随机过程均方微积分

1、第三章 均方微积分,3.1 随机变量序列的均方 极限,3.2 随机过程的均方连续性,3.3 随机过程的均方导数与均方积分,2,3.1 随机变量序列的均方极限,回顾数列的极限： 实际上是指当 无限增大时， 与 的距离 无限趋近于0.,问题：可否类似地给出随机变量序列 的“极限”？,答：可以！关键在于确定随机变量序 列中任意 与随机变量 的“距离”.,3,定义,设随机变量序列 和随机变量 的二阶矩有限，即 ， ，若 有 ，则称 均方收敛于 ， 并称 为 的均方极限，记作 或 其中l.i.m是英文Limit in mean square的缩写.,若以 作为 与 的“距离”，可 验证它满足线性空间中的

2、距离定义,4,例1,设 为随机变量序列，其中 满足 ， ，验证 均方收敛于0.,证明,故而，当,5,问题：随机变量序列的均方收敛与大数定律 中所涉及的依概率收敛相比，两种收敛 性孰强孰弱？,答：均方收敛性强于依概率收敛！,例2,设 为随机变量序列，其中 满足 ， 问： 为何值时， 均方收敛于0？,解： 故 时， 均方收敛于0.,均方极限的性质,（1）若 ，则 ；,6,已知,要证,分析,关系,均方极限的性质,（1）若 ，则 ；,（2）若 ， ，则 ；,7,已知,要证,分析,关系,Cauchy-Schwartz不等式,均方极限的性质,（1）若 ，则 ；,（2）若 ， ，则 ；,（3）若 ， ，则对

3、任意常数 和 ，有 ；,8,已知,要证,分析,关系,均方极限的性质,（1）若 ，则 ；,（2）若 ， ，则 ；,（3）若 ， ，则对任意常数 和 ，有 ；,（4）若数列 满足 ， 是随机变量， 则 ；,9,已知,要证,分析,关系,均方极限的性质,（1）若 ，则 ；,（2）若 ， ，则 ；,（3）若 ， ，则对任意常数 和 ，有 ；,（4）若数列 满足 ， 是随机变量， 则 ；,（5）若 ， ，则,10, 均方极限的唯一性,3.2 随机过程的均方连续性,定义1,设 为二阶矩过程，随机变 量 的二阶矩有限，若 则称 在 处均方收敛于 ，并称 为 的在 时刻的均方极限，记 作 .,定义2,如二阶矩过

4、程 满足，对 ，若 则称 在 处均方连续；若 在每 一点 处都是均方连续的，则称 在 上均方连续.,11,3.3 随机过程的均方导数与均方积分,定义1,若随机过程 在 处的下述均 方极限 存在，则称此极限 为 在 处的均方导数，记为 或 ，此时亦称 在 处均方可导.,一、均方导数,1、均方导数的定义,注：若 在 的每一点 处均方可导，则 称 在 上均方可导或可微，此时均方导数 记为 或 ，是一个新的随机过程。,12,例,求随机过程 的均方导数，其中 是一随机变量.,13,解,从形式上，易知对 t 求导后，,下面验证：,满足定义，所以,时，,（1）若 在 均方可导，则对任意常数 和 ，有,2、均

5、方导数的性质,（2） 的均方导数 的均值函数是,14,验证,（1）若 在 均方可导，则对任意常数 和 ，有,2、均方导数的性质,（2） 的均方导数 的均值函数是,（3） 的均方导数 的相关函数是,15,（4）若 X 是随机变量，则,16,3、均方导数与自（互）相关函数关系,设实二阶矩过程 均方可微，自相关 函数为 ，则 ， ， 都存在，且有,验证,17,3、均方导数与自（互）相关函数关系,设实二阶矩过程 均方可微，自相关 函数为 ，则 ， ， 都存在，且有,定义2,设随机过程 ， 为任意普通函数：,二、均方积分,1、均方积分的定义,18,(1)分割T=a,b。将a,b分成n个子区间，分点 为 ，而,(2)作和式 其中,特别地，若 时，即有,(3)如果在 时， 均方收敛于 （此极限 不依赖于