2019年高考数学25个必考点专题21抛物线检测

1、专题 21 抛物线一、基础过关题1. （2018 全国卷 III ）已知点 和抛物线 ，过 的焦点且斜率为 的直线与 交于 ， 两点若 ，则 _【答案】【解析】依题意得，抛物线 的焦点为 ，故可设直线 ，联立 消去 得 ，设 ， ，则 ， ， ，. 又 ， ， .2(2017 昆明调研 ) 已知抛物线 C的顶点是原点 O，焦点 F在 x 轴的正半轴上，经过 F的直线与抛物线 C交于 A、B两点，如果 12，那么抛物线 C的方程为 ( )Ax28y Bx24y2 2Cy 8x Dy 4x【答案】 C3已知抛物线 y22px( p0) ，过其焦点且斜率为 1 的直线交抛物线于 A、B两点，若线段A

2、B的中点的纵坐标为 2，则该抛物线的准线方程为 ( )Ax1 B x1 C x2 D x 2【答案】 Bp2【解析】 y 2px( p0) 的焦点坐标为 ( 2，0) ，p 过焦点且斜率为 1 的直线方程为 yx 2，p即 xy2，将其代入 y22px，得 y22pyp2，2 2即 y 2pyp 0. 设 A( x1，y1) ，B( x2，y2) ，y1y2则 y1y22p， 2 p2，2抛物线的方程为 y 4x，其准线方程为 x1.y1y2 4已知抛物线 y 1，y1) ，B( x2，y2) ，则x1x222px( p0)的焦点弦 AB的两端点坐标分别为 A( x的值一定等于 ( )2 D

3、p2A4 B 4 C p【答案】 A25. 如图， 过抛物线 y 2px( p0)的焦点 F的直线交抛物线于点 A、B，交其准线 l 于点 C，若| BC| 2| BF| ，且| AF| 3，则此抛物线的方程为 ( )Ay29xBy26x2Cy 3x2Dy x【答案】 C【解析】 如图，分别过 A、B作 AA1l 于 A1，BB1l 于 B1，|PF|26抛物线 y 4x 的焦点为 F，点 P( x，y) 为该抛物线上的动点，若点 A( 1,0) ，则 |PA|的最小值是 ( )1A.2B.223C.2D.32【答案】 B2【解析】 抛物线 y 4x 的准线方程为 x1，如图，过 P作 PN垂

4、直直线 x1 于 N，由抛物线的定义可知 | P F| | PN| ，连接 PA，|PN|在 RtPAN中，sin PAN|PA|，|PN|当 |PA|PF|PA|最小时， sin PAN最小，即 PAN最小，即 PAF最大，此时， P A为抛物线的切线，设 PA的方程为 yk( x1) ，yk(x 1，联立 y24x，得 k (2 k 4) xk 0， 2x2 22x2 222所以 (2 k 4)2 44k 0，解得 k 1，所以 PAFNPA45 ，|PF|PA|PN|PA|2cos NPA2，故选 B.27设 F 为抛物线 C：y 3x 的焦点，过 F 且倾斜角为 30 的直线交 C于

5、A，B两点，则 | AB|_.【答案】 1228已知抛物线 C：y 2px( p0) 的准线为 l ，过 M(1,0) 且斜率为的直线与 l 相交于点 A，与C的一个交点为 B，若，则 p_.【答案】 2【解析】 如图， 由 AB的斜率为，知 60 ，又， M为 AB的中点过点 B作 BP垂直准线 l 于点 P，则ABP60 ， BAP30 ，1| BP| 2| AB| | BM|.pM为焦点，即 21， p2.129已知椭圆 E的中心在坐标原点， 离心率为 2，E的右焦点与抛物线 C：y 8x 的焦点重合，A，B是 C的准线与 E的两个交点，则 | AB| _.【答案】 62【解析】 抛物线

6、 y 8x 的焦点为 (2,0) ，准线方程为 x2.x2 y2 c 1 设椭圆方程为 a2b21( ab0) ，由题意， c2，a2，2 可得 a4，b16412.x2 y2 故椭圆方程为 16121.把 x 2 代入椭圆方程，解得 y 3. 从而 | AB| 6.210(2016 沈阳模拟 ) 已知过抛物线 y 2px( p0) 的焦点，斜率为 2 的直线交抛物线于 A( x1，y1) ，B( x2，y2)( x10) 的焦点为 F，点 M在 C上，| MF| 5，若以 MF为直径的圆过点 (0,2) ，则抛物线 C的方程为 ( )2 2 2 2Ay 4x 或 y 8x B y 2x 或

