【试卷】2019年广东省深圳市高考数学一模试卷(理科)_fd9d11dba0264367a53e59bb0d046e1f

1、2nn53 4n2019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1（5 分）复数 zi（2+i）的共轭复数是（ ）a1+2i b12i c1+2id12i2（5 分）已知集合 ax|ylg（2x），bx|x 3x0，则 ab（ ）ax|0x2 bx|0x2 cx|2x3 dx|2x33 （5分）设 s 为等差数列a 的前 n 项和若 s 25，a +a 8，则a 的公差为（ ） a2 b1 c1 d24 （5 分）己知某产品的销售额 y 与广告费用 x 之间的关系如表：x （单位：万元）y （

2、单位：万元）010115220330435若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为 6 万元时的销售额为（ ）a42 万元b45 万元c48 万元d51 万元5（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱 锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）a646（5 分）己知直线b68是函数 f（x）c80 d109与的图象的一条对称轴，为了得到函数 yf（x）的图象，可把函数 ysin2x 的图象（ ）a 向左平行移动b 向右平行移动c 向左平行移动个单位长度个单位长度个单位长度第 1 页（共 26 页）212d向右平行移动个单位长度7（5分）在abc 中

3、，abc60，bc2ab2，e 为 ac 的中点，则a2 bl c0 dl（ ）8（5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 ab2，过点 b 作 ab 的垂线，并用圆规在垂线上截取 bc ab，连接 ac；（2）以 c 为圆心，bc 为半径画弧，交 ac于点 d；（3）以 a 为圆心，以 ad 为半径画弧，交 ab 于点 e则点 e 即为线段 ab 的黄金分割点若在线段 ab 上随机取一点 f，则使得 beafae 的概率约为（ ）（参考数据：2.236）a0.236 b0.382 c0.472 d0.

4、6189（5分）已知偶函数 f（x）的图象经过点（一 1，2），且当0ab 时，不等式 0 恒成立，则使得 f（xl）2 成立的 x 的取值范困是（ ）a（0，2）c（，0）（2，+）10（5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线b（一 2，0）d（，一 2）（0，+）交于 a，b 两点，以 ab 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 f，若abf 的面积为 4a ，则双曲线的离心 率为（ ）abc2 d11（5 分）已知 a，b，c 为球 o 的球面上的三个定点，abc60，ac2，p 为球 o的球面上的动点，记三棱锥 p 一 abc 的体积为 v ，三棱銋 o 一 abc 的体积为 v ，若的

5、最大值为 3，则球 o 的表面积为（ ）第 2 页（共 26 页）2i ji 1ij i+ajm2abcd612（5 分）若关于 x 的不等式a6 b7有正整数解，则实数 的最小值为（ ） c8 d9二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13（5 分）设 x，y 满足约束条件，则目标函数 zx+y 的最大值为 14（5分）若的展开式中各项系数之和为 32，则展开式中 x 的系数为 15 （5 分）己知点 e 在 y 轴上，点 f 是抛物线 y 2px（p0）的焦点，直线 ef 与抛物线 交于 m，n 两点，若点 m 为线段 ef 的中点，且|nf|12，则 p 16 （5 分）在如图所

6、示的三角形数阵中，用a （ij）表示第 i 行第 j 个数（i，j n*），已，知 a 1 （in*），且当 i3 时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两 ，个数之和，即 a a，1，j1 i1，（2ji1），若a 100，则正整数 m 的最小值，为三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12 分）如图，在平面四边形 abcd 中，ac 与 bd 为其对角线，已知 bc1，且 cos bcd （1） 若 ac 平分bcd，且 ab2，求 ac 的长；（2） 若cbd45，求 cd 的长第 3 页（共 26 页）18（12 分）如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd

7、是边长为 1 的菱形，bad45， pd2，m 为 pd 的中点，e 为 am 的中点，点 f 在线段 pb 上，且 pf3fb（1） 求证：ef平面 abcd；（2） 若平面 pdc底面 abcd，且 pddc，求平面 pad 与平面 pbc 所成锐二面角的 余弦值19（12分）在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c 的中心在坐标原点 o，其右焦点为 f（1，0）， 且点 （1， ）在椭圆 c 上（1） 求椭圆 c 的方程；（2） 设椭圆的左、右顶点分别为 a、b，m 是椭圆上异于 a，b 的任意一点，直线 mf交椭圆 c 于另一点 n，直线 mb 交直线 x4 于 q 点，求证：a，n，q

