人教A版数学必修一知识点

1、第一章 集合与函数概念1.1集合1.1.1 集合的含义与表示学习目标： 1.了解集合的含义；2. 会用适当的方法表示集合；3. 培养抽象概括的能力；知识点：1. 集合的含义：一般地，一定范围内某些确定的，不同的对象的全体构成一个集合；集合中每个对象称为这个集合的元素；2. 集合中元素的性质：（ 1）确定性：集合中的元素必须是确定的；（ 2）互异性：集合中的元素必须是互不相同的；（ 3）无序性：集合中的元素是无先后顺序的；集合常用大写字母表示，比如：A, B, C.元素常用小写字母表示，比如：a, b, c.若 a 是集合 A 中的元素，就说a 属于集合 A ，记作 a若 a 不是集合 A 中的

2、元素，就说a 不属于集合A ，记作A ； aA ；3. 几个常见的数集：（ 1） N ：自然数集；（ 2） N* (N ) ：正整数集；（ 3） Z ：整数集；（ 4） Q ：有理数集；（ 5） R ：实数集；4.集合的表示方法： （ 1）列举法： 将集合的元素一一列举出来， 并置于大括号；如：“中国的直辖市”构成的集合 北京，上海，天津，重庆 ；注： 元素之间要用逗号分隔，列举时与元素顺序无关；（ 2）描述法：用集合所含元素的共同特征表示集合的方法，具体方法是： 在花括号内先写上表示这个集合元素的一般符号及取值（或变化） 范围， 再画一条竖线，在竖线后写出这个集合中元素所具有的共同特征；5.

3、 集合的分类（按元素个数分）：（1）有限集：含有有限个元素的集合；（ 2）无限集：含有无限个元素的集合；1.1.2集合间的基本关系学习目标： 1.理解子集，真子集，空集的概念；2. 能用符号和 Venn 图表达集合间的关系；3. 掌握列举有限集的所有子集的方法；知识点：1. 子集：一般地，对于两个集合A, B ，如果集合 A 中任意一个元素都是集合 B中的元素，我们就说这两个集合有包含关系，称集合A为集合 B的子集，记做 AB（或 BA ），读作“ A 含于 B ”（或“ B 包含 A ”）；2.集合相等：如果集合A 是集合 B 的子集（ AB ），且集合 B 是集合 A 的子集（ BA ），

4、此时，集合 A 与集合 B 中的元素是一样的，因此，集合 A 与集合 B 相等，记作 AB ；3.真子集：如果集合 AB ，但存在元素 xB, 且 xA，我们称集合 A 是集合B 的真子集，记作 AB（或BA ）；4.空集：我们把不含任何元素的集合叫做空集，记为，并规定：空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集；5.Venn 图：在数学上， 用平面上封闭曲线的内部代表集合，这种图称为 Venn 图；用 Venn 图表示 A 包含于 B最后由集合之间的关系可得以下结论：（ 1）任何一个集合是它本身的子集，即 AA ；（ 2）对于集合A, B,C, 如果AB,且BC ，那么AC ；1.1.3集

5、合的基本运算学习目标： 1.理解并集，交集，全集与补集的概念；2.会用符号， Venn 图和数轴表示并集， 交集，准确翻译和使用补集符号和 Venn 图；3. 会求简单集合的并集和交集， 会求补集，并能解决一些集合综合运算的问题；知识点：1.并集：一般地，由所有属于集合A 与集合 B 的并集，记作AA或属于集合B 的元素组成的集合，称为集合B （读作“A 并 B ”），即A B x | x A, 或 xB ；可用 Venn 图表示AB2.交集：一般地， 由属于集合A 且属于集合 B 的所有元素组成的集合，称为 A与B 的交集，记作 AB （读作“ A 交 B ”），即A B x | x A,

6、且 xB ；可用 Venn 图表示AB3. 全集：一般地，如果一个集合含有我们所研究问题中涉及的所有元素，那么就称这个集合为全集，通常记作 U ；4.补集：对于一个集合A ，由全集 U 中不属于集合A 的所有元素组成的集合称为集合A 相对于全集U的补集，简称为集合A 的补集，记作CU A，即CU A x | xU , 且 xA；可用 Venn 图表示CU A1.2函数及其表示1.2.1函数的概念学习目标： 1.理解函数的概念；2. 了解构成函数的三要素；3. 正确使用函数，区间符号；知识点： 1.函数的概念：设 A, B 是非空数集，如果按照某种确定的对应关系f ，使对于集合 A 中的任意一个

