【数学】河南省驻马店市2017-2018学年高二下学期期末考试(理)

1、河南省驻马店市2017-2018 学年高二下学期期末考试（理）第卷（共60 分）一、选择题：本大题共12 个小题 ,每小题5 分 ,共 60 分 .在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的 .1.复数2（ i 为虚数单位）的共轭复数是()1 iA 1 i B 1 i C 1 i D 1 i2.若变量 y 与 x 之间的相关系数r0.9832 ，则变量 y 与 x 之间 ()A 不具有线性相关关系B具有线性相关关系C它们的线性相关关系还需要进一步确定D不确定3.在一次跳伞训练中，甲、乙两位学员各跳伞一次，设命题p 是 “甲降落在指定的范围内 ”q是“乙降落在指定的范围内”，则命题 “甲

2、乙两位学员中至少有一位学员没有降落在指定的范围内 ”可以表示为 ()A pq B pq Cpq D p q4.已知等比数列an 中， a2a3a4 1， a6 a7a864 ，则 a5()A 2B 2C.2D45.yaxln( x1)在点(0,0)处的切线方程为x 2 y 0，则 a()若曲线A-1B11D 12C.2x36.若实数 x, y 满足 xy2 ，则 2xy 的取值范围为 ()y xA. 1,9 B. 5,9 C. 3,9 D. 3,57.已知a, b为实数 ,则 “ab b2 ”是 “b 0”的()aA. 充分不必要条件B. 必要不充分条件C.充要条件D. 既不充分也不必要条件8

3、.某小区的6 个停车位连成一排,现有 3 辆车随机停放在车位上,则任何两辆车都不相邻的停放方式有()种 .A.24B.72C.120D.1449.若抛物线y24x,过其焦点F 的直线l 与抛物线交于A,B两点 ,则AF2 BF的最小值为()A. 6B.32 2C. 9D. 32 210.在ABC 中 , B,C 为锐角 , absin Bc sin C ,则ABC 的形状为 ()A. 直角三角形 B.等腰三角形 C.等腰直角三角形 D. 以上都不对y2x20, b 0)的一个焦点为 F ,过 F 作双曲线 C 的一条渐近线的11.设双曲线 C :2b2 1(aa垂线 ,垂足为 A ,且与另一条

4、渐近线交于点B ,若 3OFOB2OA ,则双曲线 C 的离心率为()A. 22314B.2C.D.3312.已知函数 f ( x)ex3k ln x kx ,若 x3 是函数 fx 唯一的极值点 ,则实数 k 的取值x3范围为()A.e3B.e3C. 0,e3e3,27D.0,272727第卷（共 90分）二、填空题（每题5 分，满分 20 分，将答案填在答题纸上）11 x2 )dx 的值为 _.13.定积分( xe14.若 (2 xa )5 的展开式中各项系数之和为0,则展开式中含x3 的项为 _.x15.驻马店市某校高三年级学生一次数学诊断考试的成绩(单位 :分 ) X 服从正态分布N

5、110,10 2,记 X90,110 为事件 A, X80,100 为事件 B ,则 P B | A_.( 结果用分数示 )附： PX0.68； P2X20.95；P3X30.99.16.已知函数 yfx , x0, f ( )1f ( x) ，则不等式,且 f (x) tan x262fxsin x 的解集为 _.三、解答题（本大题共6 小题，共70 分 .解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）17.在ABC 中 ,角 A, B,C 的对边分别为a,b,c , B60 且 a, b, c 成等比数列 ,ABC 的面积为 4 3 .等差数列an 的首项 a14 ,公差为 b .(1) 求数