8、 三点在同一条直 线上第 4 页（共 26 页）20（12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级普通会员银卡会员金卡会员消费金额200027003200预计去年消费金额在 （0，1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 （3200，4800

9、内的消费者都将会申请办理金卡会员消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消 费金额该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人 奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一个球若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球

10、的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由21（12 分）已知函数 ，其定义域为 （0，+）（其中常数e2.71828第 5 页（共 26 页）121 22，是自然对数的底数）（1） 求函数 f（x）的递增区间；（2） 若函数 f（x）为定义域上的增函数，且 f（x ）+f（x ）4e，证明：x +x 2请考生在第 22，23 题中任选一题作答，如果多做，则按所

11、做的第一题计分作答时请写清 题号选修 4-4：坐标系与参数方程22（10 分）在直角坐标系 xoy 中，直线 l 的参数方程为 （t 为参数），以坐标原点为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线 c 的极坐标方程为 2cos， 直线 l与曲线 c 交于不同的两点 a，b（1）求曲线 c 的参数方程；（2）若点 p 为直线 l 与 x 轴的交点，求选修 4-5：不等式选讲23设函数 f（x）|x+1|+|x2|，g（x）x +mx+1的取值范围（1） 当 m4 时，求不等式 f（x）g（x）的解集；（2） 若不等式 f（x）g（x）在2， 上恒成立，求实数 m 的取值范围第 6 页（共 2

12、6 页）22nn53 4nn51 2 3 4 5 333 44n4 32019 年广东省深圳市高考数学一模试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符 合题目要求的1（5 分）复数 zi（2+i）的共轭复数是（ ）a1+2i b12i c1+2i d12i【解答】解：复数 i（2+i）2i1 的共轭复数为12i故选：d2（5 分）已知集合 ax|ylg（2x），bx|x 3x0，则 ab（ ）ax|0x2 bx|0x2 cx|2x3dx|2x3【解答】解：ax|ylg（2x）x|x2，bx|x 3x0x|0x3， abx

13、|x2x|0x3x|0x2故选：b3（5分）设 s 为等差数列a 的前 n 项和若 s 25，a +a 8，则a 的公差为（ ） a2 b1 c1 d2【解答】解：根据题意，等差数列a 中，若 s 25，即 a +a +a +a +a 5a 25， 则 a 5，又由 a +a 8，则 a 3，则等差数列a 的公差 da a 352；故选：a4（5 分）己知某产品的销售额 y 与广告费用 x 之间的关系如表：x （单位：万元）y （单位：万元）010115220330435若求得其线性回归方程为，则预计当广告费用为 6 万元时的销售额为（ ）a42 万元b45 万元c48 万元d51 万元【解答

14、】解： ，a226.529，第 7 页（共 26 页），则，取 x6，得故选：c5（5 分）如图所示，网格纸上小正方形的边长为 1粗线画出的是由一个棱柱挖去一个棱 锥后的几何体的三视图，则该几何体的体积为（ ）a64 b68 c80 d109【解答】解：该几何体为正四棱柱中挖去一个正四棱锥，如图所示， 底面正方形的边长为 4，高为 5 棱锥的高为 3，该几何体的体积为： 故选：a64，6（5 分）己知直线是函数 f（x）与的图象的一条对称轴，为了得到函数 yf（x）的图象，可把函数 ysin2x 的图象（ ）a 向左平行移动b 向右平行移动c 向左平行移动d 向右平行移动个单位长度个单位长度个

15、单位长度个单位长度第 8 页（共 26 页）【解答】解：令 2x+k，由 x又| |所以 是此方程的一个解，则 k+ ，即 yf（x）sin（2x+）sin2（x+），所以为了得到函数 yf（x）的图象，可把函数 ysin2x 的图象向左平移 故选：c7（5分）在abc 中，abc60，bc2ab2，e 为 ac 的中点，则a2 bl c0 dl 【解答】解：e 为 ac 的中点，个单位长度，（ ）be （+）， （+） | |cos60 12 1，故选：b8（5 分）古希腊雅典学派算学家欧道克萨斯提出了“黄金分割”的理论，利用尺规作图可画出己知线段的黄金分割点，具体方法如下：（l）取线段 a

