对面积的曲面积分

1、第四节对面积的曲面积分4.1 学习目标了解对面积的曲面积分的概念、性质， 掌握对面积的曲面积分的计算方法，会用曲面积分求一些几何量与物理量 .4.2 内容提要1. 定义设函数 fx, y, z在光滑曲面上有界，将曲面任意分成 n 小块Si（Si 也表示第 i 小块曲面的面积） ，在Si 上任取一点 M i (i , i , i) ，作乘积 f ( i , i, i ) Sin（ i1,2,L , n ），并作和fi ,i , isi ，记各小曲面直径的最大值为，如果对曲i1面的任一分法和点(i , i , i)的任意取法，当0时，上述和式的极限都存在且相等，则称此极限值为函数fx, y, z

2、在曲面上对面积的曲面积分或第一类曲面积分，记nf ( x, y, z)dSlim0 i 1f (i ,i ,i )Si 【注】 定义中的“Si ”是面积元素，因此，Si0 2. 性质关于曲面具有可加性，若12 ，且1 与2 没有公共的内点，则f ( x, y, z)dSf ( x, y, z)dSf ( x, y, z)dS ；12当被积函数为 1 时，积分结果在数值上等于曲面的面积 S ，即f (x, y, z)dSS 3. 对面积的曲面积分的计算设曲面由 z z x, y 给出，在 xoy 面上的投影区域为D xy ，函数 zz x, y 在 Dxy上具有连续偏导数，被积函数f ( x,

3、y, z) 在上连续，则22f (x, y,z)dSf ( x, y, z(x, y) 1zzxdxdyDxyy同样地:xx y, z22xxf ( x, y, z)dSfx y, z, y, z1dydz ，Dyzyz: y yz,x22f ( x, y, z)dSf x, y z, x , zyy1dzdx Dxzxz4.对面积的曲面积分的应用设曲面上任意一点x, y, z 处的面密度是x, y, z，则曲面的质量mx, y, z dS曲面的质心 x, y, zx1xx, y, z dS ,y1yx, y, z dS， z1mz x, y, z dSmm曲面的转动惯量I xy2z2x, y

4、,z dS ， I yx2z2x, y, z dS ，I zx2y2x, y, z dS， Iox2y2z2x, y, z dS 4.3典型例题与方法基本题型 I：计算对面积的曲面积分例1填空题设: x2y2z24，则 ( x2y2 )dS_ 解由积分区域的对称性知乙x 2dSy 2dS? z2dS ，于是(x 2y2 )dS2( x2y2z2 )dS 乙3而积分在上进行， x2y2z24 ，代入上式得，128故应填.3例2选择题设 : x2y2z2a2 ( z0)， 1为在第一卦限中的部分，则有（）（ A）xdS4xdS ；（ B）ydS 4xdS ；11（ C）zdS4xdS ；（ D）x

5、yzdS4 xyzdS 11解因为曲面是上半球面，关于 yoz 面对称且被积函数f1(x, y, z) x ，f2 (x, y, z)xyz都是变量 x 的奇函数，于是xdSxyzdS 0 类似地， 关于 xoz面对称且 f 3( x, y, z) y 是变量 y 的奇函数，于是ydS 0 而 xdS0, xyzdS 0 ，11故应选（ C）事实上，由对称性，zdS 4 zdS ，zdSxdS ，（ C）正确111【方法点击】在计算对面积的曲面积分时，应注意下列技巧：（ 1）利用对称性，但要注意，曲面 关于某坐标面对称，被积函数关于相应变量具有奇偶性，两者缺一不可（ 2）利用积分曲面的方程化简

6、被积函数例 3 计算曲面积分(2 x 2 y z) ds，其中是平面2x 2yz 20 被三个坐标面所截下的在第一卦限的部分 .解法一: z22x2 y, zx2, zy2.在 xoy 平面上的投影是三角形，记为D : 0x 1,0y1x .(2 x2 yz)ds2g 1z 2z 2 dxdy6dxdy 3 .xyDDg122解法二(2 x2 yz)ds2dS 22 g223.22【方法点击】 在解法二中， 将曲面方程代入到了曲面积分里，因为积分曲面是一个三角形，最后用到了三角形的面积公式.例4计算I(x2y2 )dS , 为立体x 2y 2z 1的边界 .【分析】 根据积分曲面的方程，确定投

7、影区域，计算曲面面积微元dS ，将曲面积分转化为投影区域上的二重积分进行计算解设12 ,1 为锥面 zx2y 2, 0z1 ，在1 上，z2z2dS1dxdy =2dxdy ，xy图 4-12 为 z 1 上 x2y 21 部分，在2上， dSdxdy ，1 ,2 在 xOy 面的投影区域为 D : x2y21，所以I(x2y 2 )dS +( x2y2 )dS1221(2 1)( x2y 2 )dxdy(12)d3d(12) .D102例 5 计算z2 dS ，其中为 x2y 24 介于 z0, z6 之间的部分 .【分析】积分曲面如图 11-13 所示，此积分为对面积的曲面积分，积分曲面关