6、列 an 的通项公式；(2) 若数列 c满足 cn16,设 Tn 为数列 a的前 n 项和 ,求 Tn .nnan an118.如图 ,四棱柱 ABCDA1 B1C1D1 中 ,底面 ABCD 是等腰梯形 ,DAB60 ,AB2CD2 , M 是线段 AB 的中点 , CD1平面 ABCD .(1) 求证 : AC 平面 A1DM ；(2) 若 CD13 ,求平面 C1D1 M 和平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值.19.现从某高中随机抽取部分高二学生,调査其到校所需的时间(单位 :分钟 ),并将所得数据绘制成频率分布直方图(如图 ),其中到校所需时间的范围是0，100 ,样本数据分组为0

7、,20 , 20,40 , 40,60 , 60,80 , 80,100 .(1) 求直方图中 x 的值；(2) 如果学生到校所需时间不少于 1 小时 ,则可申请在学校住宿 .若该校录取 1200 名新生 ,请估计高二新生中有多少人可以申请住宿；(3) 以直方图中的频率作为概率,现从该学校的高二新生中任选4名学生生中 “到校所需时间少于40 分钟 ”的人数 ,求 X 的分布列和数学期望,用X表示所选4 名学20.已知椭圆 C : x2y2 1(a b0) 的离心率为2 ， M2 ,3 是椭圆上一点 .a2b2222(1)求椭圆的标准方程；(2)过椭圆右焦点 F 的直线与椭圆交于A, B 两点，

8、 P 是直线 x2 上任意一点 .证明：直线PA, PF , PB 的斜率成等差数列 .21.已知函数fxexax1(aR) .若 x0 是 fx 的极值点 .(1) 求 f x 在 2,1 上的最小值；(2) 若不等式 kf xxex1 对任意 x0 都成立 ,其中 k 为整数 , f x 为 fx 的函数 ,求k 的最大值 .请考生在22、23 两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修 4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系中 ,以原点为极点 , x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系,已知曲线x22 tC : sin22a cos (a 0) ;过点 P( 2, 4) 的直

9、线 l 的参数方程为2( t 为2y4t2参数 ),直线 l 与曲线 C 分别交于 M 、N 两点 .(1) 写出曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的普通方程；(2) 若 PM , MN , PN 成等比数列 ,求 a 的值 .23.选修 4 一 5:不等式选讲已知函数 f ( x)| 2x a | 2x6x51| ， g( x).2x1(1)当 a 3 时 ,解不等式 fx6 ；(2)若对任意 x11,5 ,存在 x2R ,使得 g x1f x2 成立 ,求实数 a 的取值范围 .2参考答案一、选择题1-5:ABACB6-10:CBABA11、12： CA二、填空题13.1414. 160

10、 x315.2716. (0, 2956三、解答题17.【解析】（ 1）由 a,b,c 成等比数列得 b2ac ，又因为 S ABC 43160 ，acsin B, B2所以 b4 ，所以 an是以 4 为首项， 4 为公差的等差数列，所以 an4n .(2) 由 (1)可得 cn111，n(n1)n n1所以 Tn1 11 11111.223nn 1n118.(1) 证明方法一 :连接 MC ，因为底面ABCD 是等腰梯形且 AB 2CD所以， AB / /CD ，又因为 M 是 AB 的中点因此， CD/ / AM 且CDAM所以， AD / /CM 且 ADCM又因为 AD / / A1

11、D1 且 ADA1 D1所以 A1M / / CD1因为， CD1平面 ABCD所以 A1M平面 ABCD所以，平面A1DM平面 ABCD在平行四边形AMCD 中，因为DAM60 ,所以平行四边形AMCD 是菱形，因此 ACDM所以 AC平面 A1DM ；解法二：底面ABCD 是等腰梯形，DAB60 , AB2CD2 ,所以， AB2BC2, AC3因此 CACB以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz ，则 A(3,0,0), D (3 , 1 ,0) ,22M ( 3 , 1 ,0), D1(0,0,3)22由 DA D1A1得 A1( 3,1, 3)22所以 CA(3,0,0), D