7、数 x ，在集合 B 中都有唯一确定的数f ( x) 和它对应，那么就称f : A B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数，记作 y f (x), xA ，其中 x 叫做自变量， x 的取值范围 A 叫做函数的定义域，与x 值相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合 f ( x) | x A 叫做函数的值域；2. 函数三要素：（ 1）定义域；（ 2）对应关系 f ；（ 3）值域；3. 区间的表示：定义名称符号数轴表示 x | a x b闭区间a,b开区间 x | axb(a, b)半开半闭区间 x | axba,b半开半闭区间 x | axba,b4. 函数相等：根据函数的定义可知，值域可由

8、定义域和对应关系确定，所以如果两个函数的定义域相同，并且对应关系完全一致，我们就称这两个函数相等；5. 抽象函数定义域的理解： （ 1）已知 f (x) 的定义域为 A ，求 f (x) 的定义域，其实质是已知( x) 的取值范围为A ，求x 的取值范围；（2）已知 f ( x) 的定义域为B ，求f (x) 的定义域，其实质是已知f (x) 中 x 的取值范围为B ，求(x) 的取值范围，此范围就是f (x) 的定义域；例如：已知函数f (3x1) 的定义域为1,7 ，求函数f (x) 的定义域；解：令3x1t ，因 1x7,则 4t22, 即f (t) 中， t 4,22,故f (x) 的

9、定义域为 4,22;1.2.2函数的表示法学习目标： 1.了解函数的三种表示法以及各自的优缺点；2. 掌握求函数解析式的常见方法；3. 尝试作图和从图象上获取有用的信息；4. 会用解析法及图象法表示分段函数；5. 给出分段函数，能研究有关性质；6. 了解映射的概念；知识点： 1.（ 1）解析法：解析法是指用数学表达式表示两个变量之间的关系；注： 如果已知函数类型，可以用待定系数法；如果已知f ( g (x) 的表达式， 想求 f (x) 的解析式， 可以设 tg(x), 然后把 f ( g( x) 里的每一个 x 都换成 t ；如果条件是一个关于f ( x), f ( x) 的方程， 可以用

10、x 的任意性进行赋值。比如把每一个x 换成x ，其目的是再得到一个关于f (x), f ( x) 的方程，然后消元消去f ( x);（ 2）图像法： 用图象表示两个变量之间的对应关系这样可以直观形象地表示两变量之间的变化趋势；注：画图时一般很难把所有点都描出来， 故为了使画出来的图能反映变量间的变化规律，我们要尽量选择关键点： 最高点，最低点和与 x, y 轴相交的交点；（ 3）列表法：列出表格来表示两个变量之间的对应关系函数三种表示法的优缺点结论：如何作函数的图象：一般地，作函数图象主要有三步：列表、描点、连线. 作图象时一般应先确定函数的定义域，再在定义域内化简函数解析式，再列表描出图象，

11、 画图时要注意一些关键点， 如与坐标轴的交点，端点的虚、实问题等；如何求函数的解析式：求函数的解析式的关键是理解对应关系f 的本质与特点( 对应关系就是对自变量进行对应处理的操作方法， 与用什么字母表示无关 ) ，应用适当的方法，注意有的函数要注明定义域 . 主要方法有：代入法、待定系数法、换元法、解方程组法(消元法 )；2.分段函数：（ 1）一般地，分段函数就是在函数定义域内，对于自变量x 的不同取值范围，有着不同的对应关系的函数；（ 2）分段函数是一个函数， 其定义域、 值域分别是各段函数的定义域、值域的并集；各段函数的定义域的交集是空集；（ 3）作分段函数图象时，应分别作出每一段的图象；

12、研究分段函数，要牢牢抓住两个要点：(1) 分段研究；(2)合并表达 . 因为分段函数无论分成多少段， 仍是一个函数， 对外是一个整体；3.映射的概念：设A, B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应关系f，使对于集合A 中的任意一个元素x ，在集合B 中都有唯一确定的元素y 与之对应， 那么就称对应f : AB 为从集合A 到集合B 的一个映射；注： 映射f : AB 其中A, B是两个“非空集合”；而函数yf ( x), xA 为“非空的数集”，其值域也是数集，于是，函数是数集到数集的映射，由此可知，映射是函数的推广，函数是一种特殊的映射；映射是一种特殊的对应，它具有：(2)(1) 方向

