高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积教师用书(2021年最新整理)

1、（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积教师用书（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积教师用书 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积教师用书）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉

2、得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为（浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5.3 平面向量的数量积教师用书的全部内容。20(浙江专用）2018版高考数学大一轮复习 第五章 平面向量、复数 5。3 平面向量的数量积教师用书1向量的夹角已知两个非零向量a和b，作a,b，则aob就是向量a与b的夹角，向量夹角的范围是0,2平面向量的数量积定义设两个非零向量a，b的夹角为，则数量|a|b|cos 叫做a与b的数量积，记作ab投影|acos 叫做向量a在b方向上的投影，|b|cos 叫做向量b在a方向上的投影几何意义数量积ab等于a的长度|a|与

3、b在a的方向上的投影b|cos 的乘积3.平面向量数量积的性质设a，b都是非零向量，e是单位向量,为a与b（或e）的夹角则（1）eaaeacos .（2）abab0。（3)当a与b同向时，ab|a|b;当a与b反向时，ab|a|b|.特别地，aa|a2或a|。(4）cos 。(5)ab|a|b|。4平面向量数量积满足的运算律（1）abba；（2）(a）b(ab）a（b)(为实数)；(3)(ab)cacbc。5平面向量数量积有关性质的坐标表示设向量a（x1，y1),b(x2，y2）,则abx1x2y1y2，由此得到（1)若a（x，y）,则a|2x2y2或|a。（2）设a(x1，y1），b(x2，

4、y2)，则a，b两点间的距离ab|。(3）设两个非零向量a,b，a（x1，y1)，b(x2，y2），则abx1x2y1y20.（4)若a，b都是非零向量,是a与b的夹角，则cos .【知识拓展】1两个向量a,b的夹角为锐角ab0且a，b不共线；两个向量a，b的夹角为钝角ab0且a，b不共线2平面向量数量积运算的常用公式(1)(ab）(ab)a2b2。（2）（ab)2a22abb2.(3）(ab)2a22abb2。【思考辨析】判断下列结论是否正确(请在括号中打“”或“”)（1）向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量（）(2)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向

5、量（)（3）由ab0可得a0或b0.(）（4）（ab)ca(bc)(）(5）两个向量的夹角的范围是0，()1(教材改编）已知向量a(2，1），b（1,k)，a（2ab）0，则k等于(）a12 b6c6 d12答案d解析2ab（4,2)（1，k)(5，2k)，由a(2ab）0，得(2，1)(5，2k）0,102k0，解得k12。2(2016临安质检）已知向量a与b的夹角为30，且|a1，2ab1，则b|等于（)a. b. c. d。答案c解析由题意可得ab|b|cos 30b|，4a24abb21，即42|b|b21，由此求得b|,故选c。3(2016温州调研)若平面四边形abcd满足0，()0

6、，则该四边形一定是(）a直角梯形 b矩形c菱形 d正方形答案c解析由0得平面四边形abcd是平行四边形，由()0得0，故平行四边形的对角线垂直，所以该四边形一定是菱形,故选c。4（2016北京）已知向量a（1，),b(,1),则a与b夹角的大小为_答案解析设a与b的夹角为，则cos ，又因为0，所以。题型一平面向量数量积的运算例1(1）（2016天津）已知abc是边长为1的等边三角形，点d，e分别是边ab，bc的中点，连接de并延长到点f，使得de2ef，则的值为(）a b.c。 d。（2）已知正方形abcd的边长为1，点e是ab边上的动点,则的值为_；的最大值为_答案（1）b(2）11解析（

7、1) 如图，由条件可知，所以（）（）22.因为abc是边长为1的等边三角形，所以|1，bac60，所以。（2）方法一以射线ab，ad为x轴,y轴的正方向建立平面直角坐标系,则a（0，0),b（1,0)，c（1，1)，d（0，1），设e（t,0)，t0,1,则（t，1)，(0，1)，所以(t，1)（0，1)1.因为(1,0)，所以(t,1)(1，0)t1，故的最大值为1。方法二由图知，无论e点在哪个位置，在方向上的投影都是cb1，|11，当e运动到b点时，在方向上的投影最大，即为dc1，（）max|11.思维升华平面向量数量积的三种运算方法（1)当已知向量的模和夹角时，可利用定义法求解,即aba

