七级数学下册 第五章 生活中的轴对称 3 简单的轴对称图形同步课件 （新版）北师大版

1、,知识点一等腰三角形,1.等腰三角形的定义 有两条边相等的三角形是等腰三角形.相等的 两条边叫做腰,另一条边叫做底边,两腰所夹的 角叫做顶角,底边与腰的夹角叫做底角.如图5-3-1.,图5-3-1,2.等腰三角形的性质 (1)等腰三角形的两个底角相等(简写成“等边对等角”). (2)等腰三角形顶角的平分线、底边上的中线、底边上的高重合(简称“三线合一”),其所在的直线是等腰三角形的对称轴. (3)等腰三角形是以顶角的平分线(底边上的中线、底边上的高)所在直线为对称轴的轴对称图形,通常只有一条对称轴. 注意:(1)“等边对等角”是在同一个三角形中,否则,不能使用该性质. (2)等腰三角形“三线合

2、一”的应用非常广泛,它可以用来得到角相等、线段相等、垂直关系等. (3)等腰三角形的对称轴是直线.,3.等边三角形 (1)等边三角形的概念:三边都相等的三角形叫做等边三角形,也叫正三角形. (2)等边三角形的性质: 等边三角形是轴对称图形,它有三条对称轴. 等边三角形的三个内角都相等,并且每个内角都等于60.,例1如图5-3-2所示,在ABC中,AB=AC,AD平分BAC. (1)求ADB的度数; (2)若BAC=100,求B,C的度数; (3)若BC=3 cm,求BD的长. 图5-3-2,解析(1)因为AB=AC,AD平分BAC, 所以ADBC, 所以ADB=90. (2)因为BAC=100

3、, 所以B+C=80. 因为AB=AC, 所以C=B=40. (3)因为AB=AC,AD平分BAC, 所以BD=BC=3=1.5(cm).,知识点二线段的垂直平分线,例2(2017安徽阜阳十九中期中)如图5-3-3,在ABC中,AB=AC=20 cm,DE垂直平分AB,垂足为E,交AC于点D,若DBC的周长为35 cm,则BC的长为 () 图5-3-3 A.5 cmB.10 cmC.15 cmD.17.5 cm,解析DE垂直平分AB,AD=BD.AC=20 cm,AD+CD=20 cm,BD+CD=20 cm.DBC的周长为35 cm,BD+CD+BC=35 cm.BC=15 cm.,答案C,

4、知识点三角平分线 1.角的对称性:角是轴对称图形,角平分线所在的直线是角的对称轴. 2.角平分线的性质:角平分线上的点到这个角的两边的距离相等. 应用格式:如图5-3-4. OP平分AOB,PDOA,PEOB, PD=PE(角平分线上的点到角两边的距离相等).,图5-3-4,例3如图5-3-5,已知ABC,求作一点P,使P到BAC的两边的距离相等,且PA=PB,下列确定P点的方法正确的是() 图5-3-5 A.P是BAC与ABC两角平分线的交点 B.P为BAC的平分线与AB的垂直平分线的交点 C.P为AC、AB两边上的高的交点 D.P为AC、AB两边的垂直平分线的交点,解析由P到BAC的两边的

5、距离相等,知P在BAC的平分线上,由PA=PB确定点P在AB的垂直平分线上.故选B.,答案B,题型综合运用尺规作角的平分线和线段的垂直平分线 例如图5-3-6所示,在公园草地上准备修建一个凉亭,要求凉亭与花坛M,N之间的距离相等,并且与两条小径AB,CD的距离也相等,请你来确定凉亭的位置. 图5-3-6,分析凉亭到M,N的距离相等,则应在线段MN的垂直平分线上,到AB,CD的距离也相等,则应在AB,CD所成角的平分线上,两者的交点即为所求.,解析延长BA,DC交于点O,作BOD的平分线OQ.连接MN,作MN的垂直平分线交OQ于点P.如图5-3-7所示,点P即为所求. 图5-3-7,点拨正确运用