12、M(0,1,0), MA0,03 ,MA1(0,0, 3)因此 CA DM0 ，且 CA MA10所以 CADM 且CAMA1所以， AC平面 A1DM(2) 底面 ABCD 是等腰梯形，DAB60, AB2CD2,所以， AB2BC2, AC3因此 CACB以 C 为坐标原点建立空间直角坐标系Cxyz ，则 A3,0,0 , b 0,1,0 , M3,1,0 ,22D1 0,0,3所以， MD13 ,1 ,3, D1C1 MB3,1,02222设平面 C1D1M 的一个法向量 n( x, y, z)n D1C13xy0得 n1, 3,1由n MD13xy23z0由 CD1(0,0, 3) 是

13、平面 ABCD 的法向量因此 cos n,CD155平面 C1D1M 和平面 ABCD 所成的锐二面角的余弦值是5.519.解析： (1) 由直方图可得202x0.0050.01750.02251 x 0.0025(2) 新生上学所需时间不少于1 小时的频率为: 200.0050.00250.1512000.15180估计 1200 名新生中有180 名学生可以申请住(3) X 的可能取值为 01,2,3,， 4 ,有直方图可知，每位学生上学所需时间少于40 分钟的概率为 253481P X05625c1 233216p( x1)45625522p( x2)C4223216556253P( X

14、3)C432396556252416P( X4)5 625则 X 的分布列为X01234P812162169616625625625625625X 的数学期望 EX0811 2162 2163964168625625625625625520.解析：（1） x2y21 ；2(2) 因为右焦点 F (1,0) ,当直线 AB 的斜率不存在时其方程为x 1，因此，设 P(2, t)A(1, y) ，则 B(1,y)所以 KPAK PBtyty2t 且 K PFt021212t1所以， K PAK PB2K PF因此，直线 PA, PF 和 PB 的斜率是成等差数列 .当直线 AB 的斜率存在时其方程

15、设为yk (x1), A( x1, y1), B(x2 , y2 )yk(x1)2222由2得，x2)x4k x2k2 0y1（1 2k2所以 x1x24k 22 , x1 x22k 2212k12k2因此， K PAK PBty1ty2t (11)(y1y2 )2 x12 x22 x12 x22 x12 x24( x1x2 )44k24(1k2 )1 2k 242( x1x2 )x1 x24k22k222(1242k 2 )12k 212k 2y1y2k( x1 1x2 1 ) k( x12 1 x22 1)2 x12 x22 x12 x22 x12 x2k (112)0x22 x12所以，

16、 KPAKPBt2又因为 K PFt0t21所以有 K PAK PB2KPF ,因此，直线PA, PF 和 PB 的斜率是成等差数列综上可知直线PA, PF 和 PB 的斜率是成等差数列.21.（） f ( x) exa ，由 x0是 f ( x) 的极值点，得f (0) 0 ， a 1 .易知 f (x) 在2,0 上单调递减，在0,1 上单调递增，所有当 x0 时， f ( x) 在2,1 上取得最小值 2.( )由 ( )知 a1 ，此时f (x)ex1，kf (x)xex1k (ex1)xex1x 0,ex1 0,kxex1ex1令 g( x)xex1 ( x0) ，kg( x) mi

17、nex1g ( x)ex (exx 2) (x0)ex1令 h( x)exx 2 ， h(x)ex10 ， h( x) 在 (0,) 单调递增，且 h(1)0 ， h(2)0 ，h(x) 在 (0,) 时， g (x) 0g( x) ming( x0 )x01x0 ，ex01由 g (x 0 )0ex0x02 ，g(x0 ) x0 1 2,3又 kg( x0 ) ，且 kZ ，所以 k 的最大值为 2.22.解：（）曲线 C 的普通方程为 C : y22ax ，直线 l 的普通方程为 xy 20（）将直线的参数表达式代入抛物线得12(4 22 )164 0，2ta tat1 t 28 2 2 2a,t1t 232 8a因为 PMt1 , PN t2 , MN t1 t 22t1t 2(t1 t 2 ) 25t1t2由题意知，t1 t 2代入得 a1 .2