保险精算-第2章1-期初年金-期末年金

1、,第二章 年 金,第二章 年金,2.1 期末付年金 2.2 期初付年金 2.3 任意时刻的年金 2.4 永续年金 2.5 连续年金,年金的概念,在相同间隔的时间上进行的一系列支付 称为年金。 例如，在未来的十年中每年年末支付1,000元；从2010年至2015年每年年初3,800元。年金包括每年支付一次的年金，和每半年、每个季度、每月支付一次及支付更频繁的年金。在现实生活中，年金的例子很普遍，如购买房屋、汽车等固定资产时的抵押分期付款。,年金的分类,基本年金 等时间间隔付款 付款频率与计息频率一致 每次付款金额恒定 一般年金 不满足基本年金三个约束条件的年金 即为一般年金,2.1 期末付年金,

2、我们考虑在0时刻开始的n期中每期期末支付1元的年金。 每期期末支付额为1、共支付n期的年金在第n期期末（n时刻）的积累值之和记为 。,期末付年金积累值,第1期期末（时刻1）支付的1元在第n期期末（时刻n）的终值为(1i)n1 ，第2期期末（时刻2）支付的1元在第n期期末的终值为 ，第n2期期末（时刻n2）支付的1元在第n期期末的终值为 ，第n1期期末（时刻n1）支付的1元在第n期期末的终值为(1i)，第n 期期末（时刻n）支付的1元在第n期期末的终值为1，即,期末付年金现值,类似地，我们把每期期末支付1元、共支付n期的年金在0时刻的现值之和记为 。,期末付年金的现值和积累值,经济意义：公式左侧

3、表示在时刻0进行投资，本金为1；公式右侧表示投资本利和的现值。 经济意义：公式左侧表示在时刻0投资本金1，则n期期末积累值，公式右侧分解成本金和利息两部分。,之间的关系式,之间的关系式,例2.1,某银行客户想通过零存整取的方式在一年后得到10000元，在月复利为0.5%的情况下，问每月末需存入多少钱才能达到目的。,例2.2,一项年金在20年内每半年末付500元，设利率为每半年计息一次的年名义利率为9%，求此项年金的现值。,练习一,假设贷款利率为9，计算为期10年的1,000元贷款在以下列三种方式偿还贷款的情况下将支付的利息总额。 （1）全部贷款及利息累积额在第10年末一次性还清； （2）利息每

4、年末支付，本金第10年末还清； （3）贷款在10年内的各年末平均偿还。 解： (1) 10年末贷款的终值是 1,000 2,367.36 支付的利息总额为 2,367.361,0001,367.36（元）,练习一,假设贷款利率为9，计算为期10年的1,000元贷款在以下列三种方式偿还贷款的情况下将支付的利息总额。 （2）利息每年末支付，本金第10年末还清； 解： 每年贷款所赚利息 1,0000.0990 10年的利息总额为 1090900（元）,例2.3,假设贷款利率为9，计算为期10年的1,000元贷款在以下列三种方式偿还贷款的情况下将支付的利息总额。 （3）贷款在10年内的各年末平均偿还。

5、 解：设每年年末还款R，则 R 1,000 于是 R155.82 支付的利息总量 10（155.82）1,000558.20（元） 由此可以看出，偿还贷款越晚，则要支付的利息额就越高；相反，偿还得越早，则要支付的利息量越少。但是，尽管三种情况下支付的利息总量是不同的，它们的现值都是1,000元。,2.2 期初付年金,考虑在0时刻开始的n期中每期期初支付1元的年金。 我们把每期期初支付1元、共支付n期的年金在第n期期末（n时刻）的积累值之和记为 。,期初付年金积累值,期初付年金现值,类似地，把每期期初支付1元、共支付n期的年金在0时刻的现值之和记为 。,期初付年金的现值和积累值,经济意义：公式左

6、侧表示期初投资本金1；公式右侧表示在0时刻，每期期初所得利息的现值之和再加上本金的现值。 经济意义：公式左侧表示在时刻0投资本金1，则n期期末积累值，公式右侧分解成本金和利息两部分。,之间的关系式,期末与期初付之间的联系,0 1 2 3 - n-1 n,1 1 1 - 1 1,1 1 1 - 1,期末付年金,期初付年金,n+1,年金公式总结,2.1 期末付年金,我们考虑在0时刻开始的n期中每期期末支付1元的年金。,2.2 期初付年金,考虑在0时刻开始的n期中每期期初支付1元的年金。,之间的关系式,例2.3,某人以月度转换名义利率5.58%从银行贷款30万元，计划在15年里每月末等额偿还。问：（1）他每月等额还款额等于多少？（2）假如他想在第五年末提前还完贷款，问除了该月等额还款额之外他还需一次性付给银行多少钱