初中数学竞赛：一次不等式(不等式组)的解法

1、初中数学竞赛：一次不等式 (不等式组)的解法不等式和方程一样，也是代数里的一种重要模型在概念方面，它与方程很类似，尤其重要的是不等式具有一系列基本性质，而且“数学的基本结果往往是一些不等式而不是等 式”本讲是系统学习不等式的基础下面先介绍有关一次不等式的基本知识，然后进行例题分析1不等式的基本性质这里特别要强调的是在用一个不等于零的数或式子去乘(或去除)不等式时，一定要注意它与等式的类似性质上的差异，即当所乘(或除)的数或式子大于零时，不等号方向不变(性 质(5)；当所乘(或除)的数或式子小于零时，不等号方向要改变(性质(6)2区间概念在许多情况下，可以用不等式表示数集和点集如果设 a，b 为

2、实数，且 ab，那么(1) 满足不等式 axb 的数 x 的全体叫作一个开区间，记作(a，b)如图 14(a)(2) 满足不等式 axb 的数 x 的全体叫作一个闭区间，记作a，b如图 14(b)(3) 满足不等式 axb(或 axb)的 x 的全体叫作一个半开半闭区间，记作(a，b(或 a，b)如图 14(c)，(d)3一次不等式的一般解法一元一次不等式像方程一样，经过移项、合并同类项、整理后，总可以写成下面的标准 型：axb，或 axb为确定起见，下面仅讨论前一种形式一元一次不等式 axb(3)当 a=0 时，用区间表示为(-，+)例 1 解不等式解 两边同时乘以 6 得12(x+1)+2

3、(x-2)21x-6，化简得-7x-14，两边同除以-7，有 x2所以不等式的解为 x2，用区间表示为(-，2例 2 求不等式的正整数解正整数解，所以原不等式的正整数解为 x=1，2，3例 3 解不等式分析与解 因 y2+10，所以根据不等式的基本性质有例 4 解不等式为 x+27，解为 x5这种错误没有考虑到使原不等式有意义的条件：x6 解 将原不等式变形为解之得所以原不等式的解为 x5 且 x6例 5 已知 2(x-2)-3(4x-1)=9(1-x)，且 yx+9，试比较解 首先解关于 x 的方程得 x=-10将 x=-10 代入不等式得 y-10+9，即 y-1例 6 解关于 x 的不等

4、式：解 显然 a0，将原不等式变形为 3x+3-2a2a-2ax，即(3+2a)x(2a+3)(a-1)说明 对含有字母系数的不等式的解，也要分情况讨论例 7 已知 a，b 为实数，若不等式(2a-b)x+3a-4b0解 由(2a-b)x+3a-4b0 得 (2a-b)x4b-3a由可求得将代入得所以 b0于是不等式(a-4b)x+2a-3b0 可变形为因为 b0，所以下面举例说明不等式组的解法不等式组的解是不等式组中所有不等式解的公共部分若不等式组由两个不等式组成，分别解出每一个不等式，其解总可以归纳成以下四种情 况之一(不妨设 )：解分别为：x ；x ； x ；无解如图 15(a)，(b)

5、，(c)，(d)所示若不等式组由两个以上不等式组成，其解可由下面两种方法求得： (1)转化为求两两不等式解的公共部分如求解(2)不等式组的解一般是个区间，求解的关键是确定区间的上界与下界，如求解确定上界：由 x4，x8，x5，x2，从 4，8，5，2 这四个数中选最小的数作为上 界，即 x2确定下界：由 x-4，x-6，x0，x-3从-4，-6，0，-3 中选最大的数作为下界， 即 x0确定好上、下界后，则原不等式组的解为：0x2不等式组中不等式的个数越多， (2)越有优越性例 8 解不等式组解 原不等式组可化为解之得例 9 解关于 x 的不等式组解 解得4mx11，解得 3mx8 (1)当 m=0 时，变为原不等式组无解(2)当 m0 时，变形为(3