奇偶性的概念

1、1.3.2奇偶性第 1 课时奇偶性的概念学习目标 ：1.理解奇函数、偶函数的定义.2.了解奇函数、偶函数图象的特征.3.掌握判断函数奇偶性的方法自主预习探新知函数的奇偶性奇偶性偶函数奇函数条件对于函数 f(x)定义域内的任意一个x结论f( x)f(x)f(x) f(x)图象特点关于 y 轴对称关于 x 轴对称思考：具有奇偶性的函数，其定义域有何特点？ 提示 定义域关于原点对称基础自测 1思考辨析(1)函数 f(x)x2，x0， )是偶函数 ()(2)对于函数y f(x)，若存在x，使f( x) f(x)，则函数yf(x)一定是奇函数()(3)不存在既是奇函数，又是偶函数的函数()(4)若函数的

2、定义域关于原点对称，则这个函数不是奇函数就是偶函数()答案(1)(2)(3)(4)2下列图象表示的函数具有奇偶性的是()【导学号 ：37102153】1ABCDB B 选项的图象关于 y 轴对称，是偶函数，其余选项都不具有奇偶性 3函数 yf(x)，x 1，a(a1)是奇函数，则 a 等于 ()A 1B0C1D无法确定C 奇函数的定义域关于原点对称， a10，即 a1.4若 f(x)为 R 上的偶函数，且f(2)3，则 f(2)_.【导学号 ：37102154】3 f(x)为 R 上的偶函数， f(2)f(2) 3.合作探究攻重难函数奇偶性的判断判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)x3x；(2

3、)f(x)1x2x2 1；2x22x(2)f(x)x 1 ；x1， x0. 解(1)函数的定义域为R，关于原点对称又 f(x)(x)3( x) (x3x) f(x)，因此函数 f(x)是奇函数1 x20，(2)由得 x21，即 x 1.x210因此函数的定义域为 1,1 ，关于原点对称2又 f(1)f(1) f(1)0，所以 f(x)既是奇函数又是偶函数(3)函数 f(x)的定义域是 (， 1)(1， )，不关于原点对称，所以f(x)既不是奇函数也不是偶函数(4)函数 f(x)的定义域为 R，关于原点对称 x1， x0， x1 ，x0，即 f(x) 0，x0， x1 ，x0.于是有 f( x)

4、 f(x)所以 f(x)为奇函数 规律方法 判断函数奇偶性的两种方法(1)定义法：(2)图象法： 跟踪训练 1下列函数中，是偶函数的有_ (填序号 )31 f(x) x ； f(x)|x|1； f(x)x2； f(x) x 1x； f(x)x2，x 1,2.【导学号 ：37102155】3 对于 ，f(x) x3 f(x)，则为奇函数；对于 ， f( x) | x| 1 |x|1，则为偶函数；11对于 ，定义域为 x|x0 ，关于原点对称， f(x) x 2x2f(x)，则为偶函数；1对于 ，定义域为 x|x0 ，关于原点对称， f(x) x x f(x)，则为奇函数；对于 ，定义域为 1,2

5、，不关于原点对称，不具有奇偶性，则为非奇非偶函数 奇偶函数的图象问题已知奇函数 f(x)的定义域为 5,5，且在区间 0,5 上的图象如图 1-3-6 所示图 1-3-6(1)画出在区间 5,0上的图象；(2)写出使 f(x)0 的 x 的取值集合 解(1)因为函数 f(x)是奇函数，所以yf(x) 在 5,5上的图象关于原点对称由 yf(x)在0,5 上的图象，可知它在 5,0上的图象，如图所示(2)由图象知，使函数值y0 的 x 的取值集合为 (2，0) (2,5) 规律方法 巧用奇、偶函数的图象求解问题1 依据：奇函数 ? 图象关于原点对称，偶函数? 图象关于 y 轴对称 .2 求解：根

6、据奇、偶函数图象的对称性可以解决诸如求函数值或画出奇偶函数4图象的问题 . 跟踪训练 12如图 1-3-7 是函数 f(x) x2 1在区间 0， )上的图象，请据此在该坐标系中补全函数 f(x)在定义域内的图象，请说明你的作图依据 .【导学号 ：37102156】图 1-3-7 解 因为 f(x) 21R.又对任意xR，都有 f( x)所以 f(x) 的定义域为x11 212f(x)，所以 f(x)为偶函数所以 f(x)的图象关于 y 轴对称，其图x 1 x1象如图所示利用函数的奇偶性求值或求参数 探究问题 1若函数 yf(x)是奇函数，且点 (a，f(a)是 yf(x)图象上一点，点 (a

