【创新设计】高考数学(人教a版,理)一轮复习配套讲义：第11篇 第3讲 几何概型

1、第3讲几何概型最新考纲1了解随机数的意义，能运用模拟方法估计概率2了解几何概型的意义.知 识 梳 理几何概型(1)定义：如果每个事件发生的概率只与构成该事件区域的长度(面积或体积)成比例，则称这样的概率模型为几何概率模型，简称为几何概型(2)特点：无限性：在一次试验中，可能出现的结果有无限多个；等可能性：每个结果的发生具有等可能性(3)公式：p(a).辨 析 感 悟1对几何概型的理解(1)(教材习题改编)几何概型中，每一个基本事件就是从某个特定的几何区域内随机地取一点，该区域中的每一点被取到的机会相等()(2)在几何概型定义中的区域可以是线段、平面图形、立体图形()(3)与面积有关的几何概型的

2、概率与几何图形的形状有关()2几何概型的计算(4)从区间1,10内任取一个数，取到1的概率是p.()(5)(2013福建卷改编)利用计算机产生01之间的均匀随机数a，则事件“3a10”发生的概率为.()感悟提升1一个区别“几何概型”与“古典概型”的区别：基本事件的个数前者是无限的，后者是有限的2一点提醒几何概型的试验中，事件a的概率p(a)只与子区域a的几何度量(长度、面积或体积)成正比，而与a的位置和形状无关，如(3).学生用书第186页考点一与长度、角度有关的几何概型【例1】 (1)(2013湖北卷)在区间2,4上随机地取一个数x，若x满足|x|m的概率为，则m_.(2)如图，在abc中，

3、b60，c45，高ad，在bac内作射线am交bc于点m，则bm1的概率为_解析(1)由题意知m0，当m2时，满足|x|m的概率为，解得m(舍去)当2m4时，所求概率为，m3.(2)b60，c45，bac75，在rtadb中，ad，b60，bd1，bad30.记事件n为“在bac内作射线am交bc于点m，使bm1”，则可得bambad时事件n发生由几何概型的概率公式得p(n).答案(1)3(2)规律方法 解答几何概型问题的关键在于弄清题中的考察对象和对象的活动范围当考察对象为点，点的活动范围在线段上时，用线段长度比计算；当考察对象为线时，一般用角度比计算，即当半径一定时，由于弧长之比等于其所对

4、应的圆心角的度数之比，所以角度之比实际上是所对的弧长(曲线长)之比【训练1】 (1)(2014淄博二模)设p在0,5上随机地取值，则关于x的方程x2px10有实数根的概率为()a. b. c. d.(2)如图，四边形abcd为矩形，ab，bc1，以a为圆心，1为半径作四分之一个圆弧de，在dab内任作射线ap，则射线ap与线段bc有公共点的概率为_解析(1)方程有实根，则p240，解得p2或p2(舍去)所以所求概率为.(2)因为在dab内任作射线ap，则等可能基本事件为“dab内作射线ap”，所以它的所有等可能事件所在的区域h是dab，当射线ap与线段bc有公共点时，射线ap落在cab内，区域

5、h为cab，所以射线ap与线段bc有公共点的概率为.答案(1)c(2)考点二与面积有关的几何概型【例2】 (1)(2013陕西卷)如图，在矩形区域abcd的a，c两点处各有一个通信基站，假设其信号的覆盖范围分别是扇形区域ade和扇形区域cbf(该矩形区域内无其他信号来源，基站工作正常)若在该矩形区域内随机地选一地点，则该地点无信号的概率是()a1 b.1 c2 d.(2)(2012北京卷)设不等式组表示的平面区域为d，在区域d内随机取一个点，则此点到坐标原点的距离大于2的概率是()a. b. c. d.解析(1)依题意知，有信号的区域面积为2，矩形面积为2，故无信号的概率p1.(2)如图所示，

