完整圆锥曲线最典型基本知识点和例题推荐文档

1、实用文案高中数学选修2-1圆锥曲线基本知识点与典型题举例一、椭圆1.椭圆的定义：第一定义：平面内到两个定点Fi、F2的距离之和等于定值2a(2a|FiR|)的点的轨迹叫做椭圆，这两个定点叫做椭圆的焦点，两焦点的距离叫做椭圆的焦距.第二定义：平面内到定点F与到定直线I的距离之比是常数 e(0e1)的点的轨迹是椭例2.已知ABC的周长是16,A( 3,0)，B(3,0),则动点的轨迹方程是()2(A)252y16X21 (B)252y_161(y20) (C) X2J 1 (D)252x162y_251(y 0)圆,定点叫做椭圆的焦点，定直线I叫做椭圆的准线，常数e叫做椭圆的离心率2.椭圆的标准方

2、程及其几何性质(如下表所示)标准方程2X 2 a2 y_ b21(ab 0)2 2 x y2 1(ab 0)图形Lx -= c1j0 y = c(k b(%AAid妇T顶点(a,0),(0,b)(0,a),(b,0)对称轴x轴，y轴，长轴长为2a，短轴长为2b焦占c,0)、F2(c,0)F1(0,c)、F2(0, c)焦距焦距为 IFF2I 2c(c 0),C2 a2b2离心率e - (0 eb0)的两个焦点，P是以FiF2为直径a b的圆与椭圆的一个交点,若/ PFiF2=5/PRFi,则椭圆的离心率为()(B)(C)(D)2J 1上，Fi、F2是两个焦点，若 PF120PF2，贝U P点的

3、坐标2例5. P 点在椭圆45是 例6.写出满足下列条件的椭圆的标准方程：(1)长轴与短轴的和为 18,焦距为 6;. 焦点坐标为(3,0), C 3,0),并且经过点(2 , 1);椭圆的两个顶点坐标分别为(3,0), (3,0),且短轴是长轴的-;.3离心率为，经过点（2 ,20）；2例7.Fi、F2是椭圆 y241的左、右焦点，点 P在椭圆上运动，则|PFi| IPF2I的最大值是二、双曲线1.双曲线的定义：第一定义：平面内到两个定点Fi、F2的距离之差的绝对值等于定值2a（02 a1）的点的轨迹是双曲 线,定点叫做双曲线的焦点，定直线I叫做双曲线的准线，常数e叫做双曲线的离心率例8 .

4、命题甲：动点P到两定点 A B的距离之差的绝对值等于2a（ a0）;命题乙：点P的轨迹是双曲线。则命题甲是命题乙的（）（A）充要条件（B）必要不充分条件 （C）充分不必要条件（D）不充分也不必要条件标准文档例9到定点的距离与到定直线的距离之比等于log 23的点的轨迹是()(A)圆(B)椭圆(C)双曲线(D)抛物线例10.过点(2，-2)且与双曲线y2 1有相同渐近线的双曲线的方程是()2x(A) 一4(B)x2(C)21 (D)42y22x 2例11.双曲线 y 1(n1)的两焦点为F1,F2,P在双曲线上，且满足nPF1 PF2 2jn 2 ,则VPF1F2 的面积为()1(A)1(B)(

5、C)2(D)41sinC，则第三个顶点C22例 12 设 ABC 的顶点 A( 4,0)，B(4,0)，且 sin A sin B的轨迹方程是.例13.根据下列条件，求双曲线方程：、 X2 y2厂与双曲线1有共同渐近线，且过点(-3 ， 2、3)；9162 2与双曲线 11有公共焦点，且过点（3迈,2）.1642例14.设双曲线x2 1上两点 A B, AB中点M（ 1, 2）求直线 AB方程;2注：用两种方法求解（韦达定理法、点差法）三、抛物线1.抛物线的定义（点F不在I上）.定点F平面内到定点F和定直线l的距离相等的点的轨迹叫做抛物线 叫做抛物线的焦点，定直线I叫做抛物线的准线.2.抛物线

6、的标准方程及其几何性质（如下表所示）2(A)x =8y(B)28y(C) y =8x(D)2小y =8x例16抛物线y 4x2上的一点M到焦点的距离为1，则点M的纵坐标是()(B)1516(C)(D)0例17.过点P(0,1)与抛物线y2=x有且只有一个交点的直线有()(A)4 条(B)3条(C)2条(D)1条例18.过抛物线y ax2(a0)的焦点F作一直线交抛物线于 P、Q两点，若线段 PF与1 1FQ的长分别为p、q,则等于()p q(A)2a(B)12a(C)4a(D)例19若点A的坐标为(3 , 2) , F为抛物线y2=2x的焦点，点|PA+| PF取最小值，P点的坐标为()P在抛