7、，f(a)是否在函数图象上？提示：在 f(x)为奇函数，故 f(a)f(a)，故点 (a， f(a)一点在函数 yf(x)的图象上52对于定义域内的任意x，若 f( x) f(x) 0，则函数 f(x)是否具有奇偶性？若f(x) f(x)0 呢？提示：由 f(x)f(x)0 得 f(x) f(x)， f(x)为奇函数由 f(x)f(x) 0 得 f(x) f(x)， f(x)为偶函数(1)已知函数 f(x) x3ax2bxc 是定义在 2b5,2b 3上的奇函数，则1f 2 的值为 ()19A. 3B 8C 1D无法确定(2)已知 f(x)x7ax5bx3cx 2，若 f(3) 3，则 f(3

8、)_.思路探究 ：(1)定义域关于1f x 是奇函数 求a，b，c的值 计算 f 2原点对称判断 g x 计算 g 3 代入求得 f 3(2) 令 g x x7ax5bx3cx 的奇偶性(1)B(2)7(1) 由题意可知 2b52b30，即 b 2.又 f(x)是奇函数，故 f(x) f(x) 0，所以 2ax22c0 对任意 x 都成立，则 ac0，11119 f 2 8228 1 8.(2)令 g(x)x7ax5bx3cx，则 g(x)是奇函数， f( 3)g(3)2 g(3) 2，又 f(3) 3，g(3)5.又 f(3)g(3) 2，所以 f(3) 5 2 7.母题探究： 1.本例 (

9、1)的条件改为“ f(x)ax2 bxb1 是定义在 a1,2a 上的偶1函数”，求 f 2 的值6由题意可知a12a 0， 解a1， ，b0，3b 011113 f(x) 3x2 1， f 2 12112.2把本例 (2)的条件“ f(3) 3”换为“ f(d) 10”，求 f( d)的值 解令 g(x)x7ax5bx3cx，易知 g(x)为奇函数， f(d)g(d) 2 10，即g(d) 8.所以 f(d) g(d) 2 g(d)2 8 2 6. 规律方法 利用奇偶性求参数的常见类型及策略1 定义域含参数：奇、偶函数 f x 的定义域为 a，b，根据定义域关于原点对称，利用 ab0 求参数

10、 .2 解析式含参数：根据f x f x 或 f x f x 列式，比较系数即可求解.当堂达标固双基1函数 f(x)|x| 1 是()【导学号 ：37102157】A奇函数B偶函数C既是奇函数又是偶函数D非奇非偶函数B f(x) |x| 1|x| 1 f(x)， f(x)为偶函数 2如图 1-3-8，给出奇函数 yf(x)的局部图象，则f( 2)f(1)的值为 ()图 1-3-8A 2B2C 1D013A 由图知 f(1)2，f(2) 2，又 f(x)为奇函数，731所以 f(2) f(1) f(2) f(1) 22 2.故选 A.3下列说法中错误的个数为()图象关于坐标原点对称的函数是奇函数

11、；图象关于 y 轴对称的函数是偶函数；奇函数的图象一定过坐标原点；偶函数的图象一定与y 轴相交 .【导学号 ：37102158】A 4B3C 2D11C 由奇函数、偶函数的性质， 知 说法正确；对于 ，如 f(x)x，x( ，0) (0， )，它是奇函数，但它的图象不过原点，所以说法错误；对于 ，1如 f(x)x2，x(， 0)(0， )，它是偶函数，但它的图象不与y 轴相交，所以 说法错误故选 C.2是奇函数，则实数 a_.4已知函数 f(x)ax 2x0 f(x)为奇函数， f(x)f(x)0，2ax20 对任意 xR 恒成立，所以 a 0.5已知函数 y f(x)是定义在 R 上的偶函数，且当 x0 时， f(x)x22x.现已画出函数 f(x)在 y 轴左侧的图象，如图 1-