13、性：映射是有次序的，一般地从A 到映射与从B 到 A 的映射是不同的；唯一性：集合A 中的任意一个元素在集合都有唯一的元素与之对应，可以是：一对一，多对一，但不能一对多；B的B中1.3函数的基本性质1.3.1单调性与最大（小）值学习目标： 1.理解单调区间，单调性等概念；2. 会划分函数的单调区间，判断单调性；3. 会用定义证明函数的单调性；4. 理解函数的最大（小）值的概念及其几何意义，会借助单调性求最值；知识点： 1.函数的单调性相关概念：一般地，设函数f ( x) 的定义域为 I ：(1)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 , 当 x1x2 时，都有f

14、 (x1 )f ( x2 ) ，那么就说函数f (x) 在区间 D 上是增函数；(2)如果对于定义域I 内某个区间D 上的任意两个自变量的值 x1 , x2 , 当 x1x2 时，都有f (x1 )f (x2 ) ，那么就说函数f (x) 在区间 D 上是减函数；如果函数 yf (x) 在区间 D 上是增函数或减函数，那么就说函数yf (x) 在这一区间具有单调性，区间D 叫 yf (x) 做的单调区间；2. 函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时， 单调区间之间可用 “，”分开， 不能用 “” ，可以用“和”来表示；在单调区间 D 上

15、函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有；3.用定义判断或证明函数单调性： （ 1）取值：给定的区间上任意取x1 , x2 且 x1x2 ；（ 2）作差：作出 f ( x1 ) f ( x2 ) ；（ 3）变形：将式子 f ( x1 ) f ( x2 ) 进行变形转化为可判断正负号的式子；（ 4）定号：得出 f ( x1 ) f ( x2 ) 的正负号；（ 5）小结：根据正负号得出结论；对于函数值恒正( 或恒负 ) 的函数f ( x) ，证明单调性时，也可以作商f ( x1 ) 与 1f ( x2 )比较；4. 熟悉常见的一些单调性结论，包括一次函数，二次函数，反比例函数等。若f (x),

16、 g (x)都是增函数，h(x)是减函数，则在定义域的交集(非空)上f ( x)g(x)单调递增，f ( x)h(x) 单调递增，f (x) 单调递减；5. 函数的最大（小）值：一般地，设函数yf ( x) 的定义域为 I ,如果存在实数M ，满足：(1) 对于任意 x I , 都有 f ( x) M ；(2) 存在 x0 I , 使得 f ( x0 ) M ;那么，称 M 是函数 yf (x) 的最大值 .如果存在实数M 满足：（ 1）对于任意 x I , ，都有 f ( x) M ;（ 2）存在 x0 I , ，使得 f ( x0 ) M ,那么称 M 是函数 yf (x) 的最小值 .注

17、：1. 若函数 yf (x) 在区间 a,b 上单调递增，则f (x) 的最大值为f (b) ，最小值为f (a) ；2. 若函数 yf (x) 在区间 a,b 上单调递减，则f (x) 的最大值为f (a) ，最小值为f (b) ；3. 若函数 yf ( x) 有多个单调区间，那就先决出各区间上的最值，再从各区间的最值组成的集合中取最大或最小的值，函数的最大( 小 ) 值是整个值域范围内最大或最小；6. 函数的最值与值域、单调性之间的联系(1)对一个函数来说，其值域是确定的，但它不一定有最值，如函数y1 ;如果x有最值，则最值一定是值域中的一个元素；(2)若函数 f (x) 在闭区间 a,b

18、 上单调， 则 f (x) 的最值必在区间端点处取得. 即最大值是f (a)或f (b)，最小值是f (b)或f (a) ;1.3.2奇偶性学习目标： 1. 理解函数奇偶性的定义；2. 掌握函数奇偶性的判断和证明方法；3. 会应用奇、偶函数图象的对称性解决简单问题，求解不等式以及函数解析式；知识点： 1.奇偶函数的定义： (1)偶函数：如果对于函数f (x) 的定义域内任意一个 x ，都有f ( x)f (x) ，那么函数 f ( x) 就叫做偶函数。其实质是函数f (x) 上任一点 (x, f ( x) 关于 y 轴的对称点 ( x, f ( x) 也在 f (x) 图象上；(2) 奇函数：

19、如果对于函数f ( x) 的定义域内任意一个 x ，都有f ( x)f ( x) ，那么函数 f (x) 就叫做奇函数 . 其实质是函数f (x) 上任一点 (x, f ( x) 关于原点的对称点 ( x,f ( x) 也在 f (x) 图象上；2.奇偶函数的几何特征：一般地，偶函数的图象关于y 轴对称；奇函数的图象关于原点对称；3.奇偶函数定义域特征：判断函数奇偶性要注意定义域优先原则，即首先要看定义域是否关于原点对称；4. 奇偶函数的证明：（ 1）首先看定义域是否关于原点对称；（ 2）定义域内的任意一个x ，若函数满足f ( x)f (x) 则为偶函数；若函数满足f ( x)f ( x)

