高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学业分层测评 新人教B版选修2-1(2021年最新整理)

1、高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学业分层测评 新人教b版选修2-1高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学业分层测评 新人教b版选修2-1 编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学业分层测评 新人教b版选修2-1）的内容能够给您的工作和学习带来便利。同

2、时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快 业绩进步，以下为高中数学 第三章 空间向量与立体几何 3.2.3 直线与平面的夹角 3.2.4 二面角及其度量学业分层测评 新人教b版选修2-1的全部内容。103。2。3 直线与平面的夹角3.2。4 二面角及其度量(建议用时:45分钟)学业达标一、选择题1若直线l的方向向量与平面的法向量的夹角等于120，则直线l与平面所成的角等于()a120b60c30 d以上均错【解析】设直线l与平面所成的角为,则sin cos 120|。又090，30。【答案】c2

3、若直线l与平面所成角为，直线a在平面内，且与直线l异面，则直线l与直线a所成角的取值范围是（）a。 bc。 d【解析】由最小角定理知直线l与直线a所成的最小角为，又l，a为异面直线，则所成角的最大值为。【答案】d3正方形abcd所在平面外一点p，pa平面abcd，若paab,则平面pab与平面pcd的夹角为（) 【导学号:15460079】a30 b45c60 d90【解析】如图所示，建立空间直角坐标系,设paab1.则a(0，0，0)，d（0,1,0)，p(0,0,1)于是(0，1,0)取pd中点为e，则e，易知是平面pab的法向量,是平面pcd的法向量，cos，平面pab与平面pcd的夹角

4、为45。【答案】b4如图3。2。31,在空间直角坐标系dxyz中，四棱柱abcda1b1c1d1为长方体，aa1ab2ad，点e，f分别为c1d1,a1b的中点，则二面角b1。a1be的余弦值为(）图3.2.31a bc. d【解析】设ad1,则a1(1,0,2)，b（1，2,0）,因为e，f分别为c1d1，a1b的中点，所以e（0,1,2）,f（1,1，1），所以（1,1,0)，(0,2，2），设m（x，y，z)是平面a1be的法向量，则所以所以取x1，则yz1，所以平面a1be的一个法向量为m(1，1,1)，又da平面a1b1b，所以（1，0,0）是平面a1b1b的一个法向量，所以cosm

5、，又二面角b1.a1be为锐二面角，所以二面角b1.a1be的余弦值为，故选c。【答案】c5正方体abcd。a1b1c1d1中，e，f分别为ab，c1d1的中点，则a1b1与平面a1ef夹角的正弦值为()a. bc. d【解析】建立如图所示的空间直角坐标系,设棱长为1，则a1（1，0，1）,e，f，b1（1，1，1）(0，1，0)，设平面a1ef的法向量n(x，y，z)，则即令y2,则n(1,2,1），cosn,，即线面角的正弦值为.【答案】b二、填空题6等腰rtabc的斜边ab在平面内，若ac与成30角,则斜边上的中线cm与平面所成的角为_【解析】作co，o为垂足,连接ao，mo，则cao3

6、0，cmo为cm与所成的角在rtaoc中,设co1,则ac2.在等腰rtabc中，由ac2得cm。在rtcmo中，sincmo,所以cmo45。【答案】457在空间直角坐标系oxyz中，已知a(1，2，0），b(2,1，），则向量与平面xoz的法向量的夹角的正弦值为_【解析】设平面xoz的法向量为n（0，t,0）（t0）,(1，3, )，所以cosn,，因为n，0,，所以sinn，。【答案】8已知点e，f分别在正方体abcda1b1c1d1的棱bb1，cc1上,且b1e2eb，cf2fc1，则平面aef与平面abc所成的二面角的正切值等于_【解析】如图，建立空间直角坐标系设正方体的棱长为1,平