8、|bcosa，b（2)当已知向量的坐标时，可利用坐标法求解，即若a（x1，y1)，b（x2，y2)，则abx1x2y1y2。(3）利用数量积的几何意义求解（1）(2016全国丙卷)已知向量，则abc等于()a30 b45 c60 d120(2）(2015天津)在等腰梯形abcd中，已知abdc，ab2，bc1,abc60。点e和f分别在线段bc和dc上，且，则的值为_答案(1)a（2）解析(1)1，|1，cosabc，又0abc180，abc30。（2)在等腰梯形abcd中，abdc,ab2,bc1,abc60,cd1，,，21cos 60212cos 6012cos 120.题型二平面向量数

9、量积的应用命题点1求向量的模例2（1)（2016宁波模拟)已知平面向量a，b的夹角为,且|a，b2,在abc中,2a2b，2a6b，d为bc的中点，则|_.（2）在平面直角坐标系中，o为原点，a(1,0），b（0，），c(3,0）,动点d满足|1，则的最大值是_答案（1）2(2）1解析(1)因为(）（2a2b2a6b)2a2b，所以|24(ab)24(a22bab2）4（322cos 4）4，所以|2。(2)设d（x，y),由(x3，y）及|1，知(x3)2y21，即动点d的轨迹为以点c为圆心的单位圆又（1,0)(0，)(x，y）(x1，y),|。问题转化为圆(x3)2y21上的点与点p（1，

10、）间距离的最大值圆心c（3，0)与点p(1,)之间的距离为，故的最大值为1.即|的最大值是1。命题点2求向量的夹角例3(1）已知单位向量e1与e2的夹角为,且cos ，向量a3e12e2与b3e1e2的夹角为，则cos _.（2)若向量a(k,3)，b(1，4），c(2,1),已知2a3b与c的夹角为钝角，则k的取值范围是_答案（1)（2)解析（1）因为a2（3e12e2)2923212cos 49，所以|a3，因为b2（3e1e2）2923112cos 18，所以|b2，又ab（3e12e2）(3e1e2)9e9e1e22e991128，所以cos 。（2）2a3b与c的夹角为钝角，（2a3

11、b)c0,即（2k3，6）(2，1）0，4k660，k3.又若（2a3b）c，则2k312，即k.当k时,2a3b（12,6）6c，即2a3b与c反向综上，k的取值范围为.思维升华平面向量数量积求解问题的策略（1)求两向量的夹角：cos ，要注意0,（2)两向量垂直的应用：两非零向量垂直的充要条件是abab0ab|ab。(3）求向量的模：利用数量积求解长度问题的处理方法有a2aa|a2或a|.|ab|。若a(x，y)，则a|.（1）（2015湖北）已知向量,|3，则_。(2）(2016绍兴二模)已知单位向量a和b满足ab|ab|，则a与b夹角的余弦值为（)a bc。 d.（3)在abc中，若a

12、120，1，则|的最小值是()a。 b2c。 d6答案(1)9（2）c(3）c解析(1）因为，所以0。所以()220329。(2）由ab|1，|ab|ab|，得22ab2(12ab1），即ab，cosa，b.（3)1，|cos 1201,即|2,|2|22222|26，|min.题型三平面向量与三角函数例4（2015广东)在平面直角坐标系xoy中，已知向量m，n(sin x,cos x)，x。（1)若mn，求tan x的值；(2）若m与n的夹角为,求x的值解(1）因为m，n(sin x，cos x），mn。所以mn0，即sin xcos x0，所以sin xcos x，所以tan x1。（2)

