等比数列的前n项和(教学设计)

1、等比数列的前n项和（教学设计）等比数列的前 n 项和（ 第一课时）一 教材分析。（1）教材的地位与作用：等比数列的前 n 项和选自普通高中课程标准数学教科书数学（5）,是数列这一章中的一个重要内容，它不仅在现实生活中有着广泛的实 际应用，如储蓄、分期付款的有关计算等等，而且公式推导过程中所渗透的类比、化归、 分类讨论、整体变换和方程等思想方法，都是学生今后学习和工作中必备的数学素养。（2）从知识的体系来看：“等比数列的前n项和”是“等差数列及其前n项和”与“等 比数列”内容的延续、不仅加深对函数思想的理解，也为以后学数列的求和，数学归纳 法等做好铺垫 。二学情分析。（1）学生的已有的知识结构：

2、掌握了等差数列的概念，等差数列的通项公式和求和公式 与方法，等比数列的概念与通项公式。（2）教学对象：高二理科班的学生，学习兴趣比较浓 ,表现欲较强 , 逻辑思维能力也初 步形成，具有一定的分析问题和解决问题的能力，但由于年龄的原因，思维尽管活跃、 敏捷，却缺乏冷静、深刻，因而片面、不够严谨。（3）从学生的认知角度来看：学生很容易把本节内容与等差数列前 n项和从公式的形成、 特点等方面进行类比，这是积极因素，应因势利导。不利因素是：本节公式的推导与等 差数列前 n 项和公式的推导有着本质的不同，这对学生的思维是一个突破，另外，对于 q = 1 这一特殊情况，学生往往容易忽视，尤其是在后面使用的

3、过程中容易出错。三教学目标。根据教学大纲的要求、本节教材的特点和本班学生的认知规律，本节课的教学目标确定为：（ 1）知识技能目标理解并掌握等比数列前 n 项和公式的推导过程、公式的 特点，在此基础上，并能初步应用公式解决与之有关的问题（2）过程与方法目标通过对公式推导方法的探索与发现，向学生渗透特殊 到一般、类比与转化、分类讨论等数学思想，培养学生观察、比较、抽象、概括等逻辑 思维能力和逆向思维的能力（3）情感，态度与价值观培养学生勇于探索、敢于创新的精神，从探索中 获得成功的体验，感受数学的奇异美、结构的对称美、形式的 简洁美。四重点 , 难点分析。教学重点：公式的推导、公式的特点和公式的运

4、用。教学难点：公式的推导方法及公式应用中 q与1的关系。五教法与学法分析 .培养学生学会学习、学会探究是全面发展学生能力的重要前提，是高中新课程改革 的主要任务。如何培养学生学会学习、学会探究呢？建构主义认为： “知识不是被动吸收 的，而是由认知主体主动建构的。 ”这个观点从教学的角度来理解就是：知识不是通过教 师传授得到的，而是学生在一定的情境中，运用已有的学习经验，并通过与他人（在教 师指导和学习伙伴的帮助下）协作，主动建构而获得的，建构主义教学模式强调以学生 为中心，视学生为认知的主体，教师只对学生的意义建构起帮助和促进作用。因此，本 节课采用了启发式和探究式相结合的教学方法，让老师的主

5、导性和学生的主体性有机结 合，使学生能够愉快地自觉学习，通过学生自己观察、分析、探索等步骤，自己发现解 决问题的方法，比较论证后得到一般性结论，形成完整的数学模型，再运用所得理论和 方法去解决问题。一句话： 还课堂以生命力，还学生以活力。六课堂设计（一）创设情境，提出问题。（时间设定： 3 分钟）利用投影展示 在古印度，有个名叫西萨的人，发明了国际象棋，当时的印度国王大为赞赏，对他说：我可以满足你的任何要求。西萨说：请给我棋盘的64 个方格上，第一格放 1 粒小麦，第二格放 2粒，第三格放 4粒，往后每一格都是前一格的两倍， 直至第 64 格国王令宫廷数学家计算，结果出来后，国王大吃一惊。为什

6、么呢？ 设计这个情境目的是在引入课题的同时激发学生的兴趣， 调动学习的积极性 故事内容 紧扣本节课的主题与重点 提出问题 1：同学们，你们知道西萨要的是多少粒小麦吗？ 引导学生写出麦粒总数 1 2 22 23 L 263（二）师生互动，探究问题 5 分钟 提出问题 2：1+2+22+23 +263究竟等于多少呢 ?有学生会说：用计算器来求（老师当然肯定这种做法，但学生很快发现比较难求。 ） 提出问题 3：同学们，我们来分析一下这个和式有什么特征？（学生会发现，后一项都是 前一项的 2 倍）提出问题 4：如果我们把每一项都乘以 2，就变成了它的后一项，那么我们若在此等式两 边同以 2，得到另一式

7、： 利用投影展示 .S642S641 2 22 23 L2 2223 24 L263(1)264(2)比较（ 1）（2 ）两式，你有什么发现？（学生经过比较发现：（ 1）、（ 2）两式有许多相同的项）提出问题 5：将两式相减，相同的项就消去了，得到什么呢？。 （学生会发现： S64 264 1这五个问题的设计意图： 层层深入， 剖析了错位相减法中减的妙用， 使学生容易接受为 什么要错位相减，经过繁难的计算之苦后，突然发现上述解法，也让学生感受到这种 方法的神奇 这时，老师向同学们介绍错位相减法，并提出问题 6：同学们反思一下我们错位相减法求此题的过程，为什 么（ 1）式两边要同乘以 2 呢？