7、物线上移动，为使(A)(3 , 3)(B)(2, 2)(C)(丄,1)(D)(0, 0)2例20 动圆M过点F(0,2)且与直线y=-2相切，则圆心M的轨迹方程是 .例21过抛物线y2= 2px的焦点的一条直线和抛物线交于两点，设这两点的纵坐标为y1、y2，贝U y1y2=.例22以抛物线X23y的焦点为圆心，通径长为半径的圆的方程是 例23.过点（-1,0）的直线I与抛物线 y2=6x有公共点，则直线 I的斜率的范围是.例24设p 0是一常数，过点Q（2p）0）的直线与抛物线 y 2px交于相异两点 A、B, 以线段AB为直经作圆H （ H为圆心）。（I ）试证：抛物线顶点在圆 H的圆周上；

8、（II ）求圆H的面积最小时直线 A3的方程.四、求点的轨迹问题如何求曲线（点的轨迹）方程,它一般分为两类基本题型：一是已知轨迹类型求其方程， 常用待定系数法，如求直线及圆的方程就是典型例题；二是未知轨迹类型，此时除了用代入法（相关点法）夕卜，通常设法利用已知轨迹的定义解题，化归为求已知轨迹类型的轨迹方程。因此在求动点轨迹方程的过程中，一是寻找与动点坐标有关的方程 （等量关系），侧重于数的运算，一是寻找与动点有关的几何条件，侧重于形，重视图形几何性质的运用。求轨迹方程的一般步骤：建、设、现（限）、代、化例25.已知两点M(-2,0),N (2,0）,点P满足ujun PMUJUPN =12,则

9、点P的轨迹方程为（）2(A) 16y2 1(B)x22y16(C)y2 x28(D)x22y8例26. O 0与O Q的半径分别为1和2, |0iQ|=4，动圆与O O内切而与O Q外切，则 动圆圆心轨迹是()(A)椭圆(B)抛物线(C)双曲线 (D)双曲线的一支例27.动点P在抛物线y2=-6x上运动,定点A(0,1),线段PA中点的轨迹方程是2 2(A) (2 y+1) =-12x( B)(2y+1) =12x2 2(C) (2 y-1) =-12 x( D)(2y-1) =12x例28. 过点A( 2，0)与圆x2y216相内切的圆的圆心 P的轨迹是(A)椭圆(B)双曲线(C)抛物线(D

10、)圆例29.已知ABC的周长是16,A( 3,0)，B(3,0)则动点的轨迹方程是2 2 2(A) 1 (B)2516252 y161( y 0) (C)2 x1621 (D)252 x162 y251(y 0)例30.椭圆x2T 1中斜率为3的平行弦中点的轨迹方程为例31.已知动圆P与定圆C: (x+ 2) 2 + y2 =1相外切，又与定直线I : x =1相切，那么动圆的圆心 P的轨迹方程是 五、圆锥曲线综合问题直线与圆锥曲线的位置关系直线与圆锥曲线的位置关系和判定直线与圆锥曲线的位置关系有三种情况：相交、相切、相离直线方程是二元一次方程，圆锥曲线方程是二元二次方程，由它们组成的方程组，

11、经过消元得到一个一元二次方程，直线和圆锥曲线相交、相切、相离的充分必要条件分别是0、0、 0.直线与圆锥曲线相交所得的弦长直线具有斜率k ,直线与圆锥曲线的两个交点坐标分别为A(x1, y1),B(x2, y2),则它的弦长AB|Jik2|xX2J(1k2)(XiX2)24x1X2#1古|yiy?|注：实质上是由两点间距离公式推导出来的，只是用了交点坐标设而不求的技巧而已(因为yi y2 k(xi X2)，运用韦达定理来进行计算.当直线斜率不存在是，则 AByi 论注：1.圆锥曲线，一要重视定义，这是学好圆锥曲线最重要的思想方法，二要数形结合，既熟练掌握方程组理论，又关注图形的几何性质，以简化

12、运算。2. 当涉及到弦的中点时，通常有两种处理方法：一是韦达定理；二是点差法3. 圆锥曲线中参数取值范围问题通常从两个途径思考：一是建立函数，用求值域的方法求范围；二是建立不等式，通过解不等式求范围。X2 V2例32. AB为过椭圆 r=1中心的弦，F(c, 0)为椭圆的右焦点，则 AFB的面积 a b最大值是()(A) b2(B) ab(C) ac(D) bc例33若直线y = kx + 2与双曲线x2围是()2y 6的右支交于不同的两点，贝Uk的取值范(A)(.15,15)(B)V)(C)(45,o)(D)(.1531)例34.若双曲线x2 y2=1右支上一点P(a, b)到直线y=x的距

