北师大版 初二数学八年级上册《第1章菱形的性质与判定》单元测试题含答案解析VIP

1、第 1 章 菱形的性质与判定一、选择题1菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）a对边相等 b对角相等c对角线互相平分 d对角线互相垂直2如图，菱形 abcd 的周长为 24cm，对角线 ac、bd 相交于 o 点，e 是 ad 的中点，连接 oe，则线段 oe 的长等于（ ）a3cm b4cm c2.5cm d2cm3如图，四边形 abcd 的四边相等，且面积为 120cm2，对角线 ac=24cm，则四边形 abcd 的周长为（ ）a52cm b40cm c39cm d26cm4如图，在 abcd 中，对角线 ac 与 bd 交于点 o，若增加一个条件，使 abcd 成为菱形，下列给

2、出的条件不正确的是（ ）aab=ad bacbd cac=bd dbac=dac5如图，菱形 abcd 中，b=60，ab=2cm，e、f 分别是 bc、cd 的中点，连接 ae、ef、af， aef 的周长为（ ）第 1 页（共 27 页）a2 cm b3 cm c4 cm d3cm6如图，在菱形 abcd 中，对角线 ac 与 bd 相交于点 o，若 ab=2，abc=60，则 bd 的长为（ ）a2 b3 c d27如图，在菱形 abcd 中，ac=8，bd=6，则abd 的周长等于（ ）a18 b16 c15 d148某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为 2.5m）围成的花坛

3、，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草 坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）a20m b25m c30m d35m9如图，将abc 沿 bc 方向平移得到dce，连接 ad，下列条件能够判定四边形 aced 为菱形的是 （ ）aab=bc bac=bc cb=60 dacb=6010如图，四边形 abcd 是菱形，ac=8，db=6，dhab 于 h，则 dh 等于（ ）第 2 页（共 27 页）a b c5 d4二、填空题11如图，在菱形 abcd 中，对角线 ac=6，bd=10，则菱形 abcd 的面积为 12如图，在菱形

4、 abcd 中，ab=4，线段 ad 的垂直平分线交 ac 于点 n，cnd 的周长是 10，则 ac 的长为 13如图，平行四边形 abcd 的对角线 ac，bd 相交于点 o，请你添加一个适当的条件 菱形（只填一个即可）使其成为14如图，将两张长为 9，宽为 3 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条 垂直时，菱形的面积有最小值 9，那么菱形面积的最大值是 15如图，在菱形 abcd 中，对角线 ac 与 bd 相交于点 o，ac=8，bd=6，oebc，垂足为点 e，则 oe= 第 3 页（共 27 页）16菱形 abcd 的对角线 ac，bd 相交于点 o，e，f 分

5、别是 ad，cd 边上的中点，连接 ef若 ef= bd=2，则菱形 abcd 的面积为 ，17 在菱形 abcd 中，a=30，在同一平面内，以对角线 bd 为底边作顶角为 120的等腰三角形 bde，则ebc 的度数为 18 如图，菱形 abcd 中，ab=4，b=60，e，f 分别是 bc，dc 上的点，eaf=60，连接 ef，则aef 的面积最小值是 三、解答题19已知：如图，在菱形 abcd 中，点 e、f 分别为边 cd、ad 的中点，连接 ae，cf，求证 ade cdf20如图，四边形 abcd 是菱形，ceab 交 ab 的延长线于点 e，cfad 交 ad 的延长线于点

6、f，求证： df=be第 4 页（共 27 页）21如图，abcabd，点 e 在边 ab 上，cebd，连接 de求证： （1）ceb=cbe；（2）四边形 bced 是菱形22如图，在abc 中，acb=90，d，e 分别为 ac，ab 的中点，bfce 交 de 的延长线于点 f （1）求证：四边形 ecbf 是平行四边形；（2）当a=30时，求证：四边形 ecbf 是菱形23如图，aebf，ac 平分bae，且交 bf 于点 c，bd 平分abf，且交 ae 于点 d，ac 与 bd 相交 于点 o，连接 cd（1） 求aod 的度数；（2） 求证：四边形 abcd 是菱形24如图，在

7、 abcd 中，bc=2ab=4，点 e、f 分别是 bc、ad 的中点 （1）求证：abecdf；（2）当四边形 aecf 为菱形时，求出该菱形的面积第 5 页（共 27 页）第 6 页（共 27 页）第 1 章 菱形的性质与判定参考答案与试题解析一、选择题1菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是（ ）a对边相等 b对角相等c对角线互相平分 d对角线互相垂直【考点】菱形的性质；平行四边形的性质【分析】由菱形的性质可得：菱形的对角线互相平分且垂直；而平行四边形的对角线互相平分；则 可求得答案【解答】解：菱形具有的性质：对边相等，对角相等，对角线互相平分，对角线互相垂直； 平行四边形具有的性质：