6、线段垂直平分线的性质和角平分线的性质是解题的关键.,易错点对“三线合一”的性质理解有误而出错 例如图5-3-8所示,在等腰ABC中,AB=AC,A=40,BDAC于点D,则CBD=. 图5-3-8,错解35,错因分析本题错解的原因是认为等腰三角形底角的平分线、腰上的中线、腰上的高相互重合.等腰三角形的“三线合一”指的是顶角平分 线、底边上的中线、底边上的高相互重合.,正解20,知识点一等腰三角形 1.(2017山东烟台中考)某城市几条道路的位置关系如图5-3-1所示,已知ABCD,AE与AB的夹角为48,若CF与EF的长度相等,则C的度数为(),图5-3-1 A.48B.40C.30D.24,

7、答案DABCD,DFE=BAF=48. CF=EF,C=E. C+E=DFE=48,C=24.,2.(2017浙江台州中考)如图5-3-2,已知等腰三角形ABC,AB=AC,若以点B为圆心,BC长为半径画弧,交腰AC于点E,则下列结论一定正确的是() 图5-3-2 A.AE=EC B.AE=BE C.EBC=BACD.EBC=ABE,答案CAB=AC,ABC=ACB,由题意可知BC=BE,ACB=BEC,BAC=EBC,故选C.,3.(2017浙江丽水中考)等腰三角形的一个内角为100,则顶角的度数是.,答案100,解析10090, 100的角是顶角, 故答案为100.,4.(2017江西中考

8、)如图5-3-3(1)是一把园林剪刀,把它抽象为图5-3-3(2),其中OA=OB,若剪刀张开的角为30,则A=度. 图5-3-3,答案75,解析由对顶角相等可得AOB=30,OA=OB,A=75.,5.如图5-3-4,在等边三角形ABC中,BE和CD分别是AC、AB边上的高,求BFC的度数. 图5-3-4,解析ABC是等边三角形,BE、CD分别是AC、AB边上的高, FBC=FCB=60=30, BFC=180-30-30=120.,知识点二线段的垂直平分线 6.(2017湖北荆州中考)如图5-3-5,在ABC中,AB=AC,A=30,AB的垂直平分线l交AC于点D,则CBD的度数为() 图

9、5-3-5 A.30B.45C.50D.75,答案BAB=AC,A=30, ABC=ACB=75, AB的垂直平分线交AC于D, AD=BD,A=ABD=30, BDC=60,CBD=180-75-60=45. 故选B.,7.(2017广东深圳中考)如图5-3-6,已知线段AB,分别以A,B为圆心,大于 AB为半径作弧,连接弧的交点得到直线l,在直线l上取一点C,使得CAB=25,延长AC至M,则BCM的度数为() 图5-3-6 A.40B.50C.60D.70,答案B由作法可知直线l是线段AB的垂直平分线,C在l上,AC=BC,B=CAB=25,BCM=50,故选B.,8.(2017江苏常州

10、中考)如图5-3-7,已知在ABC中,DE是BC的垂直平分线,垂足为E,交AC于点D,若AB=6,AC=9,则ABD的周长是. 图5-3-7,答案15,解析DE是BC的垂直平分线,DB=DC, ABD的周长=AB+AD+DB=AB+AD+DC=AB+AC=15, 故答案为15.,知识点三角平分线 9.(2017山东枣庄中考)如图5-3-8,在RtABC中,C=90,以顶点A为圆心,适当长度为半径画弧,分别交AC,AB于点M,N,再分别以点M,N为圆心,大于MN的长为半径画弧,两弧交于点P,作射线AP交边BC于点D,若CD =4,AB=15,则ABD的面积是() 图5-3-8 A.15B.30C

11、.45D.60,答案B由题意得AP是BAC的平分线,如图,过点D作DEAB于E,C=90,DE=CD=4,ABD的面积=ABDE=154=30.,10.(2017浙江台州中考)如图5-3-9,点P是AOB的平分线OC上一点,PDOB,垂足为D.若PD=2,则P到边OA的距离是() 图5-3-9 A.1B.2C.D.4,答案B如图,过点P作PHOA,垂足为H,点P是AOB的平分线OC上一点,PDOB,PHOA,PH=PD=2.,1.(2015江苏苏州中考)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC的中点,BAD=35,则C的度数为() A.35B.45C.55D.60,答案CAB=AC,D为BC的中