13、因为mn1，所以mncos，即sin xcos x，所以sin，因为0x,所以x，所以x，即x。思维升华平面向量与三角函数的综合问题的解题思路(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解（2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等（1）已知o为坐标原点，向量(3sin ，cos )，（2sin ，5sin 4cos )，,且，则tan 的值为（)a bc。 d。（2)已知向量a(,），ab,ab，若oab是以o为直角顶点的等腰直

14、角三角形,则oab的面积为_答案(1)a（2)1解析(1)由题意知6sin2cos (5sin 4cos ）0，即6sin25sin cos 4cos20，上述等式两边同时除以cos2，得6tan25tan 40，由于，则tan 0，解得tan ,故选a.（2）由题意得，a1，又oab是以o为直角顶点的等腰直角三角形,所以，|。由得（ab）(ab）a2b20，所以a|b，由|得|ab|ab，所以ab0。所以ab2|a2b|22,所以|,故soab1.5利用数量积求向量夹角典例已知直线y2x上一点p的横坐标为a，直线外有两个点a(1，1），b(3，3)求使向量与夹角为钝角的充要条件错解展示现场纠

15、错解错解中，cos 0包含了，即，反向的情况，此时a1，故，夹角为钝角的充要条件是0a2且a1.纠错心得利用数量积的符号判断两向量夹角的范围时，不要忽视两向量共线的情况1（2016北师大附中模拟）已知向量a（x1,2），b（2，1）,则ab的充要条件是(）ax bx1cx5 dx0答案d2若向量a,b满足a|b|2,a与b的夹角为60，则|ab等于（）a2 b2c4 d12答案b解析|ab|2|a2b|22a|bcos 604422212，|ab|2.3(2016山西四校联考)已知平面向量a，b满足a(ab)3，且|a|2,|b1，则向量a与b夹角的正弦值为（)a b c。 d.答案d解析a(

16、ab）a2ab2221cosa，b42cosa，b3，cos0,，sina，b.4。 在abc中，如图,若|，ab2，ac1,e，f为bc边的三等分点，则等于（)a。 b。 c。 d.答案b解析若,则222222，即有0.又e，f为bc边的三等分点，则（）()22（14）0.故选b。5(2016驻马店质检)若o为abc所在平面内任一点,且满足（）(2)0，则abc的形状为（)a正三角形 b直角三角形c等腰三角形 d等腰直角三角形答案c解析因为（）(2）0,即（）0,因为，所以(）()0,即|，所以abc是等腰三角形，故选c。*6。若abc外接圆的圆心为o，半径为4，220，则在方向上的投影为（

17、)a4 b.c. d1答案c解析如图所示，取bc的中点d,连接ad，od，则由平面向量的加法的几何意义得2.又由条件得，所以2,即4，所以a，o,d共线所以oabc，所以cd为在方向上的投影因为|4，所以|3，所以| .7（2016绍兴柯桥区二模)已知平行四边形abcd中，ac3，bd2，则_。答案解析abcd中，,，3，|2，（）2（）25，.8在abc中，3,abc的面积s，则与夹角的取值范围是_答案，解析由三角形面积公式及已知条件知sabcabbcsin b，所以abbcsin b3,由3，知abbccos（b)3，所以abbc，代入得，3,所以1tan b，所以b,而与的夹角为b，其取

18、值范围为，9（2017临安中学调研)已知在直角三角形abc中,acb90，acbc2，点p是斜边ab上的中点，则_.答案4解析由题意可建立如图所示的坐标系,可得a(2，0），b(0,2)，p（1,1），c（0，0），则(）224.10（2015杭州模拟）已知，|，t，若点p是abc所在平面内的一点，且,则的最大值等于_答案13解析建立如图所示坐标系，则b，c(0，t），,（0，t),t(0,t）(1，4），p(1，4），(1,t4）1717213。11在abc中，角a，b,c的对边分别为a，b，c,向量m(cos(ab)，sin(ab)，n(cos b,sin b），且mn.（1)求sin a的值；(2）若a4，b5，求角b的大小及向量在方向上的投影解(1)由mn，得cos（ab）cos bsin(ab)sin b，所以cos a。因为0a，所以sin a 。(2)由正弦定理,