fx ln xa的零点个数 .（ 1） a0时，1个零点 .xf xxa0 ， fxln xax2单调递增 .xf 1a 0 ， f 1 aln 1 aa11a0 .1a1 a1 a（ 2） a0 时， 1 个零点 （ x01） .（ 3） a1时，无零点 .exa， fx minfalna10f x2x（ 4） a1时，1个零点 .ex011ln10. f xminf1eee（ 5）1a 0 时， 2 个零点 .ef a2ln a2111a 0 ， f11 ea 0 ， f 1a 0 ，aaaaea【变式】（经过换元和等价变形之后均可以转化到例题3： fxln x）：x1.讨论 fx1a ln x 的零点个数；x2.讨论 fxmfxt ）；x ln x 的零点个数（ 考虑 g x，令 xxax3.讨论 fxxex的零点个数（ 令 et ）；4.讨论 fxexa 的零点个数；x练习题1. 已知函