7、y 8x2 2 2 2Cy 4x 或 y 16x Dy 2x 或 y 16x【答案】 C22. 设直线 l 与抛物线 y 4x 相交于 A，B两点，与圆 ( x5)2 2y r2( r 0) 相切于点 M，且 M为线段 A B的中点若这样的直线 l 恰有 4 条，则 r 的取值范围是 _【答案】 (2,4)【解析】 如图，设 A( x1，y1) ，B( x2，y2) ，M( x0，y0) ，2则4x2，两式相减得， ( y1y2)( y1y2) 4( x1x2) 当 l 的斜率 k 不存在时，符合条件的直线 l 必有两条23设P，Q是抛物线y2px(p0)上相异两点，P，Q到y 轴的距离的积为

8、4，且 0.(1) 求该抛物线的标准方程；(2) 过点 Q的直线与抛物线的另一交点为 R，与 x 轴的交点为 T，且 Q为线段 RT的中点，试求弦 P R长度的最小值【答案】 (1) 该抛物线的方程为 y22x；(2) | PR| 最小值为 4.【解析】 (1) 设 P( x1，y1) ，Q( x2，y2) ， 0，则 x1x2y1y20.2 2又点 P，Q在抛物线上， y12px1，y22px2，代入得 1 2y1y20，(y1y2 22， | x 2. y1y2 4p 1x2| 4p2 4p又| x1x2| 4， 4p24，p1，抛物线的标准方程为y22x.(2)设直线PQ过点 E( a,

9、 0) 且方程为xmya，xmya， y1y22m， 联立方程组y22x， 消去 x 得 y 22my2a 0， y1y2 2a，设直线PR与 x轴交于点 M( b,0) ，则可设直线P R的方程为xny b，并设R( x3，y3) ，同理可知，y1y32n，y1y3 2b， y3 b 由可得 y2 a.由题意得， Q为线段 RT的中点， y32y2， b2a.又由 (1) 知， y1y2 4，代入，可得 2a 4， a2， b4，y1y3 8，| PR| | y1y3| 2 4.当 n0，即直线PR垂直于 x轴时， | PR| 取最小值4.4. 如图，由部分抛物线： y 2mx1( m0，x

10、 0) 和半圆x2y2 r2mx1( m0，x 0) 和半圆x2y2 r2( x 0) 所组成的曲线称为1 3 “黄金抛物线C”，若“黄金抛物线C”经过点 (3,2) 和( 2， 2) (1) 求“黄金抛物线C”的方程；(2)设P(0,1) 和 Q(0 ， 1) ，过点 P作直线l 与“黄金抛物线C”相交于 A，P，B三点，问是否存在这样的直线l ，使得 Q P平分 AQB？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，说明理由【答案】 (1) 黄金抛物线C的方程为y2 x1( x 0) 和 x2y21( x 0) ； (2) 存在直线l ：y( 1) x 1，使得 Q P平分 AQB.(2) 假设存

11、在这样的直线l ，使得 Q P平分 AQB，显然直线l 的斜率存在且不为0，ykx1， 设直线l ：ykx1，联立 y2x1， 消去 y，12k 1k 12k 1k k 2x2 (2 k 1) x0， x得 k B k2 ，yB k ，即 B( k2 ， k ) ， kBQ12k，ykx1，联立 x2y21， 消去 y，得 ( k21) x22kx0，2k 1k2 2k 1k2 1 xA k21， yA k21 ，即 A( k21， k21 ) ， kAQ k，QP平分 AQB， kA QkBQ0，k 112kk0，解得 k1，由图形可得 k 1应舍去， k 1，存在直线l ：y(1) x1，

12、使得 Q P平分 AQB.5. （2018 高考北京卷 19）已知抛物线C： =2px经过点 （ 1，2）过点 Q（0，1）的直线 l 与抛物线 C有两个不同的交点 A，B，且直线 P A交 y 轴于 M，直线 PB交 y 轴于 N（）求直线 l 的斜率的取值范围；（）设 O为原点， ， ，求证： 为定值（）设 A（x1，y1），B（x2，y2）由（I ）知 ， 直线 PA的方程为 y2= 令 x=0，得点 M的纵坐标为 同理得点 N的纵坐标为 由 ， 得 ， 所以所以 为定值6（2018 高考浙江卷 21）如图，已知点 P是 y 轴左侧 ( 不含 y 轴) 一点，抛物线 C：y2=4x 上存