6、正方形oabc及其内部为不等式组表示的区域d，且区域d的面积为4，而阴影部分表示的是区域d内到原点距离大于2的区域，易知该阴影部分的面积为4，因此满足条件的概率是.故选d.答案(1)a(2)d规律方法 数形结合为几何概型问题的解决提供了简捷直观的解法用图解题的关键：用图形准确表示出试验的全部结果所构成的区域，由题意将已知条件转化为事件a满足的不等式，在图形中画出事件a发生的区域，通用公式：p(a).【训练2】 已知x1,1，y0,2，则点p(x，y)落在区域内的概率为()a. b. c. d.解析不等式组表示的平面区域如图所示(阴影部分)，其面积为11，则所求概率为.答案b考点三与体积有关的几

7、何概型【例3】 在棱长为2的正方体abcda1b1c1d1中，点o为底面abcd的中心，在正方体abcda1b1c1d1内随机取一点p，则点p到点o的距离大于1的概率为_审题路线画出正方体找出以点o为中心且到o点的距离等于1的几何体(球)利用球的体积公式及几何概型的概率公式求解解析点p到点o的距离大于1的点位于以o为球心，以1为半径的半球外记点p到点o的距离大于1为事件a，则p(a)1.答案1规律方法 很多几何概型，往往要通过一定的手段才能转化到几何度量值的计算上来，在解决问题时，要善于根据问题的具体情况进行转化，这种转化策略是化解几何概型试题的关键【训练3】 如图，正方体abcda1b1c1

8、d1的棱长为1，在正方体内随机取点m，则使四棱锥mabcd的体积小于的概率为_解析当vmabcd时，即11h，解得h，即点m到底面abcd的距离，所以所求概率p.答案1对于几何概型的概率公式中的“测度”要有正确的认识，它只与大小有关，而与形状和位置无关，在解题时，要掌握“测度”为长度、面积、体积、角度等常见的几何概型的求解方法2转化思想的应用对一个具体问题，可以将其几何化，如建立坐标系将试验结果和点对应，然后利用几何概型概率公式学生用书第187页教你审题11几何概型中有关平面几何的“临界点”的探求【典例】 (2013湖南卷)已知事件“在矩形abcd的边cd上随机取一点p，使apb的最大边是ab

9、”发生的概率为，则()a. b. c. d.审题一审条件：在矩形abcd的边cd上随机取一点p，使apb的最大边是ab；二审过程：如何确定apb的最大边是ab？找出bpab与apab的“临界点”；三审结论：要求，利用直角三角中的勾股定理找出ad与ab的关系式解析矩形abcd如图所示，在点p从d点向c点运动过程中，dp在增大，ap也在增大，而bp在逐渐减小，当p点到p1位置时，babp1，当p点到p2位置时，abap2，故点p在线段p1p2上时，abp中边ab最大，由已知事件发生的概率为可得p1p2cd.在rtbcp1中，bpcd2bc2ab2ad2ab2.即ad2ab2，所以.答案d反思感悟

10、(1)解决有关长度、角度、面积、体积的几何概型问题，关键是动点的轨迹的判断，在“动”中求“静”，也就是找出符合题设条件的“临界点”(2)此类试题常与平面几何图形、不等式组表示的平面区域、直线与圆等知识综合考查，难度稍大【自主体验】已知m：定点a(3,1)，在m内任取一点p，使得pa的概率等于_解析如图所示，区域m是一个边长为2的正方形，其面积为s224；满足pa的点p在以点a(3,1)为圆心，为半径的圆内如图，作出圆a，则扇形abc的圆心角bac，故扇形abc的面积s1()2，sabcs2abac1，所以阴影部分弓形的面积s3s1s21.所以所求事件的概率为p.答案基础巩固题组(建议用时：40

11、分钟)一、选择题1一个路口的红绿灯，红灯的时间为30秒，黄灯的时间为5秒，绿灯的时间为40秒，当某人到达路口时看见的是红灯的概率()a. b. c. d.解析以时间的长短进行度量，故p.答案b2取一根长度为4 m的绳子，拉直后在任意位置剪断，那么剪得的两段都不少于1 m的概率是()a. b. c. d.解析把绳子4等分，当剪断点位于中间两部分时，两段绳子都不少于1 m，故所求概率为p.答案c3(2014长沙联考)点p在边长为1的正方形abcd内运动，则动点p到顶点a的距离|pa|1的概率为()a. b. c. d解析如图，满足|pa|1的点p在如图所示阴影部分运动，则动点p到顶点a的距离|pa