8、对边相等，对角相等，对角线互相平分；菱形具有而一般平行四边形不具有的性质是：对角线互相垂直故选 d【点评】此题考查了菱形的性质以及平行四边形的性质注意菱形的对角线互相平分且垂直2如图，菱形 abcd 的周长为 24cm，对角线 ac、bd 相交于 o 点，e 是 ad 的中点，连接 oe，则线段 oe 的长等于（ ）a3cm b4cm c2.5cmd2cm【考点】菱形的性质【分析】根据菱形的四条边都相等求出 ab，再根据菱形的对角线互相平分可得 ob=od，然后判断出oe 是abd 的中位线，再根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半可得 oe= ab 【解答】解：菱形 abcd 的

9、周长为 24cm，ab=244=6cm，对角线 ac、bd 相交于 o 点，第 7 页（共 27 页）ob=od，e 是 ad 的中点，oe 是abd 的中位线，oe= ab= 6=3cm故选 a【点评】本题考查了菱形的对角线互相平分，三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半， 熟记定理和性质是解题的关键3如图，四边形 abcd 的四边相等，且面积为 120cm2，对角线 ac=24cm，则四边形 abcd 的周长为（ ）a52cm b40cm c39cm d26cm【考点】菱形的判定与性质【分析】可定四边形 abcd 为菱形，连接 ac、bd 相交于点 o，则可求得 bd 的长，在 a

10、ob 中，利 用勾股定理可求得 ab 的长，从而可求得四边形 abcd 的周长【解答】解：如图，连接 ac、bd 相交于点 o，四边形 abcd 的四边相等，四边形 abcd 为菱形，acbd，s= ac bd，四边形 abcd 24bd=120，解得 bd=10cm，第 8 页（共 27 页）oa=12cm，ob=5cm，在 aob 中，由勾股定理可得 ab=13（cm），四边形 abcd 的周长=413=52（cm），故选 a【点评】本题主要考查菱形的判定和性质，掌握菱形的面积分式是解题的关键，注意勾股定理的应 用4如图，在 abcd 中，对角线 ac 与 bd 交于点 o，若增加一个条件

11、，使 abcd 成为菱形，下列给 出的条件不正确的是（ ）aab=ad bacbd cac=bd dbac=dac【考点】菱形的判定；平行四边形的性质【分析】根据菱形的定义和判定定理即可作出判断【解答】解：a、根据菱形的定义可得，当 ab=ad 时 abcd 是菱形；b、 根据对角线互相垂直的平行四边形是菱形即可判断， abcd 是菱形；c、 对角线相等的平行四边形是矩形，不一定是菱形，命题错误；d、 bac=dac 时， abcd 中，adbc，acb=dac，bac=acb，ab=ac， abcd 是菱形bac=dac故命题正确故选 c【点评】本题考查了菱形的判定定理，正确记忆定义和判定定

12、理是关键5如图，菱形 abcd 中，b=60，ab=2cm，e、f 分别是 bc、cd 的中点，连接 ae、ef、af， aef 的周长为（ ）第 9 页（共 27 页）a2 cm b3 cm c4 cm d3cm【考点】菱形的性质；三角形的角平分线、中线和高；勾股定理【分析】首先根据菱形的性质证明abeadf，然后连接 ac 可推出abc 以 acd 为等边三角形根据等腰三角形三线合一的定理又可推出aef 是等边三角形根据勾股定理可求出 ae 的长继 而求出周长【解答】解：四边形 abcd 是菱形，ab=ad=bc=cd，b=d，e、f 分别是 bc、cd 的中点，be=df，在abe 和a

13、df 中，abeadf（sas），ae=af，bae=daf连接 ac，b=d=60，abc 与acd 是等边三角形，aebc，afcd（等腰三角形底边上的中线与底边上的高线重合）， bae=daf=30，eaf=60，aef 是等边三角形ae= cm，周长是 3故选 bcm第 10 页（共 27 页）【点评】此题考查的知识点：菱形的性质、等边三角形的判定和三角形中位线定理6如图，在菱形 abcd 中，对角线 ac 与 bd 相交于点 o，若 ab=2，abc=60，则 bd 的长为（ ）a2 b3 c d2【考点】菱形的性质【分析】首先根据菱形的性质知 ac 垂直平分 bd，再证出abc 是