20、则为奇函数；5. 如果知道函数的奇偶性和一个区间 a, b 上的解析式，那么就可以设出关于原点对称区间 b, a 上任一点 (x, y) ，通过关于原点( 或 y 轴) 的对称点 (x, y)( 或 (x, y) ) 满足的关系式间接找到( x, y) 所满足的解析式；6.一般地， (1) 若奇函数f (x) 在 a, b 上是增函数，且有最大值M ，则 f (x) 在 b, a 上是增函数，且有最小值M ；(2) 若偶函数f (x) 在 (,0) 上是减函数，则f ( x) 在 ( 0,) 上是增函数；7.(1) 根据奇函数的定义，如果一个奇函数在原点处有定义，即 f (0) 有意义， 那么

21、一定有 f (0)0，有时可以用这个结论来否定一个函数为奇函数；(2) 偶函数的一个重要性质：f ( x )f (x) ，它能使自变量化归到0,) 上避免了分类讨论；8. 具有奇偶性的函数的单调性的特点：(1) 奇函数在 a,b 和 b, a 上具有相同的单调性；(2) 偶函数在 a,b 和 b, a 上具有相反的单调性；第二章 基本初等函数2.1指数函数2.1.1指数与指数幂的运算学习目标： 1. 理解 n 次方根、 n 次根式的概念；2. 正确运用根式运算性质化简、求值；知识点： 1. a 的 n 次方根定义：如果xna ，那么 x 叫做 a 的 n 次方根，其中n1 ，且nN ；2. a

22、 的 n 次方根表示：n 的奇偶性a 的n 次方根的表示符号a 的取值范围n 为奇数naa Rn 为偶数na0， )3. 根式：式子 n a 叫做根式，这里 n 叫做根指数， a 叫做被开方数4. 一般地，有： (1) n 0 0 (n N* ，且 n1)；(2)( n a)n a (n N* ，且 n1)；(3)n an a(n 为大于 1 的奇数 )；(4)n an |a|a a0的偶数 ).(n 为大于 1a a0注： 对于 n a ，当 n 为偶数时，要注意两点：（1）只有 a0 才有意义；（ 2）只要 n a 有意义， n a 必不为负；5. 我们规定正数的正分数指数幂的意义是：ma

23、 nn am (a0,m, nN * , n1)同样的，负分数指数幂有如下规定：m1m (a 0,m, n N * , n 1)a na n注： 0 的正分数指数幂等于0， 0 的负分数指数幂没有意义；(1)ar asar s (a0, r ,sR)6. 指数幂的运算性质： (2) ar sars (a0,r , s R)(3) ab rar br a0, r , sR2.1.2指数函数及其性质学习目标： 1. 理解指数函数的概念，了解对底数的限制条件的合理性；2. 掌握指数函数图象的性质；知识点： 1.指数函数的定义：一般地，函数y ax ( a0, a 1) 叫做指数函数，其中x 是自变量

24、，函数的定义域是R ；2.指数函数 y a x (a0,a 1) 的图象和性质：3.（ 1）判断一个函数是不是指数函数，关键是看解析式是否符合y ax (a 0, a 1)这一结构形式，即ax 的系数是1，指数是 x 且系数为1；（2）指数函数ya(a 0, a 1)的性质分底数a 1,0a1x两种情况， 但不论哪种情况，指数函数都是单调的；2.1对数函数2.1.1对数与对数运算学习目标： 1. 了解对数的概念；2. 会进行对数式与指数式的互化；3. 会求简单的对数值；4. 掌握积、商、幂的对数运算性质，理解其推导过程和成立条件；5. 掌握换底公式及其推论；6. 能熟练运用对数的运算性质进行化

25、简求值；知识点： 1. 对数的概念：如果a xN (a 0, a1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 xlog a N ，其中a 叫做对数的底数， N 叫做真数；2. 常用对数与自然对数：通常将以10 为底的对数叫做常用对数，以e 为底的对数称为自然对数，log10N可简记为lg N ， log eN 简记为ln N ；3. 一般地，有对数与指数的关系：若 a 0 且 a 1，则 a xN logaN x ；对数恒等式： a log a NN ;log a a xx(a 0, a 1) ；对数的性质：(1)1 的对数为零；(2)底的对数为1；(3)零和负数没有对数；.4.由于