12、|1的概率为.答案c4(2012辽宁卷)在长为12 cm的线段ab上任取一点c.现作一矩形，邻边长分别等于线段ac，cb的长，则该矩形面积大于20 cm2的概率为()a. b. c. d.解析设acx cm,0x12，则cb(12x)cm，要使矩形面积大于20 cm2，只要x(12x)20，则x212x200，解得2x10，所求概率为p.答案c5一只蜜蜂在一个棱长为3的正方体内自由飞行，若蜜蜂在飞行过程中始终保持与正方体6个表面的距离均大于1，称其为“安全飞行”，则蜜蜂“安全飞行”的概率为()a. b. c. d.解析由已知条件，可知蜜蜂只能在一个棱长为1的小正方体内飞行，结合几何概型，可得蜜

13、蜂“安全飞行”的概率为p.答案c二、填空题6点a为周长等于3的圆周上的一个定点，若在该圆周上随机取一点b，则劣弧的长度小于1的概率为_解析如图可设与的长度等于1，则由几何概型可知其整体事件是其周长3，则其概率是.答案7已知如图所示的矩形，长为12，宽为5，在矩形内随机地投掷1 000粒黄豆，落在阴影部分的黄豆为600粒，则可以估计出阴影部分的面积为_解析设所求的面积为s，由题意，得，则s36.答案368(2014成都模拟)在区间上随机取一个数x，cos x的值介于0至之间的概率为_解析由0cos x，x，可得x，或x，结合几何概型的概率公式可得所求的概率为p.答案三、解答题9在1升高产小麦种子

14、中混入一粒带麦锈病的种子，从中随机取出10毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？从中随机取出30毫升，含有麦锈病种子的概率是多少？解1升1 000毫升，记事件a：“取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子”则p(a)0.01，即取出10毫升种子含有这粒带麦锈病的种子的概率为0.01.记事件b：“取30毫升种子含有带麦锈病的种子”则p(b)0.03，即取30毫升种子含有带麦锈病的种子的概率为0.03.10设关于x的一元二次方程x22axb20.若a是从区间0,3任取的一个数，b是从区间0,2任取的一个数，求方程有实根的概率解设事件a为“方程x22axb20有实根”当a0，b0时，方程x22axb20有

15、实根的充要条件为ab.试验的全部结果所构成的区域为(a，b)|0a3,0b2，构成事件a的区域为(a，b)|0a3,0b2，ab，根据条件画出构成的区域(略)，可得所求的概率为p(a).能力提升题组(建议用时：25分钟)一、选择题1. 如图所示，设m是半径为r的圆周上一个定点，在圆周上等可能地任取一点n，连接mn，则弦mn的长超过r的概率为()a. b. c. d.解析如图，在圆上过圆心o作与om垂直的直径cd，则mdmcr，当点n不在半圆弧上时，mnr，故所求的概率p(a).答案d2(2012湖北卷)如图，在圆心角为直角的扇形oab中，分别以oa，ob为直径作两个半圆在扇形oab内随机取一点

16、，则此点取自阴影部分的概率是()a. b. c1 d.解析如图，设oa2，s扇形aob，socd11，s扇形ocd，在以oa为直径的半圆中，空白部分面积s121，所有阴影面积为2.故所求概率p1.答案c二、填空题3(2014烟台二模)已知正三棱锥sabc的底边长为4，高为3，在三棱锥内任取一点p，使得vpabcvsabc的概率是_解析三棱锥pabc与三棱锥sabc的底面相同，vpabcvsabc就是三棱锥pabc的高小于三棱锥sabc的高的一半，过高的中点作一平行底面的截面，这个截面下任取一点都符合题意，设底面abc的面积为s，三棱锥sabc的高为h，则所求概率为：p.答案三、解答题4设ab6，在线段ab上任取两点(端点a，b除外)，将线段ab分成了三条线段，(1)若分成的三条线段的长度均为正整数，求这三条线段可以构成三角形的概