14、正三角形，由三角函数求出 bo， 即可求出 bd 的长【解答】解：四边形 abcd 菱形，acbd，bd=2bo，abc=60，abc 是正三角形，bao=60，bo=sin60 ab=2bd=2 故选：d= ，【点评】本题主要考查解直角三角形和菱形的性质的知识点，解答本题的关键是熟记菱形的对角线 垂直平分，本题难度一般7如图，在菱形 abcd 中，ac=8，bd=6，则abd 的周长等于（ ）第 11 页（共 27 页）a18 b16 c15 d14【考点】菱形的性质；勾股定理【分析】根据菱形对角线互相垂直平分的性质，可以求得 bo=od，ao=oc，在 aod 中，根据勾股 定理可以求得

15、ab 的长，进而abd 的周长【解答】解：菱形对角线互相垂直平分，bo=od=3，ao=oc=4，ab=5，abd 的周长等于 5+5+6=16，故选 b【点评】本题考查了菱形面积的计算，考查了勾股定理在直角三角形中的运用，考查了菱形各边长 相等的性质，本题中根据勾股定理计算 ab 的长是解题的关键8某校的校园内有一个由两个相同的正六边形（边长为 2.5m）围成的花坛，如图中的阴影部分所示，校方先要将这个花坛在原有的基础上扩建成一个菱形区域如图所示，并在新扩充的部分种上草 坪，则扩建后菱形区域的周长为（ ）a20m b25m c30m d35m【考点】菱形的性质【专题】应用题【分析】根据题意和

16、正六边形的性质得出bmg 是等边三角形，再根据正六边形的边长得出bg=gm=2.5m，同理可证出 af=ef=2.5m，再根据 ab=bg+gf+af，求出 ab，从而得出扩建后菱形区域的 周长【解答】解：如图，花坛是由两个相同的正六边形围成，fgm=gmn=120，gm=gf=ef，bmg=bgm=60，第 12 页（共 27 页）bmg 是等边三角形，bg=gm=2.5（m），同理可证：af=ef=2.5（m）ab=bg+gf+af=2.53=7.5（m），扩建后菱形区域的周长为 7.54=30（m）， 故选：c【点评】此题考查了菱形的性质，用到的知识点是等边三角形的判定与性质、菱形的性质

17、和正六边 形的性质，关键是根据题意作出辅助线，找出等边三角形9如图，将abc 沿 bc 方向平移得到dce，连接 ad，下列条件能够判定四边形 aced 为菱形的是 （ ）aab=bc bac=bc cb=60 dacb=60 【考点】菱形的判定；平移的性质【分析】首先根据平移的性质得出 abcd，得出四边形 abcd 为平行四边形，进而利用菱形的判定得出答案【解答】解：将abc 沿 bc 方向平移得到dce，ab cd，四边形 abcd 为平行四边形，当 ac=bc 时，平行四边形 aced 是菱形故选：b【点评】此题主要考查了平移的性质和平行四边形的判定和菱形的判定，得出 ab第 13 页

18、（共 27 页）cd 是解题关键10如图，四边形 abcd 是菱形，ac=8，db=6，dhab 于 h，则 dh 等于（ ）a b c5 d4【考点】菱形的性质【分析】根据菱形性质求出 ao=4，ob=3，aob=90，根据勾股定理求出 ab，再根据菱形的面积公 式求出即可【解答】解：四边形 abcd 是菱形，ao=oc，bo=od，acbd， ac=8，db=6，ao=4，ob=3，aob=90，由勾股定理得：ab= s=菱形 abcddh= ，故选 a，=5，【点评】本题考查了勾股定理和菱形的性质的应用，能根据菱形的性质得出 s菱形abcd=是解此题的关键二、填空题11如图，在菱形 ab

19、cd 中，对角线 ac=6，bd=10，则菱形 abcd 的面积为 30 第 14 页（共 27 页）【考点】菱形的性质【分析】由在菱形 abcd 中，对角线 ac=6，bd=10，根据菱形的面积等于对角线积的一半，即可求得 答案【解答】解：在菱形 abcd 中，对角线 ac=6，bd=10，菱形 abcd 的面积为： ac bd=30故答案为：30【点评】此题考查了菱形的性质注意菱形的面积等于对角线积的一半12如图，在菱形 abcd 中，ab=4，线段 ad 的垂直平分线交 ac 于点 n，cnd 的周长是 10，则 ac 的长为 6 【考点】菱形的性质；线段垂直平分线的性质【分析】由菱形性

