直线与方程知识点总结2推荐文档

1、直线与方程知识点总结一、直线基本知识1直线的倾斜角与斜率(1) 直线的倾斜角 关于倾斜角的概念要抓住三点：i .与x轴相交；ii .X轴正向；iii.直线向上方向. 直线与x轴平行或重合时，规定它的倾斜角为0. 倾斜角 的范围0180. 090 ,k 0 ；90180 ,k 0(2) 直线的斜率 直线的斜率就是直线倾斜角的正切值，而倾斜角为900的直线斜率不存在。 经过两点P (x1, yi), P2(x2, y2) ( x1 x2)的直线的斜率公式是k 业也(x1 x2)X2 X1 每条直线都有倾斜角，但并不是每条直线都有斜率。2、两条直线平行与垂直的判定(1) 两条直线平行对于两条不重合的

2、直线1(2，其斜率分别为K,k2，则有h/很 k1 k2。特别地，当直线11,1 2的斜率都不存在时，11与12的关系为平行。(2) 两条直线垂直如果两条直线11,12斜率存在，设为k1, k2，则11 12k1*21注：两条直线垂直的充要条件是斜率之积为-1，这句话不正确；由两直线的斜率之积为-1，可以得出两直线垂直，反过来，两直线垂直，斜率之积不一定为-1。如果11,12中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为0时，h与12互相垂直。二、直线的方程1、直线方程的几种形式名称方程的形式已知条件局限性点斜式y y1k(x xj(九yj为直线上一定点， k为斜率不包括垂直于x轴 的直线斜截式

3、y kx bk为斜率，b是直线在y 轴上的截距不包括垂直于x轴 的直线两点式yyixxiy2yiX2xi（其中 xiX2, yiy2）（xi, yi）, （X2, y2）是直线上两定点不包括垂直于X轴 和y轴的直线截距式X丄i a ba是直线在x轴上的非零 截距，b是直线在y轴上 的非零截距不包括垂直于X轴 和y轴或过原点的 直线一般式Ax By C 0（其中A, B不同时为0）A，B，C为系数无限制，可表示任 何位置的直线注：过两点R（x“ yj, P2（X2, y2）的直线是否一定可用两点式方程表示？（不一定。（1）若xi X2且yi y2，直线垂直于x轴，方程为x xi ；（2）若Xi

4、X2且yi y，直线垂直于y轴，方程为y yi ； （3）（ 3）若xi X2且yi y2，直线方程可用两点式表示）X X2% y222、线段的中点坐标公式x若两点P（Xi，yi）, P2（X2，y2），且线段P,P2的中点M的坐标为（x, y），则y3.过定点的直线系斜率为k且过定点（xoy。）的直线系方程为y yo k（x x）；过两条直线Ax By Ci 0, I2 : A2X B2y C20的交点的直线系方程为Ax Biy Ci （A2X B2y C2） 0（为参数），其中直线l 2不在直线系中三、直线的交点坐标与距离公式1. 两条直线的交点设两条直线的方程是h ： Ax By G 0

5、 , |2 : A2x B2y C2 0两条直线的交点坐标 就是方程组人乂 Biy Ci 0的解，Ax B2y C20若方程组有唯一解，则这两条直线相交，此解就是交点的坐标；若方程组无解，则两条直线无公共点，此时两条直线平行；反之，亦成立。2. 几种距离（i）两点间的距离平面上的两点 P1(x1, y1), P2(x2, y2)间的距离公式 P1 F2| J(x2 x1)2 ( y2 y1)2特别地，原点0(0,0)与任一点P(x,y)的距离OP Jx2屮(2) 点到直线的距离点P(xo, yo)到直线l: Ax By C 0的距离d 曲 By0 CJ A2 B2(3) 两条平行线间的距离两条

6、平行线l1 : Ax By C1 0, l2 : Ax By C2 0间的距离dC2 C1Q A B2(注意: 求点到直线的距离时，直线方程要化为一般式； 求两条平行线间的距离时，必须将两直线方程化为系数相同的一般形式后，才能 套用公式计算。)补充：1、直线的倾斜角与斜率(1)直线的倾斜角ft宵斜角0(0,和(討斜取值0不存在率增减性/递增递增(2).已知斜率k的范围，求倾斜角的范围时，若k为正数，则 的范围为(0,)2的子集，且k=tan 为增函数；若k为负数，贝U的范围为(，)的子集，且k=tan 为增2函数。若k的范围有正有负，则可所范围按大于等于0或小于0分为两部分，针对每一部分再根据

