2021年高考数学（理数）二轮复习练习：大题规范练习“20题、21题”24分练（含答案详解）

1、2021年高考数学（理数）二轮复习练习：大题规范练习“20题、21题”24分练设A，B分别是x轴，y轴上的动点，点P在直线AB上，且=，|=2.(1)求点P的轨迹E的方程；(2)已知曲线E上的定点K(2,0)及动点M，N满足=0.试证：直线MN必过x轴上的定点. 已知函数f(x)=x2ln x1x.(1)求函数f(x)的单调区间；(2)当x1时，f(x)a(x1)2恒成立，求实数a的取值范围已知椭圆=1(ab0)的离心率为，过椭圆的一个焦点作垂直于x轴的直线l交椭圆于M，N两点，且|MN|=1.P(b,0)，A为圆O：x2y2=b2上不同于P的任意一点，过点P作与PA垂直的直线交圆x2y2=a

2、2于B，C两点(1)求椭圆的标准方程；(2)试问|BC|2|CA|2|AB|2是否为定值，若是，求出定值；若不是，说明理由已知函数f(x)=bln x(a，bR)(1)若函数f(x)在(0，)上单调递增，求实数a的取值范围；(2)若a=3，函数f(x)有3个零点，求实数b的取值范围如图，在平面直角坐标系xOy中，已知R(x0，y0)是椭圆C：=1上的一点，从原点O向圆R：(xx0)2(yy0)2=8作两条切线，分别交椭圆于点P，Q.(1)若R点在第一象限，且直线OP，OQ互相垂直，求圆R的方程；(2)若直线OP，OQ的斜率存在，并记为k1，k2，求k1k2的值. 已知函数f(x)=2ln xa

3、x(aR)的图象在x=2处的切线经过点(4,2ln 2)(1)讨论函数f(x)的单调性；(2)若不等式mx1恒成立，求实数m的取值范围答案解析解：(1)设P(x，y)，A(xA,0)，B(0，yB)，则=(xxA，y)，=(x，yBy)，由=，得xA=xx，yB=yy，由|=2，即可求得点P的轨迹E的方程为=1.(2)证明：设直线KM：y=k(x2)(k0)与=1联立，消去y，得(34k2)x216k2x16k212=0.设M(x1，y1)，则2x1=，x1=2=，y1=k(x12)=，M，设直线KN：y=(x2)(k0)，同理可得N，kMN=(k21)，则MN：y=(x)，化简可得y=，即直

4、线MN过定点，另MN斜率不存在时，也过定点，直线MN必过定点.解：(1)函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)=2xln xx1.当x1时，2xln x0，x10，所以f(x)0；当0x1时，2xln x0，x10，所以f(x)0，所以函数f(x)的单调递增区间为(1，)，单调递减区间为(0,1)(2)设g(x)=f(x)a(x1)2=x2ln x1xa(x1)2(x1)，g(x)=2xln xx12a(x1)，g(x)=2ln x32a.若32a0，即a1.5，对一切x1时，g(x)0，所以g(x)在区间1，)上单调递增，所以g(x)g(1)=0，所以g(x)在区间1，)上单调递增，所以g

5、(x)g(1)=0，符合条件；若32a0，即a1.5，存在x0(1，)使得g(x)=0，当x(1，x0)时，g(x)0，所以函数g(x)在区间(1，x0)上单调递减，所以当x(1，x0)时，g(x)g(1)=0，所以函数g(x)在区间(1，x0)上单调递减，故当x(1，x0)时，g(x)g(1)=0，这与题意矛盾综上，实数a的取值范围为(-,1.5.解：(1)假设直线l过椭圆的右焦点(c,0)，把x=c代入椭圆方程，得=1，即y2=b2=，所以|MN|=1.又=，所以a=2b，结合=1，可得a=2，b=1，所以椭圆的方程为y2=1.(2)设A(x0，y0)，B(x1，y1)，C(x2，y2)，

6、由题意知xy=1，xy=xy=4，P(1,0)，所以|BC|2|CA|2|AB|2=(x1x2)2(y1y2)2(x2x0)2(y2y0)2(x1x0)2(y1y0)2=2(xy)2(xy)2(xy)2(x1x2y1y2x1x0y1y0x2x0y2y0)=182(x1x2y1y2x1x0y1y0x2x0y2y0)因为PAPB，所以=0，又=(x01，y0)，=(x11，y1)，所以(x01)(x11)y0y1=0，即x0x1y0y1=1(x0x1)，所以x1x2y1y2x1x0y1y0x2x0y2y0=x2(x0x1)y2(y0y1)1(x0x1)=(x0x1)(x21)y2(y0y1)1.当

7、BCx轴时，直线BC与圆O仅有一个交点P，此时A(1,0)，|BP|=|CP|=，|AB|=|CA|=，所以|BC|2|CA|2|AB|2=(2)2()2()2=26.当BC与x轴不垂直时，直线BC与圆O有2个交点，设直线BC交圆O于另一点A，由APAP，知AA为圆O的直径，所以A(x0，y0)由线段AP的中点与BC的中点重合，可知x1x2=x01，y1y2=y0，即x1x0=1x2，y1y0=y2，所以x1x2y1y2x1x0y1y0x2x0y2y0=(1x2)(x21)y2(y2)1=1(xy)1=4，所以|BC|2|CA|2|AB|2=182(4)=26.综上，|BC|2|CA|2|AB

8、|2是定值，且为26.解：(1)f(x)的定义域为(0，)，f(x)=.由题意可得f(x)0在(0，)上恒成立，即0，所以，因为x0，所以x20，故ax.由基本不等式可得x2(当且仅当=x，即x=时等号成立)，故实数a的取值范围为(，2(2)当a=3时，f(x)=bln x，函数f(x)的定义域为(0，)，f(x)=.由f(x)=0，解得x1=1，x2=2.当x变化时，f(x)，f(x)的变化情况如下表：故函数f(x)的极大值为f(1)=31bln 1=2b，极小值为f(2)=bln 2=bln 2.要使函数f(x)有3个零点，则解得ln 2b2.故实数b的取值范围为.解：(1)连接OR(图略

9、)设圆R的半径为r，由圆R的方程知r=2，因为直线OP，OQ互相垂直，且和圆R相切，所以|OR|=r=4，即xy=16.又点R在椭圆C上，所以=1，联立，解得所以圆R的方程为(x2)2(y2)2=8.(2)因为直线OP：y=k1x和OQ：y=k2x都与圆R相切，所以=2，=2，化简得(x8)k2x0y0k1y8=0，(x8)k2x0y0k2y8=0.所以k1，k2是方程(x8)k22x0y0ky8=0的两个不相等的实数根，由根与系数的关系，得k1k2=，因为点R(x0，y0)在椭圆C上，所以=1，即y=12x，所以k1k2=.解：(1)由题意得f(x)=a，x0，f(2)=1af(2)，a=1，f(x)的图象在x=2处的切线方程为yf(2)=f(2)(x2)，即y=f(2)x2ln 224f(2)，点(4,2ln 2)在该切线上，f(2)=，f(x)=1=0，函数f(x)在(0，)上单调递减(2)由题意知x0，且x1，原不等式mx1等价于(2lnxx)m.设g(x)=f(x)，由(1)得f(x)在(0，)上单调递减，且f(1)=0，当