20、质 ac=cd=4，根据中垂线性质可得 dn=an，继而 cnd 的周长是 10 可得 cd+cn+dn=cd+cn+an=cd+ac【解答】解：如图，四边形 abcd 是菱形，ab=4， ab=cd=4，mn 垂直平分 ad，dn=an，第 15 页（共 27 页）cnd 的周长是 10，cd+cn+dn=cd+cn+an=cd+ac=10，ac=6，故答案为：6【点评】本题主要考查菱形的性质和中垂线的性质，熟练掌握菱形的四边相等及中垂线上的点到线 段两端的距离相等是关键13如图，平行四边形 abcd 的对角线 ac，bd 相交于点 o，请你添加一个适当的条件 acbd 或 aob=90或

21、ab=bc 使其成为菱形（只填一个即可）【考点】菱形的判定；平行四边形的性质【专题】计算题；矩形 菱形 正方形【分析】利用菱形的判定方法确定出适当的条件即可【解答】解：如图，平行四边形 abcd 的对角线 ac，bd 相交于点 o，添加一个适当的条件为：ac bd 或aob=90或 ab=bc 使其成为菱形故答案为：acbd 或aob=90或 ab=bc【点评】此题考查了菱形的判定，以及平行四边形的性质，熟练掌握菱形的判定方法是解本题的关 键14如图，将两张长为 9，宽为 3 的矩形纸条交叉，使重叠部分是一个菱形，容易知道当两张纸条 垂直时，菱形的面积有最小值 9，那么菱形面积的最大值是 15

22、 【考点】菱形的性质【分析】当两张纸条如图所示放置时，菱形面积最大，然后根据勾股定理求出菱形的边长，然后根 据菱形的面积公式计算即可第 16 页（共 27 页）【解答】解：如图，此时菱形 abcd 的面积最大设 ab=x，eb=9x，ae=3，则由勾股定理得到：32+（9x）2=x2，解得 x=5，s最大=53=15；故答案为：15【点评】本题考查了菱形的性质，难度较大，解答关键是怎样放置纸条使得到的菱形的面积最大和 最小，然后根据图形列方程15如图，在菱形abcd 中，对角线 ac 与 bd 相交于点 o，ac=8，bd=6，oebc，垂足为点 e，则 oe= 【考点】菱形的性质【专题】计算

23、题【分析】先根据菱形的性质得 acbd，ob=od= bd=3，oa=oc= ac=4，再在 obc 中利用勾股定 理计算出 bc=5，然后利用面积法计算 oe 的长【解答】解：四边形 abcd 为菱形，acbd，ob=od= bd=3，oa=oc= ac=4，在 obc 中，ob=3，oc=4，bc=oebc，=5，第 17 页（共 27 页） oebc= oboc，oe=故答案为=【点评】本题考查了菱形的性质：菱形具有平行四边形的一切性质；菱形的四条边都相等；菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角也考查了勾股定理和三角形面积公式16菱形 abcd 的对角线 ac，bd 相交

24、于点 o，e，f 分别是 ad，cd 边上的中点，连接 ef若 ef= bd=2，则菱形 abcd 的面积为 2 ，【考点】菱形的性质；三角形中位线定理【分析】根据 ef 是acd 的中位线，根据三角形中位线定理求的 ac 的长，然后根据菱形的面积公 式求解【解答】解：e、f 分别是 ad，cd 边上的中点，即 ef 是acd 的中位线，ac=2ef=2 ，则 s= acbd= 2 菱形 abcd2=2 故答案是：2 【点评】本题考查了三角形的中位线定理和菱形的面积公式，理解中位线定理求的 ac 的长是关键17在菱形 abcd 中，a=30，在同一平面内，以对角线 bd 为底边作顶角为 120

25、的等腰三角形 bde，则ebc 的度数为 45或 105 【考点】菱形的性质；等腰三角形的性质【分析】如图当点 e 在 bd 右侧时，求出ebd，dbc 即可解决问题，当点 e 在 bd 左侧时，求出 dbe即可解决问题【解答】解：如图，四边形 abcd 是菱形，ab=ad=bc=cd，a=c=30，第 18 页（共 27 页）abc=adc=150，dba=dbc=75，ed=eb，deb=120，ebd=edb=30，ebc=ebd+dbc=105，当点 e在 bd 右侧时，dbe=30，ebc=dbcdbe=45， ebc=105或 45，故答案为 105或 45【点评】本题考查菱形的性