12、点,CAD=BAD=35,ADDC, 在ADC中,C=90-DAC=55,故选C.,2.如图所示,在ABC中,AB=AC,A=50,AB的垂直平分线交AB于D,交AC于E,连接BE,则EBC的度数是() A.15B.20C.65D.100,答案AAB=AC,A=50,ABC=65, DE为AB的垂直平分线, AE=BE,A=ABE=50, EBC=ABC-ABE=65-50=15.故选A.,3.(2015浙江湖州中考)如图,已知在ABC中, CD是AB边上的高线,BE平分ABC,交CD于 点E,BC=5,DE=2,则BCE的面积等于() A.10B.7C.5D.4,答案C过点E作EKBC于点K

13、,则EKB=90,因为BE平分ABC,CDAB,所以EK=ED=2,所以BCE的面积=BCEK=52=5,故选C.,4.如图,ABC是等边三角形,AD是ABC的角平分线,ADE是等边三角形.下列结论:ADBC;EF=FD;BE=BD,其中正确的有(填序号).,答案,解析因为ABC是等边三角形,AD是其角平分线,所以ADBC, CAD=BAD=30.因为ADE是等边三角形,所以DAE=60,所以 EAF=DAF=30,所以EF=FD,ABDE,所以BE=BD.,5.(2015江苏宿迁中考)如图,已知AB=AC=AD,且ADBC,试说明:C=2D.,解析AB=AC=AD,C=ABC,D=ABD,

14、ABC=CBD+D, ADBC,CBD=D,ABC=D+D=2D, 又C=ABC,C=2D.,1.(2017内蒙古包头中考)若等腰三角形的周长为10 cm,其中一边长为 2 cm,则该等腰三角形的底边长为() A.2 cmB.4 cmC.6 cmD.8 cm,答案A当腰长为2 cm时,底边长为6 cm,但是2+2=46,即两边之和小于第三边,不合题意;当底边长为2 cm时,腰长为4 cm,符合题意,故选A.,2.(2017贵州黔西南州中考)已知一个等腰三角形的两边长分别为3和6,则该等腰三角形的周长是.,答案15,解析当腰为3时,3+3=6,3、3、6不能组成三角形; 当腰为6时,3+6=96

15、,3、6、6能组成三角形, 该三角形的周长为3+6+6=15.,3.(2017湖南湘潭中考)如图5-3-10,在RtABC中,C=90,BD平分 ABC交AC于点D,DE垂直平分AB,垂足为E点,请任意写出一组相等的线段. 图5-3-10,答案BC=BE(或DC=DE或BE=AE),解析已知C=90,BD平分ABC,DE垂直平分AB,显然BE=AE;利用角平分线性质定理可知DC=DE;根据已知条件易得BCDBED,根据全等三角形的性质可得BC=BE.,4.(2017湖南益阳中考)如图5-3-11,在ABC中,AB=AC,BAC=36,DE是线段AC的垂直平分线,若BE=a,AE=b,则用含a、

16、b的代数式表示 ABC的周长为. 图5-3-11,答案2a+3b,解析AB=AC,BE=a,AE=b,AC=AB=a+b, DE是线段AC的垂直平分线,AE=CE=b, ECA=BAC=36,AB=AC, ABC=ACB=72,BCE=ACB-ECA=36, BEC=180-ABC-ECB=72,BEC=ABC, CE=BC=b,ABC的周长为AB+AC+BC=2a+3b.,5.如图5-3-12,已知ABC是等边三角形,且1=2=3. (1)求BEC的度数; (2)DEF是等边三角形吗?请简要说明理由. 图5-3-12,解析(1)ABC为等边三角形,BCA=60. DEF=BCE+2,2=3,