13、离为、.2，贝U a+ b的值是()(A)(b)21 1(C)或一(D)2 或一22 2例35抛物线y=x2上的点到直线2x- y =4的距离最近的点的坐标是()1 13 9(A)(,)(B)(1,1)(C) (- -)(D) (2,4)2 42 4例36抛物线y2=4x截直线y 2x k所得弦长为3 . 5，则k的值是()(A)2(B)-2(C)4(D)-4例37 如果直线y k(x 1)与双曲线x2y2 4没有交点，则k的取值范围是 例38 已知抛物线y 2x2上两点A(x-, y-), B(x2, y2)关于直线y x m对称，且1XiX2，那么m的值为.2例39 双曲线3x2-y 2=

14、1上是否存在关于直线 y=2x对称的两点A、B?若存在，试求出A B两点的坐标；若不存在，说明理由.实用文案高中数学选修2-1圆锥曲线 基本知识点与典型题举例答案一、椭圆例1. D例2. B例3. C 先考虑M+m=2a,然后用验证法.例 4. B -|PF| |PF2|2c|PF|PF2|2a:2c16sin 15 sin751 sin 15sin75sin 15 cos152aJ2si n603例 5 (3,4)或(-3,4)222222例 6. (1)xy1或Xy1; xy 1;251616256322222 2x2y1或y1;x2y1 或xy1.99814416例 7. | PFi |

15、 PF2 | 0时，焦点在x轴上;0, b2- k0)。比较上述两种解法可知，引入适当的参数可以提高 b2 k可以更准确地理解解析几何的基本思想解题质量，特别是充分利用含参数方程的几何意义, 例14解题思路分析：(2- k2) x2-2 k(2- k) x- k2+4k-6=0当厶 0 时，设 A (X1, y1), B( X2, y2)则 lx12X2k(2 k) 2 k2 k=1,满足 0.直线AB： y=x+1222y221两式相减得:1Xi丰X2.yiy22(为 X2)为 X2yiy222 yi . AB: y=X+i 代入 xi 得:22Xi法二：设 A (xi,yi), B ( X

16、2, y2)则2X21(xi-X2)( x计X2)=(yi-y2)( y计y2)2 0评注：法一为韦达定理法，法二称为点差法，当涉及到弦的中点时，常用这两种途径处理。在利用点差法时，必须检验条件厶0是否成立。(2)此类探索性命题通常肯定满足条件的结论存在，然后求出该结论，并检验是否满 足所有条件本题应着重分析圆的几何性质，以定圆心和定半径这两定为中心设A、B、C、D共圆于O OM因AB为弦，故M在AB垂直平分线即CD上；又CD为弦,故圆心 M为CD中点。因此只需证 CD中点M满足|MA|=|MB|=|MC|=|MD|y x i由y2得：A (-i , 0), B (3, 4)又 CD方程：y=

17、-x+3x2i2y x 3由 2y2得：x2+6x-1 仁0设 C( X3,y3),D(X4, y4),CD 中点 M(x,y)X212则Xo3, yo Xo 3 6. m (-3 , 6)1 .|MC|=|MD|=|CD|= 210 又 |MA|=|MB|= 2、.10 /. |MA|=|MB|=|MC|=|MD|2.A、B、C D在以CD中点，M(-3 , 6)为圆心，2.、10为半径的圆上评注：充分分析平面图形的几何性质可以使解题思路更清晰，在复习中必须引起足够重视三、抛物线：例 15. B( 2, p4即x2 2py 8y)2例 16. B则 p=q=|F K| 而 | FK |,2a

18、112 2,4ap q p (丄)2a例19.解析：运用抛物线的准线性质答案：B2例 20. x =8y2例 21 p例 22 x2 (y 3)294例 23-例24.解：由题意，直线 AB不能是水平线，故可设直线方程为：ky x 2p.ky x 2p,又设A(xA,yA), B(xB,yB)，则其坐标满足“消去x得y 2px.2 2y 2 pky 4p 0由此得yA yB 2pk, Xa Xb 4p k(yA yB) (4 2k2) p, yAyB4p2. xAxB (yAyBf 4p2(2p)uur uur因此 OA OB xAxB yAyB 0,即 OA OB.又由题意圆心H( xH, yH )是AB的中点,Xh故XaXbYb故O必在圆H的圆周上.2(2 k )p,由前已证kp.OH应是圆H的半径，且|OH | 示YT 亲5k p.从而当k=0时，圆H的半径最小，亦使圆 H的面积最小.此时，直线AB的方程为：x=2p.注:1.解决直线和圆锥曲线的位置关系问题，一般方法是联立方程组，消元得一元二次方程，必须讨论二次项系数和判别式，利用韦达定理寻找两根之和与两根之积之间的关 系.求解有时借助图形的几何性质更为简洁.此题设直线方程为x=ky+2p;因为直线过x轴上是点Q(2p, 0)，通常可以这样设，