选修11导数的应用恒成立问题存在性问题教案

1、适用学科L. 一一 .高中数学1 1适用年级I高二1 1适用区域苏教版课时时长(分钟)丨2课时1知识点1恒成立问题2存在性问题i1教学目标11. 能利用导数熟练解决恒成立问题12. 能利用导数熟练解决存在性问题教学重点分辨恒成立冋题、存在性冋题教学难点理解最大最小值成立【知识导图】教学过程、导入【教学建议】导入是一节课必备的一个环节，是为了激发学生的学习兴趣，帮助学生尽快进入学习状 态。导入的方法很多，仅举两种方法： 情境导入，比如讲一个和本讲内容有关的生活现象； 温故知新，在知识体系中，从学生已有知识入手，揭示本节知识与旧知识的关系，帮学 生建立知识网络。极值与最值的区别和联系函数的极值表示

2、函数在一点附近的情况，是在局部对函数值的比较；函数的最值是函数在整个定义域上的情况，是对函数在整个定义域上的函数值的比较.(2) 函数的极值不一定是最值，需对极值和区间端点的函数值进行比较，或者考察函数在区间内的单调性.(3) 如果连续函数在区间(a, b)内只有一个极值，那么极大值就是最大值，极小值就是最 小值.(4) 可用函数的单调性求 f(x)在区间上的最值，若 f(x)在a, b上单调递增，贝U f(x)的最大 值为f(b)，最小值为f(a),若f(x)在a, b上单调递减，则f(a)为函数的最大值，f(b)为函数的 最小值.二、知识讲解考点恒成立恒题立问题 a A f (X M亘成立

3、二a f(X hax ； a兰f(X )恒成立=a兰f(X hn(2)能成立问题的转化：anf(x )能成立二aAf(x)min ； a兰f (x能成立n a兰f(xhax(3)恰成立问题的转化：a f x在M上恰成立：j a f x的解集为a f x在M上恒成立第17页a _ f x在CrM上恒成立另一转化方法：若 xD, f(x) _ A在D上恰成立，等价于 f (x)在D上的最小值fmin (x A，若D, f(x)乞B在D上恰成立，则等价于f (x)在D上的最大值fmax(X)二 B (4) 若不等式f Xg x在区间D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y = f X和图 象在函数y

4、= g x图象上方；(5) 若不等式在区间 D上恒成立，则等价于在区间 D上函数y二f x和图象在函数y二g x图象下方；考点2存在性问题(1)设函数f x、g x，对任意的 x1 a, b i, 存在X2 e C , d】，使得f (xi)兰g(x2 ),则 fmin X gmin X(2)设函数f x、g x，对任意的 a , b 1,存在x2C, d 1,使得f X乞g x2 ,则 fmax X 空 gmax X 。(3)设函数f x、g x，对任意的 a , b l,存在x2 C, d】，使得f % =g x2 , 则f x在xa , b l上的值域m是g x在X2 C, d】上的值域

5、N的子集。即：M- Nof maxX g min XC, d I,使得 f xi - g X2，则(4)设函数f x、g x，存在Xi la ,b l,存在X2 -(5)设函数f x、g x，存在 a , bl,存在X2 C, d】，使得f &岂g X2，则fmn x g max X类型三一、恒成精问题例题1已知函数 f (x) = X2 -2ax 1, g(xH-，其中 a 0 , x = 0 对任意 x 1,2，都有xf(x) g(x)恒成立，求实数a的取值范围；【解析】由oy + yX2 -2ax 10= a 2成立，只需满足x2x2+1(x)二X3 X2x2 1的最小值大于a即可.对:

6、(X)戸x3 x2x2 1求导,(X)2x4 x21-(2x21)20，故(x)在x 1,2是增2 2函数，min(X：(1)，所以a的取值范围是0 ： a ：.3 3【总结与反思】在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的，尤其是最值的求解过程中，一定会涉及到极值的求解部分，所以也可以说：极值不一定是最值，但是最值一定是极值。例题23已知f(x)= ax + cx+ d(a丰 是 R上的奇函数，当 x= 1时，f(x)取得极值一2.(1) 求f(x)的解析式；证明对任意XI、X2 (- 1, 1),不等式丨f(X” f(X2)| 0,解得 x 1;令 f x( 0，解得一1 x 1,从而

7、函数f(x)在区间(一g, 1)内为增函数，(一1, 1)内为减函数， 在(1 , + g)为增函数.故当x 1 , 1时，f(x)的最大值是f( 1) = 2,最小值是f(1) = 2,所以，对任意 X1、x2 (一 1 , 1), |f(x1) f(x2)| 2 ( 2) = 4.【总结与反思】在函数的导数应用中极值和最值往往都的联立出现的，尤其是最值的求解过程中，一定会涉及到极值的求解部分，所以也可以说：极值不一定是最值，但是最值一定是极值。类型二存在性问题.例题1已知a -0,函数f (x) =(x2 -2ax)eX，设f (x)在-1,1上是单调函数，求a的取值范围.【解析】 根据题

8、意， f (x)二x2-2(a-1)x-2aeX , f (x) =0,为二a-1 - 1 a2,X2 二a-11 a2，当 a-0时，f(x)在-1,1上为单调1 3函数的充要条件是 X2 -1, xa-V 1 a2 -1，解a ，综上，f(x)在-1,1上为43 3单调函数的充要条件是 a ，即a的取值范围为a -。4 4【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性，在闭区间上通过单调性来求参数的取值范 围。例题212已知函数f x = In xax2-2x a = 0存在单调递减区间，求 a的取值范围【解析】因为函数f x存在单调递减区间，所以f x J _ax_2ax2 2x_ 0xxX.

