【专题训练】数列(等差、等比) 知识点总结及题型归纳

1、1n=1 n基本量法求数列的通项公式11.复习等差数列(1)定义: 如果一个数列从第 2 项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常 数，那么这个数列就叫等差数列, an -an -1 =d ( n 2)例 1（2015 年全国卷 i） s 为数列n（1）求 a 的通项公式：na n的前n项和.已知a 0, ann2+2 a =4 s +3n n，a - a =d n n -1a - a =d n -1 n -2 a - a =d2 1（由定义，累加法推得通项公式）变式 1：（湖北省武汉部分重点中学 2020 届高三起点考试）已知数列a 是等比数列，s 为数列a 的前 n 项和，且 a 3，s

2、9 n n n 3 3（1）求数列a 的通项公式；n(2)通项公式 a =a +( n -1)dn 1(3)性质: 在等差数列 a中，若 m ， n ， p ， q nna +a =a +a ；m n p q+且 m +n =p +q，则变式 2：(4)前项和公式s =nn(a +a ) 1 n2=na +1n(n -1) 2d已知等差数列 a的公差 d 0 ，其前 n 项和为 s ，若 a +a =22 ，且 a , a , a 成n n 2 8 4 7 12等比数列（1）求数列 a的通项公式；n等比数列(1)定义 : 如果一个数列从第二项起，每一项与它的前一项的比等于同一个常数，那么这个数

3、列就叫做等比数列，a： a =q ( q 0) n +1 n例 2(2)通项公式 a =a qn-1n 1(3)性质:在等比数列 a中，n若m +n = p +q ，则a a =a a (其中 m, n, p , q nm n p q*)已知数列an的前 n 项和为 sn，且 s n =2 a n -n .（1） 证明数列 是等比数列 ,并求数列 a的通项公式；a +1 nn(4)前项和公式 na ( q =1)s =a (1 -q ) a -a q ( q 1) n 11 -q 1 -q变式 1：（湖北省黄冈中学 2019 届高三数学模拟试题 1）n2n2an sa2nnn1 5已知各项均为

4、正数的等比数列a 的前 n 项和为 s ，a ，a a .n n 1 4 3 5 64(1)求数列a 的通项公式；n变式 3：数列（等差、等比）知识点清单一、数列的概念1.数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个 数列的项。记作 a ，在数列第一个位置的项叫第 1 项（或首项），在第二个位n置的叫第 2 项，序号为 n 的项叫第 n 项（也叫通项）记作 a ；n数列的一般形式： a ， a ， a ， a ，简记作 a。1 2 3 n n2.通项公式的定义：如果数列 a 的第 n 项与 n 之间的关系可以用一个公式表n示，那么这个公式就叫这个数列的通项公式。已 知 数

5、列a，bn n， 其 中a =5, b =-1 1 1， 且 满 足1a = (3a -b )n -1 n -1，练习：根据数列前 4 项，写出它的通项公式： （1）9，99，999，99991b =- ( a -3b )n -1 n -1，n n *, n 2.（1）求证：数列a-bn n为等比数列，并求数列a 、b 的通项公式；n n(2)8, 88, 888, 8888(3)0.8, 0.88, 0.888, 0.8888例 3 .已知等差数列a 的公差为 2，前 n 项和为 s ，且 s ，s ，s 成等比数n n 1 2 4列（1）求数列a 的通项公式；n3.数列 的前 项和 与通项

6、 的关系：n n n4.数列的单调性a =ns (n =1) 1s -s ( n 2) n n -1变式（浙江省名校联盟 2020 届高三第一次联考试题）已知等比数列 a的公比 q 1 ，且 a +a +a =42 ， a +9 是 a ， a 的等差中项数n 1 3 5 3 1 5列 b的通项公式 b = ， n *a -1 + a -1n n +1（1）求数列 a的通项公式；n二、等差数列题型一、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2 项起，每一项与它的前 一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列，这个常数叫做等差 数列的公差，公差通常用字母 d 表示。用递推公式表示为 a -a

7、 =d ( n 2) 或n n -1a -a =d ( n 1) 。n +1 n题型二、等差数列的通项公式： a =a +( n -1)d ；n 1说明：等差数列的单调性：d 0 为递增数列， d =0 为常数列， d 0 ， d 0 时， s 有最大值； a 0 时， s 有最小值；1 n 1 n（2） s 最值的求法：若已知 s ， s 的最值可求二次函数 s =an 2 +bn 的最值； n n n n可用二次函数最值的求法（n n ）；或者求出a中的正、负分界+ n项，即：若已知 a ，则 s 最值时 n 的值（ n n ）可如下确定 n 或 n 。a 0 a 0 n +1 n +1推

8、广：a =a qn-mn m等比中项：若三个数 a , b , c 成等比数列，则称 b 为 a与 c 的等比中项，且为 b = ac，注： b 2 =ac 是成等比数列的必要而不充分条件 .等比数列的基本性质，1.（1） 若m +n = p +q ，则a a =a a (其中 m, n, p , q n *)m n p q（2） q n -m = n ，a 2 =a a ( n n *)n n -m n +mm（3） a为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.n（4） a既是等差数列又是等比数列 a是各项不为零的常数列. n n1n=1 ns s -s s -s若，则a n1san5

9、.利用 1求通项ns , n =1a =n1公比含字母时一定要讨n1 n( q 1)n11n例：求和2.前n项和公式（3）累乘法 na ( q =1)s =a (1 -q ) a -a q ( q 1)n 11 -q 1 -q3.若数列 a是等比数列，s 是其前 n 项的和，k nn n成等比数列.如下图所示：*，那么 ， ，k 2 k k 3k 2 k适用于： a = f ( n ) an +1 na a a an +1 = f (n) 2 = f (1)，3 = f (2)，l l ， n +1 = f ( n) a a a an 1 2 n两边分别相乘得， n +1 =a f ( k )

10、a1 k =16 4 4 4 4 4 4 4 4 4 4 73k444 4 4 4 4 4 4 448a +a +a +l+a +a +l+a +a +l+a114424234443k 1k+41424432k12k4+1424433ks s -s s -sk 2 k k 3 k 2 k4.等比数列的判定法（1）定义法： n +1 =q（常数） a为等比数列；an（2）中项法： a 2 =a a ( a 0) a为等比数列；n +1 n n +2 n n（3）通项公式法： a =k qn ( k , q 为常数） a为等比数列；n n（4）前 n 项和法： s =k (1 -q n ) （ k

11、 , q 为常数） a为等比数列。n ns =k -kq n （k , q 为常数） a为等比数列。n ns ( n =1)a =s -s ( n 2)n n -1四、求数列通项公式方法（1）公式法（定义法）根据等差数列、等比数列的定义求通项（2）累加法（4） 待定系数法（5） 递推公式中既有 sn把已知关系通过 1 转化为数列 a或s 的递推关系，然后采用s -s , n 2 n nn n -1相应的方法求解。五、数列求和1直接用等差、等比数列的求和公式求和。na ( q =1)n(a +a ) n(n -1) s = =na + d s =a (1 -q )2 21 -q论2错位相减法求和：如： a等差,b等比,求a b +a b +l +a b 的和.n n 1 1 2 2 n ns =1 +2 x +3 x 2 +l +nx n -1n3 裂