17、 DEF=BCE+3=BCA=60. BEC=180-DEF=180-60=120. (2)DEF是等边三角形. 理由:与(1)同理可知EDF=60,DFE=60, DEF=DFE=EDF=60, DEF为等边三角形.,1.如图所示的正方形网格中,网格线的交点称为格点.已知A、B是两格点,如果C也是图中的格点,且使得ABC为等腰三角形,则点C共有() A.6个B.7个C.8个D.9个,答案C若ABC为等腰三角形,则AC=BC或AC=AB或BC=AB.当AC=BC时,点C在线段AB的垂直平分线上,可以找到4个符合题意的点.当AC=AB时,可以找到2个符合题意的点.当BC=AB时,也可找到2个符合

18、题意的点.故符合题意的点C共有8个.,2.等边三角形中,两条中线相交所成的钝角的度数为() A.120B.130C.150D.160,答案A如图,ABC为等边三角形,AD、BE都是中线,AD、BE都是 ABC的角平分线,1=2=30,AFB=180-1-2=120.故选A.,3.(2015浙江义乌中考)由于木质衣架没有柔性,在挂置衣服的时候不太方便操作.小敏设计了一种衣架,在使用时能轻易收拢,然后套进衣服后松开即可.如图,衣架杆OA=OB=18 cm,衣架收拢时,AOB=60,如图,则此时A,B两点之间的距离是cm.,答案18,解析OA=OB,衣架收拢时,AOB=60,连接AB,则AOB是等边

19、三角形,AB=OA=OB=18 cm.,4.如图,已知点P为MON内一点,点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称.若AB的长为15 cm,求PCD的周长.,解析点P与点A关于直线ON对称,点P与点B关于直线OM对称,DA=DP,CP=CB. PCD的周长=DP+CP+DC=DA+DC+CB=AB=15 cm.,一、选择题 1.(2017北京昌平临川育人学校第二次月考,10,)下列说法中正确的是() 角平分线上任意一点到角的两边的线段长相等; 角是轴对称图形; 线段不是轴对称图形; 线段垂直平分线上的点到这条线段两个端点的距离相等. A.B. C. D.,答案C,二、填空题 2.

20、(2018山东德州期末,18,)已知ABC中,AB=AC,AB的垂直平分线交AB于点D,交直线AC于点E,若EBC=42,则BAC的度数为.,答案32或152或88,解析如图1,ABC是等腰三角形,AB=AC,ABC=ACB,ABC+ACB+BAC=180, DE垂直且平分AB,EA=EB,ABE=BAC, EBC+ACB=AEB, 42+(180-BAC)=180-2BAC,解得BAC=32. 如图2,同理可得,BAC=152,如图3,同理可得,BAC=88.综上所述, BAC=32或152或88.,3.(2017内蒙古乌加河学校期末,13,)已知等腰三角形的两边长分别是4 cm和5 cm,

21、则它的周长是;若等腰三角形的两边长分别是4 cm和9 cm,则它的周长是.,答案13或14 cm;22 cm,解析三角形的三边长分别为4 cm,4 cm,5 cm或4 cm,5 cm,5 cm,故周长为4+4+5=13 cm或4+5+5=14 cm;因为4+49,所以三角形的三边长不能为4 cm,4 cm,9 cm,只能为4 cm,9 cm,9 cm,故周长为9+9+4=22 cm.,三、解答题 4.(2018广东云浮云城期末,19,)如图5-3-13,在ABC中,DE是AC的垂直平分线,AE=5 cm,ABD的周长为17 cm,求ABC的周长. 图5-3-13,解析DE垂直平分AC, AE=

22、EC=5 cm,AD=DC, AB+BD+AD=AB+BD+DC=AB+BC=17 cm, AB+BC+AC=17+10=27 cm. 即ABC的周长为27 cm.,1.(2018江苏泰州靖江期中,8,)如图,在ABC中,AB=AC,BAC= 108,ADB=72,DE平分ADB,则图中等腰三角形的个数是() A.3B.4C.5D.6,答案CAB=AC,ABC是等腰三角形. 又BAC=108,C=B=36, BAD=180-B-ADB=180-36-72=72=ADB,AB=BD, ADB是等腰三角形. DAC=BAC-BAD=108-72=36=C, CD=AD,ACD是等腰三角形. DE平