16、b2，过点 b 作 ab 的垂线，并用圆规在垂线上截取 bc ab，连接 ac；（2）以 c 为圆心，bc 为半径画弧，交 ac于点 d；（3）以 a 为圆心，以 ad 为半径画弧，交 ab 于点 e则点 e 即为线段 ab 的黄金分割点若在线段 ab 上随机取一点 f，则使得 beafae 的概率约为（ ）（参考数据：2.236）a0.236 b0.382 c0.472第 9 页（共 26 页）d0.6182【解答】解：由勾股定理可得：ac 由图可知：bccd1，adae1.236，be21.2360.764，则：0.764af1.236，由几何概型中的线段型，可得：使得 beafae 的概

17、率约为 故选：a0.236，9（5分）已知偶函数 f（x）的图象经过点（一 1，2），且当0ab 时，不等式 0 恒成立，则使得 f（xl）2 成立的 x 的取值范困是（ ）a（0，2）c（，0）（2，+）b（一 2，0）d（，一 2）（0，+）【解答】解：根据题意，f（x）为偶函数，且经过点（1，2），则点（1，2）也在函数 f（x）的图象上，当 0ab 时，不等式 0 恒成立，则函数 f（x）在0，+）上为减函数， f（xl）2f（|x1|）f（1）|x1|1，解可得：x2 或 x0，即 x 的取值范围为（，0）（2，+）；故选：c10（5 分）已知直线 ykx（k0）与双曲线交于 a，b

18、 两点，以 ab 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 f，若abf 的面积为 4a ，则双曲线的离心 率为（ ）abc2 d【解答】解：以 ab 为直径的圆恰好经过双曲线的右焦点 f，第 10 页（共 26 页）2 2 2obf22 2 2 2 2 2 24 2 2 22 2 2 2 2以 ab 为直径的圆的方程为 x +y c ，由对称性知abf 的面积 s2s 2hch4a ，即 h，即 b 点的纵坐标为 y，则由 x +（ ） c ，得 x c （ ） c ，b 在双曲线上，则 1，即 1，即 （1+）1，即 1，即 1，即 1，得 16a （c a ） ，即 4a c a ，得 5a c

19、 ，得 ca，则离心率 e ，方 法 2 ： 设 双 曲 线 的 左 焦 点 为 f ， 由 图 象 的 对 称 性 得 ， 圆 o 经 过 点 f ，第 11 页（共 26 页）2 2 2 2abf22 2 22 2 22 2且|bf|af|，设|bf |af|m，|bf|n， bfafs mn4a ，m +n 4c ， 则 mn8a ，|bf|bf|2a，mn2a则 m 2mn+n 4a ，4c 16a 4a ，即 c 5a ，则 ca，即离心率 e 故选：d ，11（5 分）已知 a，b，c 为球 o 的球面上的三个定点，abc60，ac2，p 为球 o第 12 页（共 26 页）12的

20、球面上的动点，记三棱锥 p 一 abc 的体积为 v ，三棱銋 o 一 abc 的体积为 v ，若的最大值为 3，则球 o 的表面积为（ ）abcd6【解答】解：如图，设abc 的外接球球心为 o，其半径为 r， 球 o 的半径为 r，由题意可知， 3，可得 r ，2r ，r ， ， ，当球心 o 在三棱锥 pabc 外时，结果不变故选：b12（5 分）若关于 x 的不等式有正整数解，则实数 的最小值为（）a6 b7 c8 d9【解答】解：不等式 ，第 13 页（共 26 页）x9，2ln3，xn*，0， ，令 f（x），则 f（x），当 x（0，e）时，f（x）0，函数 f（x）单调递增，当

21、 x（e，+）时，f（x）0，函数 f（x）单调递减，2e3，f（2） ，f（3） ，f（2）f（3）只需 f（3） ，即 6 时，即实数 的最小值为 6，故选：a二、填空题：本大题共 4 小题，每小题 5 分13（5 分）设 x，y 满足约束条件 ，则目标函数 zx+y 的最大值为 3 【解答】解：x，y 满足约束条件 ，表示的区域是如下图示的三角形，3 个顶点是 a（1，2），b（2，0），c（1，0），目标函数 zx+y 在（1，2）取最大值 3故答案为：3第 14 页（共 26 页）n2214 （5 分）若的展开式中各项系数之和为 32 ，则展开式中 x 的系数为15【解答】解：由已知

22、可得，2 32，即 n5 ，其二项展开式的通项取 ，得 r4 展开式中 x 的系数为故答案为：1515（5 分）己知点 e 在 y 轴上，点 f 是抛物线 y 2px（p0）的焦点，直线 ef 与抛物线交于 m，n 两点，若点 m 为线段 ef 的中点，且|nf|12，则 p 8【解答】解：点 e 在 y 轴上，点 f 是抛物线 y 2px（p0）的焦点，直线 ef 与抛物线交于 m，n 两点，若点 m 为线段 ef 的中点，且|nf|12，f（ ，0），则m（ ，），e（0，p），cosefo ，作 ns 垂直 y 轴与 s，ns12 （12+解得 p8，故答案为：8）cosefo，第 15