7、斜率的增减性求倾斜角范围。2、利用斜率证明三点共线的方法：已知 A(xi, yj B(X2, y2),C(X3, y3),若 x 沁 X3或kAB kAc，则有 A B、C三点共线。注：斜率变化分成两段，900是分界线，遇到斜率要谨记，存在与否需讨论。3. 两条直线位置关系的判定：已知 l1 : Ax By C10,l2 : AxBy C20,则:(1) l1 l2A1A2B1B20(2) I1/I2A1 B2 - A2 B10, A1C2A2C10;(3) ll2重合A1B2-A2B1 0，AC2 A2C1 0；(4) I1 与 l2 相交A1B2 A2B1 0如果A2B2C2 0时，贝U：

8、（i） li I2- ?A2iBiB2 h / |2BiCi（A2, B2, C2不为 0）；A2B2C2li与I2重合蛍BiCi,（A2, B2,C2不为 0）A2B2C2h与I2相交AiBi（A2, B2不为 0）A2B24.有关对称问题常见的对称问题：(i)中心对称若点M(Xi, yj及N(X2, y2)关于P(a,b)对称，则由中点坐标公式得x 2a xi y 2b yi直线关于点的对称，其主要方法是：在已知直线上取两点，利用中点坐标公式求出 它们关于已知点对称的两点坐标，再由两点式求出直线方程，或者求出一个对称点，再利 用ll /12，由点斜式得到所求直线方程。(2)轴对称点关于直线

9、的对称若两点R(xi，yj与P2(X2,y2)关于直线l : Ax By C 0对称，贝U线段RP?的中点在对称轴丨上，而且连接RP2的直线垂直于对称轴I上，由方程组A)b( C 022X2V2 yi?( A 1y2x2 x1B可得到点Pi关于I对称的点P2的坐标(X2,y2)(其中A 0,xi X2)直线关于直线的对称此类问题一般转化为点关于直线的对称来解决，有两种情况：一是已知直线与对称轴 相交；二是已知直线与对称轴平行。注：曲线、直线关于一直线y x b对称的解法：y换x , x换y.例：曲线f (x, y) 0 关于直线y x 2对称曲线方程是f(y 2,x 2) 0曲线C:f(x,y

10、) 0关于点(a,b)的对称曲线方程是f (2a x,2b y) 05. 两条直线的交角直线li到I2的角(方向角)；直线li到丨2的角，是指直线li绕交点依逆时针方向旋转到与12重合时所转动的角，它的范围是（0,），当90 时 tank2 ki1k k?两条相交直线11与12的夹角：两条相交直线11与12的夹角，是指由11与12相交所成的四个角中最小的正角，又称为11和I 2所成的角，它的取值范围是0,-，当 90，则看k2 k1有 tan .1 k1k26. 直线I上一动点P到两个定点A B的距离“最值问题”：（1）在直线1上求一点P,使PA PB取得最小值， 若点A、B位于直线I的同侧时

11、，作点 A （或点B ）关于I的对称点A或B/ , 连接A/B（或AB/）交I于P,则点P即为所求点. 若点A、B位于直线的异侧时，连接 AB交于I点P，则P为所求点。可简记为“同侧对称异侧连” 即两点位于直线的同侧时，作其中一个点的对称点；两点 位于直线的异侧时，直接连接两点即可（2）在直线I上求一点P使PA |PB取得最大值， 方法与（1）恰好相反，即“异侧对称同侧连” 若点A、B位于直线I的同侧时，连接AB交于I点P，则P为所求点。 若点A、B位于直线的异侧时，作点A （或点B ）关于I的对称点A或B/ ,连接A/B（或AB/）交I于P,则点P即为所求点.2 2|PA |PB的最值：函数

12、思想“转换成一元二次函数，找对称轴”。7. 直线过定点问题：含有一个未知参数，y （a 1）x 2a 1y a（x 2） x 1（ 1）令 x 2 0 x 2，将x 2代入（1）式，得y 3，从而该直线过定点（2,3）含有两个未知参数m(3x y) n( x 2y 1)0（3m n）x （m 2n ）y n 01 Oy y 2 XX 3从而该直线必过定点（丄,3）7 78点到几种特殊直线的距离（1）点 P（xo,y。）到 x 轴的距离 d |y|。（2） 点P（xo,yo）到y轴的距离d | Xo |.（3） 点P（xo, yo）到与x轴平行的直线y=a的距离d | y a|。（4） 点P（xo,y）到与y轴平行的直线x=b的距离d |xo a|.9.与已知直线平行的直线系有：（1）平行于直线Ax By C 0的直线可表示为Ax By C 0（C/ C）（2）平行于直线y kx b的所有直线为y kx b/（b/ b）10.易错辨析：（1）讨论斜率的存在性：解题过程中用到斜率，一定要分类讨论： 斜率不存