8、于 xoz面， yoz 面对称，被积函数是偶函数，则有z2 dS = 4z 2dS ，故可利用对称性解之 .1解设 1 : x4y 2 ,其在 yoz面的投影域为 D yz:0y20z，6z2 dS = 4z2 dS =4 z2262dz22dy 288dzdy 4z.1D yz4 y2004 y2zoyx图 4-2【注】 该题不能将积分曲面向 xoy 面作投影，因为投影为曲线，不是区域.基本题型 II ：对面积的曲面积分的应用例 6 求物质曲面 S : z1( x2y2 )(0z1)的质量，其面密度z( x, y, z) S) .2解 S 在 xoy 平面上的投影区域D : x2y2(2)

9、2.于是，所求质量为 M1 (x2y2 ) dS1( x2y2 ) 1 x2y 2 dxdy22 D例 7 试求半径为R 的上半球壳的质心， 已知其各点的密度等于该点到铅锤直径的距离解以球心为原点，铅锤直径为z 轴建立直角坐标系，则球面方程为x2y2z2R2 ，且任意点 M ( x, y, z) 处的密度为x2y2 设球壳的质心坐标为 ( x, y, z) ，由对称性知，x y 0 z dSzdS，z22R为上半球面 zR2x2y2zdxdydxdy ，其中， dS1yx2xR2y2于是球壳的质量为其中D为在 xoy 面上的投影域： x2y2R2 利用极坐标计算上述二重积分，得而2R44R故

10、z34 R，于是半球壳的质心坐标为12R3 3(0,0, ) 324.4 教材习题解答1.有一个分布着质量的曲面，在点 ( x, y, z) 处它的面密度u( x, y, z) ，用对面积的曲面积分表示这曲面对于x 轴转动惯量。解：假设 u( x, y, z) 在曲面上连续，应用元素法，在曲面上任取一直径很小的曲面块dS ，设 ( x, y, z) 使曲面块 dS 内的一点，则由曲面块dS 很小， u(x, y, z) 的连续性可知，曲面块 dS 的质量近似等于u( x, y, z) dS ，这部分质量可近似看作集中在点(x, y, z) 上，该点到 x 轴的距离等于x2y 2 ，于是曲面对于

11、x 轴的转动惯量为：dI x(z2y 2 )u( x, y, z)dS ，所以转动惯量为：I x( y2z2 )u( x, y, z) dS2按对面积的曲面积分的定义证明公式f (x, y, z)dSf (x, y, z) dSf (x, y, z) dS ，其中由1 和2 组成12证明：因为f ( x, y, z) 在曲面上对面积的积分存在，所以不论把曲面怎样分割，积分和总保持不变，因此在分割曲面时，可以永远把1 和2 的边界曲线作为分割线，从而保证Si 整个位于1 上，于是上的积分和等于1 上的积分和加上2 上的积分和，即令各小块的直径的最大值趋向于0，去极限得到：f ( x, y, z)

12、dSf ( x, y, z)dSf ( x, y, z)dS123.当时 xoy 面内的一个闭区域D 时，曲面积分f ( x, y, z)dS 和二重积分有什么关系。解：当时 xoy 面内的一个闭区域D 时，在 xoy 上的投影区域即为D ，上的f ( x, y, z) 恒为 f ( x, y,0)，并且 zx zy0 ，所以 f (x, y, z)dSf (x, y,0)dxdy ，即曲面积分与二重积分相等。4.计算曲面积分fx, y, z dS ，其中为抛物面 z 2 x 2y2 在 xoy 面上方的部分， f x, y, z 分别如下：（ 2） f x, y, zx 2y 2 ;（ 3）

13、 f x, y, z3z 解（2）fx y z dS =222x2，其中为在面上,xy1 zzydxdyD xyxoyD xy的投影区域，即D xy : x 2y 22 z 0 .于是f x, y, z dS =x 2y 21 4( x 2y 2 )dxdy222 1 4 2 d149.0dD xy030（ 3）f x, y, z dS=3 2x 2y 21 4( x2y2 ) dxdy3d221 4 2 d111 .22Dxy00105. 计算x2y 2dS，其中是：（ 1）锥面 zx 2y2 及平面 z1所围成的区域的整个边界曲面 .（ 2）锥面 z23( x2y 2 ) 被平面 z0 和

14、 z3 所截部分。解（ 1）设中属于锥面部分为1 ，上底面部分为2 ，而1 与 2 在 xoy 面上的投影区域均为D xy : x 2y 21 z0 ，所以x2y 2 dS=x 2y 2 dSx 2y 2 dS12（2）所截的锥面为：z3x 2y2(D xy : x 2y 23)，所以 ( x2y 2 ) dS2(x 2y2 ) dxdy9Dxy6.计算下列对面积的曲面积分：（ 1）( z2x4 y)dS，其中为平面 xyz1 在第一卦限中的部分 .3234解 z42x4y ， dS1(2) 2( 4)2 dxdy61 dxdy333（ 2）(2 xy 2x2xz)dS ，其中为平面 2x2 y z 6 在第一卦限中的部分 .解 z4 2x4y ， dS1(2)2(2)2 dxdy3dxdy3（ 3）( xyz)dS ，其中为球面 x2y2z2a2 上 zh(0ha) 的部分 .解 za2x2y2， dS1(2xy2)2(2 yy2)2 dxdy2 a2x22