26、质、等腰三角形的性质等知识，解题的关键是正确画出图形，考虑问题 要全面，属于中考常考题型18如图，菱形 abcd 中，ab=4，b=60，e，f 分别是 bc，dc 上的点，eaf=60，连接 ef，则aef 的面积最小值是 3 【考点】菱形的性质【分析】首先由abc 是等边三角形，即可得 ab=ac，以求得acf=b=60，然后利用平行线与三角形外角的性质，可求得aeb=afc，证得aebafc，即可得 ae=af，证得aef 是等边三角 形，当 aebc 时得出aef 的面积最小值即可【解答】解：当 aebc 时，abc 是等边三角形，ab=ac，acb=60，b=acf=60，adbc，

27、第 19 页（共 27 页）aeb=ead=eaf+fad=60+fad， afc=d+fad=60+fad，aeb=afc，在abe 和acf 中，abeacf（aas），ae=af，eaf=60，aef 是等边三角形，当 aebc 时，ab=4，ae= ，aef 的面积最小值=，故答案为： 【点评】此题考查了菱形的性质，关键是根据等边三角形的判定与性质、全等三角形的判定与性质 解答三、解答题19已知：如图，在菱形 abcd 中，点 e、f 分别为边 cd、ad 的中点，连接 ae，cf，求证 ade cdf【考点】菱形的性质；全等三角形的判定【专题】证明题【分析】由菱形的性质得出 ad=c

28、d，由中点的定义证出 de=df，由 sas 证 adecdf 即可 【解答】证明：四边形 abcd 是菱形，ad=cd，点 e、f 分别为边 cd、ad 的中点，ad=2df，cd=2de，第 20 页（共 27 页）de=df，在ade 和cdf 中，adecdf（sas）【点评】此题主要考查了全等三角形的判定、菱形的性质；熟练掌握菱形的性质，证明三角形全等 是解决问题的关键20如图，四边形 abcd 是菱形，ceab 交 ab 的延长线于点 e，cfad 交 ad 的延长线于点 f，求证： df=be【考点】菱形的性质；全等三角形的判定与性质【专题】证明题【分析】连接 ac，根据菱形的性

29、质可得 ac 平分dae，cd=bc，再根据角平分线的性质可得 ce=fc， 然后利用 hl 证明 cdfrtcbe，即可得出 df=be【解答】证明：连接 ac，四边形 abcd 是菱形，ac 平分dae，cd=bc，ceab，cfad，ce=fc，cfd=ceb=90在 cdf 与 cbe 中，rtcdf cbe（hl），df=be第 21 页（共 27 页）【点评】此题考查了菱形的性质，角平分线的性质，关键是掌握菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角；角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等同时考 查了全等三角形的判定与性质21如图，abcabd，点 e 在边

30、 ab 上，cebd，连接 de求证：（1） ceb=cbe；（2） 四边形 bced 是菱形【考点】菱形的判定；全等三角形的性质【专题】证明题【分析】（1）欲证明ceb=cbe，只要证明ceb=abd，cbe=abd 即可 （2）先证明四边形 cedb 是平行四边形，再根据 bc=bd 即可判定【解答】证明；（1）abcabd，abc=abd，cebd，ceb=dbe，ceb=cbe（2）abcabd，bc=bd，ceb=cbe，ce=cb，ce=bdcebd，第 22 页（共 27 页）四边形 cedb 是平行四边形， bc=bd，四边形 cedb 是菱形【点评】本题考查全等三角形的性质、

31、菱形的判定、平行四边形的判定等知识，熟练掌握全等三角 形的性质是解题的关键，记住平行四边形、菱形的判定方法，属于中考常考题型22如图，在abc 中，acb=90，d，e 分别为 ac，ab 的中点，bfce 交 de 的延长线于点 f （1）求证：四边形 ecbf 是平行四边形；（2）当a=30时，求证：四边形 ecbf 是菱形【考点】菱形的判定；含 30 度角的直角三角形；平行四边形的判定与性质 【分析】（1）利用平行四边形的判定证明即可；（2）利用菱形的判定证明即可【解答】证明：（1）d，e 分别为边 ac，ab 的中点，debc，即 efbc又bfce，四边形 ecbf 是平行四边形（2）acb=90，a=30，e 为 ab 的中点，cb= ab，ce= abcb=ce又由（1）知，四边形 ecbf 是平行四边形，四边形 ecbf 是菱形第 23 页（共 27 页）【点评】此题主要考查了平行四边形的判定以及菱形的判定与性质，利用平行四边形的判定以及菱 形的判定是解题关键23如图，aebf，ac 平分bae，且交 bf 于点 c，bd 平分abf，且交 ae 于点 d，ac 与 bd 相交 于点 o，连接 cd（1） 求aod 的度数；（2） 求证：四边形 abcd 是菱形【考点】菱形的判定【分析】（1）首先根据角平分线的性质得到dac=bac，ab