【二项式定理】-学生版

1、二项式定理十大典型例题1二项式定理：( ab)nCn0a nC1n a n 1bC nr an r brCnnbn (nN ) ，2基本概念：二项式展开式：右边的多项式叫做(a)n的二项展开式。b二项式系数 : 展开式中各项的系数C nr( r0,1,2, n) .项数：共 ( r1) 项，是关于 a 与 b 的齐次多项式通项：展开式中的第r 1项Cn ab叫 做二项式展开式的通项。r1n表示。rnrr用 TCr an r br3注意关键点： 来源:Zxxk.Com项数：展开式中总共有(n1) 项。顺序：注意正确选择 a , b , 其顺序不能更改。 (ab)n 与 (ba)n 是不同的。指数

2、： a 的指数从 n 逐项减到 0，是降幂排列。b 的指数从0 逐项减到 n ，是升幂排列。各项的次数和等于 n .系数：注意正确区分二项式系数与项的系数，二项式系数依次是Cn0 ,C n1 ,Cn2 , Cnr ,C nn . 项的系数是 a 与 b 的系数（包括二项式系数） 。4常用的结论：令 a1,bx,(1x)nCn0C n1 xC n2 x2C nr xrC nn xn (nN)令 a1,bx,(1x)nCn0C n1 xC n2 x2Cnr xr(1)n C nn xn ( nN )5性质：二项式系数的对称性：与首末两端 “对距离” 的两个二项式系数相等， 即 Cn0Cnn ，Cn

3、kCnk 1二项式系数和：令 a b 1, 则二项式系数的和为Cn0C n1Cn2CnrCnn2n ，变形式 Cn1C n2CnrCnn2n1 。奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和：在二项式定理中，令a1,b1 ，则 Cn0C 1nCn2Cn3( 1) n C nn(1 1)n0 ，从而得到： Cn0Cn2Cn4Cn2 rCn1Cn3Cn2r112n2n 12奇数项的系数和与偶数项的系数和：( ax) nCn0a n x0Cn1an 1x Cn2an 2 x2Cnn a0 xna0a1x1a2 x2an xn( xa) nCn0 a0 xnCn1ax n 1Cn2a2 xn 2C nn

4、 an x0an xna2 x2a1x1a0令 x1, 则 a0a1a2a3an(a 1)n令 x1,则 a0a1a2a3an(a 1)n得 , a0a2a4an(a1)n(a 1)n ( 奇数项的系数和 )2得 , a1a3a5an(a1)n(a 1)n(偶数项的系数和 )2n二项式系数的最大项：如果二项式的幂指数n 是偶数时，则中间一项的二项式系数Cn2取得最大值。n1n1如果二项式的幂指数n 是奇数时，则中间两项的二项式系数Cn2,Cn2同时取得最大值。系数的最大项：求(abx) n 展开式中最大的项，一般采用待定系数法。设展开式中各项系数分别为 A1, A2, An 1 ，设第 rAr

5、 1Arr 来。1项系数最大，应有Ar，从而解出Ar 12专题一【题型一】：二项式定理的逆用；例： C1nCn2 6Cn3 62Cnn 6n 1.练： C1n3Cn29Cn33n 1 Cnn.题型二：利用通项公式求xn 的系数；例：在二项式 ( 413x2 )n 的展开式中倒数第3项的系数为45 ，求含有 x3的项的系数？x练：求 (x21 )9 展开式中 x9 的系数？2 x题型三：利用通项公式求常数项；例：求二项式( x21)10 的展开式中的常数项？2x练：求二项式(2 x1 )6 的展开式中的常数项？2 x练：若 (x21 )n 的二项展开式中第5 项为常数项，则 n _.x题型四：利

6、用通项公式，再讨论而确定有理数项；例：求二项式(x3 x)9 展开式中的有理项？题型五：奇数项的二项式系数和=偶数项的二项式系数和；例：若 (x21) n 展开式中偶数项系数和为256 ，求 n .3x2练：若 (31512 )n 的展开式中，所有的奇数项的系数和为1024 ，求它的中间项。xx题型六：最大系数，最大项；例：已知 (12x)n ，若展开式中第5 项，第 6 项与第 7 项的二项式系数成等差数列，求展开式中二2项式系数最大项的系数是多少？练：在 (ab)2 n 的展开式中，二项式系数最大的项是多少？ 来源 :学。科。网 练：在 ( x1 ) n 的展开式中，只有第5 项的二项式最

7、大，则展开式中的常数项是多少？23 x练：写出在 ( ab) 7 的展开式中，系数最大的项？系数最小的项？练：若展开式前三项的二项式系数和等于79 ，求 ( 12x) n 的展开式中系数最大的项？2练：在 (12x)10 的展开式中系数最大的项是多少？题型七：含有三项变两项；例：求当 ( x23x2) 5 的展开式中x 的一次项的系数？练：求式子 ( x12) 3 的常数项？x题型八：两个二项式相乘；例： 求(12x) 3(1x) 4 展开式中 x2的系数 .练： 求(13 x )6 (114x)10 展开式中的常数项.2)( x1 n*且 2n 8,则 n _.练：已知 (1 x xx3 )

8、 的展开式中没有常数项, n N题型九：奇数项的系数和与偶数项的系数和；例： 在( x2) 2006的二项展开式中, 含 x的奇次幂的项之和为S,当x2时, S_.题型十：赋值法；例：设二项式(3 3 x1 ) n 的展开式的各项系数的和为p ，所有二项式系数的和为 s , 若xps272 , 则 n 等于多少？n练：若 3 x164 ，则展开式的常数项为多少？的展开式中各项系数之和为x练： 若(1 2x)2009a0 a1x1a2 x2a3 x3a2009 x2009( xa1a2a2009的值为R), 则22220092练： 若( x2)5a5 x5a4 x4a3x3a2 x2a1x1a0 , 则a1a2a3a4a5_.题型十一：整除性；例：证明： 32n 28n 9(nN*)能被 64整除1、(x 1) 11 展开式中x 的偶次项系数之和是2、 C0n3C1n32 C2n3n Cnn2、3、 ( 3 51 ) 20 的展开式中的有理项是展开式的第项 来源:学 _ 科_网54、 (2x-1) 5 展开式中各项系数绝对值之和是210展开式中4的系数5、求 (1+x+x )(1-x)x21036、求 (1+x)+(1+x)+(1+x)展开式中x 的系数7、若 f (x ) (1 x) m(1 x ) n (m n N) 展开式中， x 的系