人教版高中数学必修一学案：几类不同增长的函数模型(含答案)

1、3.2.1几类不同增长的函数模型自主学习1 结合实例体会直线上升、指数爆炸、对数增长等不同增长的函数模型意义，理解它们的增长差异性2能够借助信息技术，利用函数图象及数据表格，对几种常见增长类型的函数的增长状况进行比较，初步体会它们的增长差异性；收集一些社会生活中普遍使用的函数模型(指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等)，了解函数模型的广泛应用1三种函数模型的性质函数y ax(a1)y log ax(a1)y xn(n0)性质在 (0， ) 上的增减性图象的变化随 x 的增大逐随 x 的增大逐渐渐变 “_”随 n 值而不同趋于 _2.指数函数y ax(a1)，对数函数y log ax(a1)

2、和幂函数y xn( n0) 增长速度的比较(1)对于指数函数 y ax 和幂函数 y xn(n0) 在区间 (0， )上，无论 n 比 a 大多少，尽管在 x 的一定范围内， ax 会小于 xn，但由于 _的增长快于 _ 的增长，因此总存在一个x0，当 xx0 时，就会有 _ (2)对于对数函数 y logax(a1) 和幂函数 y xn(n0) ，在区间 (0， ) 上，尽管在 x 的一定范围内， log ax 可能会大于 xn，但由于 _ 的增长慢于 _的增长，因此总存在一个x0，当 xx0 时，就会有 _对点讲练一次函数模型【例 1】为了发展电信事业方便用户，电信公司对移动电话采用不同的

3、收费方式，其中所使用的“便民卡”与“如意卡”在某市范围内每月 (30 天)的通话时间 x(分 )与通话费 y(元 ) 的关系如图所示(1)分别求出通话费y1， y2 与通话时间x 之间的函数关系式；(2)请帮助用户计算，在一个月内使用哪种卡便宜变式迁移 1 商店出售茶壶和茶杯，茶壶每个定价20 元，茶杯每个定价5 元，该店推出两种优惠办法： (1)买一个茶壶赠送一个茶杯；(2)按总价的92%付款顾客只能任选其一某顾客需购茶壶4 个，茶杯若干个(不少于 4 个 )，若购买茶杯数为x 个，付款数为y(元 )，试分别建立两种优惠办法中y 与 x 之间的函数关系式，并讨论两种办法哪一种更省钱指数函数模

4、型【例 2】 某化工厂生产一种溶液，按市场要求，杂质含量不能超过0.1%，若初时含杂质 2%，每过滤一次可使杂质含量减少1(已3，问至少应过滤几次才能使产品达到市场要求？知： lg 2 0.301 0， lg 3 0.477 1)变式迁移 2 2004 年全国人口普查时， 我国人口数为 13 亿，如果从人口年增长率来控制人口增长，那么，大约经过多少年我国人口数达到2004 年开始按18 亿？1%的对数函数模型的应用【例3】 燕子每年秋天都要从北方飞向南方过冬，研究燕子的科学家发现，两岁燕子Q的飞行速度可以表示为函数v5log 2，单位是 m/s，其中 Q 表示燕子的耗氧量(1)计算：燕子静止时

5、的耗氧量是多少个单位？(2)当一只燕子的耗氧量是80 个单位时，它的飞行速度是多少？变式迁移 3 在不考虑空气阻力的条件下，火箭的最大速度v(m/s)和燃料的质量M(kg) 、M火箭 (除燃料外 )的质量 m (kg) 的关系 v 2 000ln 1 m .当燃料质量是火箭质量的多少倍时，火箭的最大速度可达12 km/s?1 根据实际问题提供的两个变量的数量关系可构建和选择正确的函数模型同时，要注意利用函数图象的直观性，来确定适合题意的函数模型2常见的函数模型及增长特点(1)直线 y kxb (k0) 模型，其增长特点是直线上升；(2)对数 y log ax (a1)模型，其增长缓慢；(3)指

6、数 y ax (a1) 模型，其增长迅速课时作业一、选择题1在我国大西北，某地区荒漠化土地面积每年平均比上年增长x 年可能增长到原来的y 倍，则函数y f(x)的图象大致为()10.4%，专家预测经过2能使不等式 log 2xx2x(2)y logaxy xnlogaxxn对点讲练【例 1】 解(1)由图象可设y1 k1x 29，y2 k2x，把点 B(30,35)， C(30,15)分别代入y1，y21 1 得 k1 5，k2 2.11x. y1 x 29， y252(2)令 y1 y2，即112x 29x，则 x 96 .523当 x 962时， y1 y2，两种卡收费一致；3当 xy2，

7、即如意卡便宜；3当 x9623时， y1y2，即便民卡便宜变式迁移 1解由优惠办法 (1) 可得函数关系式为y1 20 4(x 4) 5 5x60 (x 4)；由优惠办法 (2) 得：y2 4 200.92 x5 0.924.6x 73.6 (x 4)令 y1 y2 得 x 34.所以当购买34 只茶杯时，两办法付款相同；当 4x34 时， y134 时， y1y2，优惠办法 (2)省钱2】 解22 n1【例依题意，得 10031 000，即 2n 1320.则 n(lg 2 lg 3) (1 lg 2) ，故 n1 lg 2 7.4，考虑到 n N，即至少要过滤8 次lg 3 lg 2才能达

8、到市场要求变式迁移 2解 设大约经过n 年，我国人口由2004 年的 13 亿增加到 18 亿，则 13 (1 1%)n 18. 1.01n1813，1818 lg 13 即 n log1.0113 lg 1.01 lg 18 lg 13 1.255 3 1.113 9lg 1.010.004 3 32.883 7 33(年 )即从 2004 年开始，大约经过33 年，我国人口总数可达18 亿Q【例 3】解(1) 由题知，当燕子静止时， 它的速度v 0，代入题给公式可得： 0 5log 2，解得 Q10.即燕子静止时的耗氧量是10 个单位(2)将耗氧量Q 80 代入题给公式得：80v 5log

9、 2 5log 28 15 (m/s)即当一只燕子的耗氧量是80 个单位时，它的飞行速度为15 m/s.M变式迁移3解由 12 000 2 000ln 1 m，即 6 ln1M，mM e6，利用计算器算得 M 402.1 mm即当燃料质量约是火箭质量的402 倍时，火箭的最大速度可达12 km/s.课时作业1 D2.D3.A 4.B2x 4 096，5 C 设共分裂了 x 次，则有 2x 212，又每次为 15 分钟，共 15 12 180 分钟，即3 个小时 67.y3y2 y18 10111a解析由题意可得，经过 5 5n，得 t 15，分钟时， ae a， n ln 2 ，令 ae tl

10、n 2 a2558从而再经过10 分钟后，桶 1 中的水只有 8 L.9解本金 100 万元，年利率10%，按单利计算， 5 年后的本息和是100 (1 10% 5) 150( 万元 )本金 100 万元，年利率9%，按每年复利一次计算，5 年后的本息和是100 (1 9%) 5 153.86( 万元 ) 由此可见，按年利率 9%每年复利一次计算的比年利率10%单利计算的更有利，5 年后多得利息 3.86 万元10 解 (1) 当每辆车的月租金为3 600 元时，未租出的车辆数为3 6003 00012，50所以这时租出了88 辆车(2)设每辆车的月租金定为x 元，则租赁公司的月收益为f(x) 100 x 3 000 (x 150) x 3 000 50，5050整理得 f(x) x2