7、面abc的法向量为n1(0,0,1），平面aef的法向量为n2（x,y，z)所以a(1,0,0)，e，f，所以，,则即取x1，则y1,z3。故n2（1，1，3)所以cosn1，n2.所以平面aef与平面abc所成的二面角的平面角满足cos ,sin ,所以tan .【答案】三、解答题9.如图32。32所示，在四面体abcd中,o，e分别是bd，bc的中点，cacbcdbd2，abad.图32。32(1）求证：ao平面bcd；（2）求异面直线ab与cd所成角的余弦值【解】(1）证明：连接oc，由题意知bodo，abad，aobd.又bodo，bccd，cobd。在aoc中，由已知可得ao1，co

8、，又ac2，ao2co2ac2,aoc90，即aooc.bdoco,ao平面bcd。(2）以o为坐标原点建立空间直角坐标系,则b(1，0,0），d（1,0，0），c（0， ，0）,a(0,0，1）,e，（1，0,1)，(1，0)，cos，。异面直线ab与cd所成角的余弦值为。10四棱锥pabcd的底面是正方形，pd底面abcd，点e在棱pb上(1）求证：平面aec平面pdb；(2）当pdab且e为pb的中点时，求ae与平面pdb所成的角的大小【解】如图，以d为原点建立空间直角坐标系dxyz，设aba,pdh，则a（a，0，0），b（a，a,0)，c(0，a,0），d(0,0,0)，p（0，0，

9、h)，(1)（a，a，0），（0,0，h）,(a，a,0），0,0,acdp，acdb，又dpdbd，ac平面pdb，又ac平面aec，平面aec平面pdb.（2)当pdab且e为pb的中点时,p(0，0，a），e，设acbdo,o，连接oe，由（1）知ac平面pdb于o，aeo为ae与平面pdb所成的角,，cosaeo，aeo45，即ae与平面pdb所成的角的大小为45.能力提升1已知在长方体abcda1b1c1d1中，abbc1,aa12,e是侧棱bb1的中点，则直线ae与平面a1ed1所成角的大小为(）a60 b90c45 d以上都不对【解析】以点d为原点，分别以da，dc,dd1所在直

10、线为x轴、y轴、z轴,建立空间直角坐标系，如图由题意知，a1(1,0，2)，e（1，1，1)，d1(0，0,2），a（1,0,0），所以(0，1，1），(1,1,1），(0，1，1）设平面a1ed1的一个法向量为n(x，y，z）,则得令z1，得y1，x0，所以n（0,1，1)，cosn，1.所以n，180。所以直线ae与平面a1ed1所成的角为90。【答案】b2.在三棱柱abca1b1c1中，cacc12cb，则直线bc1与直线ab1夹角的余弦值为()图3。2。33a。 bc. d【解析】不妨设cacc12cb2，则（2,2,1),(0，2,1)，所以cos，.因为直线bc1与直线ab1的夹角

11、为锐角，所以所求角的余弦值为.【答案】a3在空间中，已知平面过(3,0,0）和(0,4，0）及z轴上一点(0，0，a)（a0），如果平面与平面xoy的夹角为45,则a_。 【导学号：15460080】【解析】平面xoy的法向量为n(0,0,1），设平面的法向量为u（x，y，z)，则即3x4yaz，取z1，则u。而cosn，u，又a0,a.【答案】4.如图3。2。34,在直三棱柱a1b1c1。abc中,abac，abac2，a1a4，点d是bc的中点图3.2.34（1）求异面直线a1b与c1d所成角的余弦值；(2)求平面adc1与平面aba1所成二面角的正弦值【解】(1）以a为坐标原点,建立如图所示的空间直角坐标系axyz,则a（0,0,0），b(2,0,0），c（0，2,0）,d(1,1，0)，a1（0,0,4)，c1（0，2，4)，所以(2，0，4)，（1，1，4）. 因为cos,，所以异面直线a1b与c1d所成角的余弦值为.(2)设平面