8、这个问题的设计意图 :让学生对错位相减法有一个深刻的认识，也为探究等比数列求和公式的推导做好铺垫 （三）类比联想，解决问题。时间设定：10分钟S q a? a3 L a提出问题7:设等比数列an的首项为a1,公比为q,求它的前项和Sn学生开展合作学习，讨论交流，老师巡视课堂，发现有典型解法的，叫同学 书在黑板上 计意图：从特殊到一般,从模仿到创新，有利于学生的知识迁移和能力提高，让学生在探索过程中,分感受到成功的情感体验 四）分析比较，开拓思维。时间设定：5分钟将不同的的方法进等比析评价。根据公生的为识状况它的能有如项和种方法:错位相减法1：Sn2ai aiq aiqaiqn 2 aiqn i

9、错位相减法提出公比qqSnnaiq（i q）S等比数列SnqSn(iJ aiq2aiqn 2 aiqnn ai aiqan,公比为q，它的前n项和a2 a3a 2 a3q)Sn ai a“qaia.q等比数列an,公比为q，它的前n项和Sn ai a2 a32ai aiq aiqSnai q(ai aiqan i ann 2 aiqn 3aiqn iaiqn 2aiq )ai q (Sn aiqn i )(i q)Sn ai aiqn累加法等比数列an,公比为q,它的前n项和aia2a3an iana2aiqa3a2qa4a3qanan iqa2a3anq(aia2a3an i)S a q(S

10、a )可能也有同学会想到由等比定理得Q更鱼L a?n qan 1S1ai a2 a3 Lna2a3Lanaia2 Lan 1qaia.q即 S 印Sn an (1 q)Sn L L【设计意图：共享学习成果，开拓了思维，感受数学的奇异美】（五）.归纳提炼，构建新知。时间设定：3分钟提出问题8：由(1- q)sn= ai - aiqn 得 Sn =nai - aiqi- q对不对？这里的q能不能等于1?等比数列中的公比能不能为1？ q 1时是什么数列？此时Sn ？【设计意图：通过反问精讲，一方面使学生加深对知识的认识，完善知识结构，增强思维的严谨性】提出问题9：等比数列的前n项和公式怎样？学生归纳

11、出Snna1,q 1na1,q 1【设计意图：向学生渗透分类讨论数学思想，加深对公式特征的了解】 （六）层层深入，掌握新知。时间设定：15分钟基础练习1已知an是等比数列，公比为q21(1)若 a1= ，q=，则 Sn33L+ -2 n1(12n)1(2)L2* 1(12n)121则Sa8皿1 a(2) .则312,q练习2判断是非(1).1-2+4-8+16(2).1 2 22 23(3) .a a2 a3 L【设计意图：通过两道简单题来剖析公式中的基本量.进行正反两方面的“短、浅、快”练习.通过总结、辨析和反思，强化公式的结构特征.】例1已知数列3n是等比数列，完成下表题号a1qnanSn

12、(1)1/21/28(2)272/38(3)-2-96-63【设计意图：渗透方程思想.通过公式的正用和逆用进一步提高学生运用知识的能力.掌握公式中”知三求二”的题型】练习3:求等比数列16 丄8 1一 41一2刖8项和;变式1、等比数列i，1,11,前多少项的和是63 ;2 4 8 1664变式2、等比数列2,4,1,求第5项到第10项的和；变式3、等比数列a,a2,a3,an,L求前2n项中所有偶数项的和。(先由学生独立求解，然后抽学生板演，教师巡视、指导，讲评学生完成情况，寻找学 生中的闪光点，给予热情表扬。)【设计意图：变式训练，深化认识，增加思维的梯度的同时，提高学生的模式识别能力，

13、渗透转化思想】.练习4有一位大学生毕业后到一家私营企业去工作，试用期过后，老板对这位大学20生很欣赏，有意留下他，就让这位大学生提出待遇方面的要求，这位学生提出了两种方案让老板选择，其一：工作一年，月薪五千元；其二：工作一年，第一个月的工资为元，以后每个月的工资是上月工资的 2 倍，此时，老板不假思索就选择了第二种方案，于是他们之间就订了一个劳动待遇合同。请你分析一下，老板的选择是否正确？【设计意图： 让学生进一步认识到数学来源于生活并应用于生活，生活中处处有数学 】（七）总结归纳，加深理解。 时间设定： 2 分钟（1）等比数列的求和公式是什么？应用时要注意什么？（2）用什么方法可以推导了等比数列的求和公式？【设计意图： 形成知识模块， 从知识的归纳延伸到思想方法的提炼， 优化学生的认知结构】（八）课后作业，巩固提高。 时间设定： 1 分钟必做：（1） P66练习1研究性作业：请上网查阅“芝诺悖论”选做：求和： 1 2 2 22 3 23 4 24 L n 2n【设计意图：为了使所有学生巩固所学知识，布置了“必做题” ；“选做题”又为学有余力 者留有自由发展的空间， 布置了“探究题”以利于学生开展研究性学习， 拓