23、 页（共 26 页）iji 1i j i 1 j 1 i 1 jm 2n 1n2n2 n+a2a a an2 n2 n2a32 22 22n2102 2103 216（5分）在如图所示的三角形数阵中，用a （ij）表示第 i 行第 j 个数（i，j n*），已，知 a 1 （in*），且当 i3 时，每行中的其他各数均等于其“肩膀”上的两 ，个数之和，即 a a +a （2ji1），若a 100，则正整数 m 的最小值， ， ， ，为 103【解答】解：a 1，an1，11，（n2），下面求数列a 的通项，由题意知 a a ，1，1 n1，（n3），n，2 n1，2 n1，11 ，（n3），a

24、 （a a ， ，1，）+（an1，2 n2，2）+（a a ）+ a ， ， ，+n ，数列a 是递增数列， ，且 a 100a ， ， ，m 的最小值为 103，第 16 页（共 26 页）22 2 2 2故答案为：103三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤17（12 分）如图，在平面四边形 abcd 中，ac 与 bd 为其对角线，已知 bc1，且 cos bcd （1） 若 ac 平分bcd，且 ab2，求 ac 的长；（2） 若cbd45，求 cd 的长【解答】（本题满分为 12 分）解：（1）ac 平分bcd，可得：bcd2acb2acd， cosbcd2cos ac

25、b1 ，cosacb0，cosacb ，3 分在abc 中，bc1，ab2，cosacb，由余弦定理 ab bc +ac 2bcaccosacb，可得：ac ac ，（负值舍去），ac30，解得：ac 的值为6 分（2）cosbcd ， sinbcd又cbd45， ，7 分sincdbsin（180bcd45）sin（bcd+45） bcd） ，9 分（sinbcd+cos在bcd 中，由正弦定理即 cd 的长为 512 分，可得：cd 5，第 17 页（共 26 页）18（12 分）如图，在四棱锥 pabcd 中，底面 abcd 是边长为 1 的菱形，bad45， pd2，m 为 pd 的中

26、点，e 为 am 的中点，点 f 在线段 pb 上，且 pf3fb（1） 求证：ef平面 abcd；（2） 若平面 pdc底面 abcd，且 pddc，求平面 pad 与平面 pbc 所成锐二面角的 余弦值【解答】（1）证明：设 dm 中点为 n，连接 en，nf，bd，则 nead， ne平面 abcd，ad平面 abcd，ne平面 abcd，又 ，nfdb，nf平面 abcd，bd平面 abcd，nf平面 abcd，又nenfn，平面 nef平面 abcd则 ef平面 abcd；（2）解：平面 pdc底面 abcd，且 pddc，pd底面 abcd，如图，以 d 为坐标原点建立空间直角坐标

27、系 dxyz，则 d（0，0，0），p（0，0，2），a（1，0，0），c（ ， （ ， ，2）， ，0），设平面 pbc 的一个法向量为，由 ，取 ，得 第 18 页（共 26 页）又平面 pad 的一个法向量为 设平面 pad 与平面 pbc 所成的二面角为 ，则 cos 即平面 pad 与平面 pbc 所成锐二面角的余弦值为 19（12分）在平面直角坐标系 xoy 中，椭圆 c 的中心在坐标原点 o，其右焦点为 f（1，0）， 且点 （1， ）在椭圆 c 上（1） 求椭圆 c 的方程；（2） 设椭圆的左、右顶点分别为 a、b，m 是椭圆上异于 a，b 的任意一点，直线 mf交椭圆 c 于

28、另一点 n，直线 mb 交直线 x4 于 q 点，求证：a，n，q 三点在同一条直 线上【解答】解：（1）不妨设椭圆的方程为+1，ab0，第 19 页（共 26 页）2 21 12 22 22 21 21 22 222由题意可得 ，解得 a 4，b 3，故椭圆的方程+1，证明：（2）设 m（x ，y ），n（x ，y ），直线 mn 的方程为 xmy+1，由方程组 ，消去 x 整理得（3m +4）y +6my9036m +36（3m +4）0y +y ，y y ，直线 bm 的方程可表示为 y （x2），将此方程与直线 x4 成立，可求得点 q 的坐标为（4， ）， （x +2，y ）， （6