23、分ADB,BDE=ADE=36=B, BE=ED,EBD是等腰三角形. AED=180-72-36=72=EAD,ED=AD, AED是等腰三角形.共有5个等腰三角形.故选C.,2.(2016北京昌平期末,6,)如图,DE是ABC中AC边的垂直平分线,若BC=8,AB=10,则EBC的周长是() A.13B.16C.18D.20,答案CDE垂直平分AC,AE=CE,CE+BE=AE+BE=AB=10, 又BC=8, EBC的周长=BC+CE+BE=BC+AB=8+10=18.,3.(2018广东蓬江期末,20,)如图,在ABC中,BAC=90,BE平分ABC,AMBC于点M,AD平分MAC,交

24、BC于点D,交BE于点F,AM交BE于点G. (1)试说明:BAM=C; (2)判断直线BE与线段AD之间的关系,并说明理由.,解析(1)AMBC,ABC+BAM=90, BAC=90,ABC+C=90,BAM=C. (2)BE垂直平分AD.理由:如图,AD平分MAC,1=2,BAD=BAM+1,ADB=C+2,BAM=C,BAD=ADB,AB=BD,BAD是等腰三角形,又BE平分ABC,BE垂直平分AD.,4.(2016湖北黄冈五校期中联考,21,)如图,已知点B、C、D在同一条直线上,ABC和CDE都是等边三角形,BE交AC于F,AD交CE于H. (1)试说明:BCEACD; (2)试说明

25、:FHBD.,解析(1)ABC和CDE都是等边三角形, BC=AC,CE=CD,BCA=ECD=60, BCA+ACE=ECD+ACE,即BCE=ACD. 在BCE和ACD中, BCEACD(SAS). (2)由(1)知BCEACD,则CBF=CAH, ABC和CDE都是等边三角形,且点B、C、D在同一条直线上, ACH=180-ACB-ECD=60,ACH=BCF, 在BCF和ACH中, BCFACH(ASA),CF=CH, 又FCH=60,CHF为等边三角形, FHC=HCD=60,FHBD.,一、选择题 1.(2018湖北黄冈中考,4,)如图5-3-14,在ABC中,直线DE是AC的垂直

26、平分线,且分别交BC,AC于点D和E,B=60,C=25,则BAD为() 图5-3-14 A.50B.70C.75D.80,答案B因为直线DE是AC的垂直平分线,所以AD=DC,所以DAC=C=25,所以ADC=180-(25+25)=130.因为ADC=B+BAD,所以BAD=ADC-B=130-60=70,故选B.,2.(2018江苏扬州中考,7,)如图5-3-15,在RtABC中,ACB=90,CDAB于D,CE平分ACD交AB于E,则下列结论一定成立的是() 图5-3-15 A.BC=ECB.EC=BEC.BC=BED.AE=EC,答案CACB=90,CDAB, ACD+BCD=90,

27、ACD+A=90, BCD=A. CE平分ACD,ACE=DCE. 又BEC=A+ACE,BCE=BCD+DCE, BEC=BCE,BC=BE.故选C.,二、填空题 3.(2018湖南湘潭中考,12,)如图5-3-16,在等边三角形ABC中,点D是边BC的中点,则BAD=. 图5-3-16,答案30,解析ABC是等边三角形, BAC=60,AB=AC. 又点D是边BC的中点, BAD=BAC=30.,三、解答题 4.(2016江苏常州中考,23,)如图5-3-17,已知ABC中,AB=AC,BD、CE是高,BD与CE相交于点O. (1)试说明:OB=OC; (2)若ABC=50,求BOC的度数

28、. 图5-3-17,解析(1)AB=AC, ABC=ACB,即EBC=DCB. BD、CE是ABC的两条高, BEC=BDC=90. 在BEC和CDB中, BECCDB, ECB=DBC, OB=OC. (2)ABC=50,AB=AC,A=180-250=80, 又ADB=90,ABD=10, DBC=ABC-ABD=50-10=40. BOC=180-240=100.,(2017山东滨州中考,8,)如图,在ABC中,AB=AC,D为BC上一点,且DA=DC,BD=BA,则B的大小为() A.40B.36C.80D.25,答案B设C=x,由DA=DC可得DAC=C=x, 所以ADB=C+DAC=2x, 因为BD=BA