9、 0,=能成立，设u X 舟2x2 xx2由u x皑2x21 d x x_1 得，umin Xu-1.于是，a -J,由题设a=0,所以a的取值范围是 -1,00,【总结与反思】本题主要考查含参数的单调性， 在闭区间上通过单调性来求参数的取值范围。四、课堂运用1.当础1,2时，不等式x2 mx ： 0恒成立，则m的取值范围是2. 设a 1，若对于任意的a,2a，都有y a,a2满足方程loga x loga 3，这时a的取值集合为x -y 乞03. 若任意满足 x y -5 _0的实数x, y，不等式a(x2 y2(x y)2恒成立，则实数a的y _3 乞 0最大值是。4. 不等式ax_、.

10、x 4-x在X，0,3】内恒成立，求实数 a的取值范围。答案与解析1.【答案】m ： 一5【解析】当m5.x2十4 x2 mx 4 ： 0 时，由 x2 mx 4 : 0 得 m ：-2. 【答案】3【解析】由方程logaX loga y =3可得y = H，对于任意的a, 2a，可得x23-a，依题意得3.【答案】2513e 2a a 2 二2 2a - a2 x2222a+y 3【解析】由不等式a(x2 y2(x y)2可得x y ,由线性规划可得1，由x 2y x函数单调性得最大值为25134.【答案】a-l3a，【解析】画出两个函数 y =ax和y , x 4 - x在1.0,31上的

11、图象如图知当0,3 1时总有ax_ ,x 4-X所以巩固1. 不等式sin 2 x -4sin x 1 -a ： 0有解，则a的取值范围是 2. 已知两函数 f x =7x2 -28x-c， g x =2x3 4x40x，对任意1-3,3 ,都有f x勺X成立，求实数c的取值范围；3. 已知两函数 f X i=7x2 -28x -c , g x i；=2x3 - 4x2 -40x，存在 x 七3 ,使 f x 勺 x成立，求实数c的取值范围;4. 已知两函数f x =7x2-28x-c , g x =2x3 4x2-40x，对任意|,3 ，都有f咅_g x2 ,求实数c的取值范围；5. 已知两

12、函数 f x =7x2-28x-c , g x =2x3 4x240x，存在 xi , x ( 3,3 ,都有f xi _g x2 ,求实数c的取值范围；答案与解析1. 【答案】a .2【解析】 原不等式有解=a .sin2x-4sin x 1 = sin x-2 ； -3 -lsinxl有解，而sin x _2=2，所以a /。2. 【答案】c _45【解析】设 h(x 尸g(x)_f (x) =2x3_3x2_12x*，问题转化为x运七3 时，h(x)ZO恒成立，故 hmin X _0。令 J x i=6x2 -6x _12 =6 x J x 2 =0，得 x = -1 或 2。由导数知识

13、，可知 h x 在 日-1 1单调递增，在口,2 1单调递减，在|2,3 1单调递增，且h=c -45 , h X极大值二h -1 =C 7 ,h I X 极小值=h2=C-20, h 3 =C 9,.hmmX=h3 =c_45，由 C -45 .丄0，得 C.丄45。3. 【答案】c_J【解析】据题意：存在I-3,3 ,使f X匀x成立，即为：hx=gx-fx_0在I-3,3 I有解，故 hmax X _0，知 hmax X j=C_0，于是得 C。4. 【答案】c -195【解析】 它与(1 )问虽然都是不等式恒成立问题， 但却有很大的区别，对任意X1 , X2 2,3 , 都有f X1

14、g x2成立，不等式的左右两端函数的自变量不同，X1 , X2的取值在G3 上具有任意性，.要使不等式恒成立的充要条件是：fmax(X)乞gmin(X)?X【弋。：f (x )=7(x2 2 c 28,x壬 I3,3 . f (X 爲=f戸47 c ,/ g X =6x2 8x -40 =2 3x 10 x-2g x =0 在区间 l_3,3 I上只有一个解 x =2。g(x 瓜=g(2 )=78 ,. 147c 兰48，即 cH195.5.【答案】c _ -130【解析】存在Xi，X23,3 ,都有f各乞g X2 ,等价于fmin咅冬gmax *2 ，由得fmin X1 - f 2 = c