29、， ），6y （x +2） 0， ，向量和有公共点 a，a，n，q 三点在同一条直线上20（12 分）某健身机构统计了去年该机构所有消费者的消费金额（单位：元），如图所示：第 20 页（共 26 页）（1）将去年的消费金额超过 3200 元的消费者称为“健身达人”，现从所有“健身达人”中随机抽取 2 人，求至少有 1 位消费者，其去年的消费金额超过 4000 元的概率； （2）针对这些消费者，该健身机构今年欲实施入会制，详情如表：会员等级普通会员银卡会员金卡会员消费金额200027003200预计去年消费金额在 （0，1600内的消费者今年都将会申请办理普通会员，消费金额在（1600，3200

30、内的消费者都将会申请办理银卡会员，消费金额在 （3200，4800内的消费者都将会申请办理金卡会员消费者在申请办理会员时，需一次性缴清相应等级的消 费金额该健身机构在今年底将针对这些消费者举办消费返利活动，现有如下两种预设方案：方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”给予奖励：普通会员中的“幸运之星”每人奖励 500 元；银卡会员中的“幸运之星”每人 奖励 600 元；金卡会员中的“幸运之星”每人奖励 800 元方案 2：每位会员均可参加摸奖游戏，游戏规则如下：从一个装有 3 个白球、2 个红球（球只有颜色不同）的箱子中，有放回地摸三次球，每次只能摸一

31、个球若摸到红球的总数为 2，则可获得 200 元奖励金；若摸到红球的总数为 3，则可获得 300 元奖励金；其他情况不给予奖励规定每位普通会员均可参加 1 次摸奖游戏；每位银卡会员均可参加 2 次摸奖游戏；每位金卡会员均可参加 3 次摸奖游戏（每次摸奖的结果相互独立）以方案 2 的奖励金的数学期望为依据，请你预测哪一种方案投资较少？并说明理由【解答】解：（1）随机抽取的 2 人中，去年的消费金额超过 4000 元的消费者有 x 人， 则 x 的可能取值为 0，1，2；第 21 页（共 26 页）121 2121 2p（x1）p（x1）+p（x2）+ ；（或 p（x1）1p（x0）1 ），即去年

32、的消费金额超过 4000 元的概率为 ；（2）方案 1：按分层抽样从普通会员，银卡会员，金卡会员中总共抽取 25 位“幸运之星”，则“幸运之星”中的普通会员，银卡会员，金卡会员的人数分别为257， 2515， 253，按照方案 1 奖励的总金额为 7500+15600+380014900（元）；方案 2：设 表示参加一次摸奖游戏所获得的奖励金，则 的可能取值为 0，200，300 ； 由摸到红球的概率为 p ，p（0）p（200）p（300） +， ， ， 的分布列为：0200300p数学期望为 e0+200+30076.8（元），按照方案 2 奖励的总金额为（28+260+312）76.81

33、4131.2（元），由 知，方案 2 投资较少 21（12 分）已知函数，是自然对数的底数），其定义域为 （0，+）（其中常数e2.71828（1） 求函数 f（x）的递增区间；（2） 若函数 f（x）为定义域上的增函数，且 f（x ）+f（x ）4e，证明：x +x 2第 22 页（共 26 页）x1211112x 2x 2x 2 x 1 2 2 2【解答】解：（1）易知 f（x）1 若 a0，由 f（x）0，解得：x1， 故函数 f（x）在（1，+）递增，2 若 0a1，令 f（x）0，解得：0x，或 x1，令 f（x）0，解得：x1，故 f（x）在（0，）递增，在（ ，1）递减，在（1，

34、+）递增，若 a1，则 f（x）故函数 f（x）在（0，+）递增，0，若 a1，令 f（x）0，解得：0x1 或 x，令 f（x）0，解得：1x ，故 f（x）在（0，1）递增，在（1， ）递减，在（ ，+）递增， 综上，若 a0，f（x）在（1，+）递增，若 0a1，f（x）在（0， ），（1，+）递增，若 a1，f（x）在（0，+）递增，若 a1，f（x）在（0，1），（ ，+）递增；（2）函数 f（x）在（0，+）递增，a1，即 f（x）e （x 2），注意到 f（1）2e，故 f（x ）+f（x ）4e2f（1），即证4ef（x ）f（2x ），即证 f（x ）+f（2x ）4e， 令 h（x