26、对数式中的底数 a 就是指数式中的底数a ，所以 a 的取值范围为 a0 ，且a 1；由于在指数式中 a xN ，而 ax0，所以 N 0；5.对数概念与指数概念有关，指数式和对数式是互逆的，即abN loga N b(a 0, a 1, N 0), 据此可得两个常用恒等式：（ 1） log a abb;(2) alog a NN ；在关系式 a xN 中，已知 a 和 x 求 N 的运算称为求幂运算；而如果已知 a 和 N求 x 的运算就是对数运算，两个式子实质相同而形式不同，互为逆运算；6.一般地，如果 a0, a1, M0, N0, 那么：(1)log a (MN )log a Mlog

27、 a N ；(2)log aMlog a Mlog a N ;N(3)log a M nn log a M (nR)7. 换底公式： log a blog c b (a0, a1,b0,c0, c 1);log c a特别的： log a b logb a 1(a0,a1, b0,b1);8. （ 1）换底公式可完成不同底数的对数式之间的转化，可正用、逆用；使用的关键是恰当选择底数，换底的目的是利用对数的运算性质进行对数式的化简；（ 2）运用对数的运算性质应注意：在各对数有意义的前提下才能应用运算性质；根据不同的问题选择公式的正用或逆用；2.1.2 对数函数的性质学习目标： 1.理解对数函数的

28、概念；2.掌握对数函数的性质；3.了解对数函数在生产实际中的简单应用；知识点： 1. 对数函数的定义：一般地，我们把函数y log a x(a0, a1)叫做对数函数，其中 x 是自变量，函数的定义域是(0,) ；.2. 对数函数图象和性质：定义y log a x( a0, a 1)底数a 1a 1图象定义域(0,)值域R单调性在 (0,) 上是增函数在 (0,) 上是减函数共点性图象过点(1,0)，即 log a 10函数值特点(0,1)时 y(,0);x(0,1) 时 y( 0,);xx1,) 时 y0,);x1,) 时 y(,0;对称性函数 ylog a x 与 ylog 1x 的图象关

29、于 x 轴对称a3. 判断一个函数是否为对数函数的方法：判断一个函数是对数函数必须是形如ylog a x(a0,a1) 的形式，即必须满足以下条件：系数为1；底数为大于0 且不等于1 的常数；对数的真数仅有自变量x ；4. 对数大小的比较： 比较两个同底数的对数大小， 首先要根据对数底数来判断对数函数的增减性； 然后比较真数大小， 再利用对数函数的增减性判断两对数值的大小。 对于底数以字母形式出现的， 需要对底数 a 进行讨论；5.（ 1）在对数函数 ylog a x(a0, a1) 中，底数 a 对其图象的影响； 无论 a 取何值，对数函数yloga x(a0,a1) 的图象均过点 (1,0

30、) ，且由定义域的限制，函数图象穿过点(1,0) 落在第一、四象限，随着 a 的逐渐增大， y log a x(a 0, a 1) 的 图 象 绕 (1,0)点在第一象限由左向右顺时针排列，且当0 a 1时函数单调递减，当 a 1 时函数单调递增；（ 2）比较两个 ( 或多个 ) 对数的大小时，一看底数，底数相同的两个对数可直接利用对数函数的单调性来比较大小， 若“底”的范围不明确，则需分两种情况讨论； 二看真数， 底数不同但真数相同的两个对数可借助于图象， 或应用换底公式将其转化为同底的对数来比较大小； 三找中间值， 底数、真数均不相同的两个对数可选择适当的中间值 ( 如 1 或 0 等 )

31、 来比较。2.2幂函数学习目标： 1. 理解幂函数的概念；2. 学会以简单的幂函数为例研究函数性质的方法；3. 理解和掌握幂函数在第一象限的分类特征， 能运用数形结合的方法处理幂函数有关问题 .知识点： 1. 幂函数概念：一般地，函数yx 叫做幂函数，其中x 是自变量，是常数；2. 几个特殊的幂函数：y xy x2y x31y x 1y x2定义域RRR 0,)x | x0值域R 0,)R0,)y | y0奇偶性奇函数偶函数奇函数非奇非偶奇函数单调性在 0,) 上在 (0,)上增函数,0增函数增函数减；在 (,0)增；在 (上减上减根据上表，可以归纳一般幂函数特征：(1)所有的幂函数在 (0 ， ) 上都有定义，并且图象都过点(1,1) ；(2)0 时，幂函数的图象通过原点，并且在区间0 ， ) 上是增函数；