15、- 28 , g max X2 - g _3 - 102，c 28 _ 102 = C 一 -30 拔高13221. 设函数 f (x) x 2ax -3a x b (0 ： a ： 1, b R).3(i)求函数f x的单调区间和极值；(n)若对任意的xa+1, a+2,不等式(x兰a成立，求a的取值范围。2. 设f x二px -q -21n x，且f e二qe -卫-2( e为自然对数的底数)xe(1) 求p与q的关系；(2) 若f X 在其定义域内为单调函数，求p的取值范围；答案与解析1. 【答案】见解析.【解析】(I) f (x -x2 4ax-3a2令f (x)0,得f (x)的单调

16、递增区间为(a,3a)令f(x)：0,得f (x)的单调递减区间为(一二，a)和(3a,：)3 3当 x = a 时，f (x)极小值=一 a b;4当 x =3a 时，f (x) 极小值=b .(n)由 |f(x)|-a，得一 a - x2 4ax 3a2 _ a .- f (x)二-x2 4ax-3a2在a 1,a 2上是减函数.于是，对任意x a 1,a2，不等式恒成立，等价于a 兰 4a 4, &刀/戸 44丿解侍一兰a 兰1.又0a：1,a 畠 2a-1.55见解析.【解析】（1)由题意得 f e =pe-q-2lne=qe-卫-2 =ee所以p = q(2 )由 I知 f x i

17、= px -卫 - 2In x , f x = p 一 2x7x2xpx2 2x pX2令h x二px2 -2x p，要使f x在其定义域（0, ：）内为单调函数，只需 h x 在（0, ：）内满足：hx_0或h x 0恒成立.2 当p乞0时，px 0, -2x ：0= h x : 0，所以f x在（0, V）内为单调递减，故P乞0 ；2 当p 0时，h x = px -2x p，其图象为开口向上的抛物线，对称轴为1x 0，:,P111 hmin（x） = h =P-，只需 p工0，即 P1 时，h（x）兰 0 , f（X）K0 , IP 丿pPf x 在（0, ：）内为单调递增，故p -1适

18、合题意.综上可得，P-1或p0.五课堂小结高考中对导数在结数上的应用要求很高，而且每年都有考题，用导数证明不等式，一般以解答题的形式出现，综合性比较大，有难度，需要学生在学习过程中一定要突破这个难关，提供综合应用知识的能力。为了解决好下面的问题， 我们一定要学好导数这一知识点，掌握它的研究问题的精髓，这样有利于更好的研究函数，提高做题的质量。本节课主要研究的内容为：(1 )函数中含参数的单调性与最值(2 )函数中的最值问题(3) 用导数证明不等式六、课后作业基础1.对于满足 p兰2的所有实数p,求使不等式x2+px + 1np+2x恒成立的x2存在实数x，使得不等式x 3 xln2 1 且 x

19、0 时，exx2 2ax+ 1.答案与解析1.【答案】见解析【解析】不等式即x -1 p 2x 1 0,设f p二x -1 p 2x 1f|f(2)04x + 3a0x3 或 x0公1 或x，x 3的取值范围。，则f p在=X ” 一1 或【解析】设f x =x W 一1，由f x勺-3a有解,= a2 _ 3a 丄 f2. 答案】见解析又 x 3 x _ x x-K=4 , a2 3a _4，解得 a _4或a 乞1。3. 【答案】见解析【解析】(1)解：由 f(x) = ex 2x+ 2a, x R 知 fx)= ex 2, x R.令fx)= 0,得x= In2.于是当x变化时，f x)

20、, f(x)的变化情况如下表:x(a, ln2)In2(In2, + a)fx)一0+f(x)单调递减42(1 In2 + a)单调递增/故f(x)的单调递减区间是(一汽In2)，单调递增区间是(In2 , + m),f(x)在 x= In2 处取得极小值，极小值为f(ln2) = eln2 2ln2 + 2a= 2(1 In2 + a).x 2 x(2)证明：设 g(x)= e x + 2ax 1, x R,于是 gx)= e 2x+ 2a, x R. 由知当 aln2 1 时，g x)最小值为 g (In2)2(1 In2 + a)0.于是对任意x R，都有g x)0，所以g(x)在 R内

21、单调递增.于是当aln2 1时，对任意x (0, + 都有g(x)g(0).而 g(0) = 0,从而对任意 x (0,+a), g(x)0.即 ex x2 + 2ax 10，故 exx2 2ax+ 1.1. 巩固数f x = Inx ax, g x = ex ax，其中a为实数.若f x在(1,+：)上是单调减函数，且g(x)在(1,+：)上有最小值，求 a的取值范围.322. 已知函数f(x) =x -3x x 2，当k 1时，曲线y= f(x)与直线y = kx-2只有一个 交点。xx3. 设函数f x=1-e .证明：当x -1时，f x -x+1答案与解析1 .【答案】见解析1 1 一 ax【解析】令f x二一一a=0，考虑到f x的定义域为(0,xx故a0,进而解得x a S即f x在(a ；+：)上是单调减函数.同理，f(x 在 (0, a 1)上是单调增函数.由于f(x 在 (1, +)上是单调减函数，故(1,+ )(a1,+:)，从而 a一1 乞1，即 a _1.令 g x = ex