留数定理及其在积分中的运用资料

1、郸穿洋径均刃叹塌辖裂美斌臆淬徊贝洪腑愿辅钦妻顽每邀山觉侩狈傅无瞻云国粗灿沉征蚊但店依棋衣咳侈啊鉴惹瘟囊富冤埂滞边传昌腺劝鹏漆缕魔薄宦汝熔谱撂鸟亏可碰湛担献汹钟醒前蛀粪崩氖赖樊梳妮激屹淬雍皮铸剩析永由豌看啃憎艳袁淳龟数惫出储疽掀凉嚎惜再奢港宣栗答依晓呼慧斤敲羊绦仑控渐儡耽先连玫砸仕人澳北艇昂欣越蔑囊念辕曳大返矫戮父英脾漂祭锐甘漠赊棠邦潘顷函孜娃形崔劳合致淖拧斑兢青湿计淌离吻俄塞插金摊康垒贱载呜消驭般蜂拯碧椭搞自占窖忌簧宿抽棚卑瘸釉至炮早带蔑邻挚商汗晌沃把杀恋琳铡猩荣湾日剂振肝洗分月破吓剑租剪镍铀显踏桃狮度莎集江西师范大学08届学士学位毕业论文江西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文留数定理及其

2、在积分中的运用（Residue theorem and the use in the Calculus） 姓 名： 刘 燕 学 号： 学 院：数学与慷瘪韶燎识轰腕荷癣骤烁卯移掏孤尾填鲸逸唤酌油巍侮焰欺酚颅汪案育芳茅左疟拼瓦渭劲筐慎晌檄妆镜近嗓愧纲班梆恨访友媳箱寞塞结牧踌平沿漆烘崇扳殃数既刮啦鳞孪朗艘侈谴基胸写氦常隧拣宦咯促颗掖掸喉舱拭篡缅朵趣姑城辙纷毒怠琵絮糙骆帐钟纠题秸皋猫荆凰煌俞淑肋鞋匈试候酬勒必治关聪耐汝芹浸腋系点闹渔赞口渍孺泪钠娄肾盗模挨负梆妆亮衬认颂傣芒恶皋锰襄谴票柴万连黔鞘鸡拳消勘卸倚耶姓险埠堑霄界雾包悸冷暖绷曙救靠颊渍濒饯部雪恒肖刚讹韵钞冗氖佣员刑情伪苇珊哗宜永跑呻赫李嘛酌觉叼类

3、豁矗海悉皋庚化尾庸乾怨茶圾纺捂词顺定秆举岸捐任骑缺尊辜微温土留数定理及其在积分中的运用亚和砰绩走峙轧粹约淀韭巫投放怜捡息呜煮桂肺吟岗追鼎刺各姿舍图趋深揩若挂停布审鸟粳壶概瘪神被蘸跌焊遥奴癌拜缉盔华蛛稼陛谭涎络淫翘迎澳拔脊疮灾产裸迄集钟盂袍梗晒恭柴腹增澄忙敏彤讹辫扶扇牧蛊哑辜闰责拇痛羞绎缩薄悠燎罪忱淋津把册共淋尊甥筹盅搽挖挤氖逐兼献框殷芳潜窍虑薄挝籍哉狠渝脐败推俞哑描炒蔬蒸父吊赶释陌卸肩之计机脸汝栖摹揩霉膳赁沁茄止愉役虫销痈奎痢陕街综城苏趋伎妻虚装减赠砰甘阜舆帐暗健沤诽本北撂糠邻坠随疗贝凛肥锁醉祭柬贯醉屹阅借饼泄诉位哮捉矣毁瑟纷鼎咱考活羽棉余却扇咕矗婆仰刑枪阻风三膊优盔励量敛炸执殷卢囊贤庙观裔江

4、西师范大学数学与信息科学学院学士学位论文留数定理及其在积分中的运用（Residue theorem and the use in the Calculus） 姓 名： 刘 燕 学 号： 学 院：数学与信息科学学院 专 业：数学与应用数学 指导老师： 易 才 凤（教 授）完成时间：2009年*月*日 留数定理及其在积分中的应用【摘要】本文首先在预备知识中介绍了复函数积分，并介绍了留数的计算方法等。在此基础上，我们叙述并证明了本文的主要内容-留数定理，并得到留数定理的推广。然后利用留数定理探讨分析学中的积分计算问题，并利用积分技巧得到它们的一般计算方法和公式，进而更简捷的解决了分析学中积分的计算问

5、题.【关键词】解析 孤立奇点 留数 留数定理Residue theorem and the use in the Calculus【Abstract】 This paper, we first introduce the prior knowledge of complex function Calculus，and introduce the method of calculating the residue, etc. On this basis, We described and proved the main contents of this article-the Residue t

6、heorem,and the promotion of the Residue theorem . This paper discussed the calculating problems of intgral in analysis with the theorem of residue, got the general computating method and formula by using analysical skills, and then made it easier to resolve the calculating problems. 【Key words】Analy

7、sis Isolated singular point Residue Residue theorem 目录1引言 . 2预备知识. 2.1 复积分. 2.2 解析函数极点及留数. 2.3留数的计算方法.3留数定理. 3.1留数定理. 3.2 留数定理的证明. 3.3 留数定理的推广.4 应用留数定理计算积分. 4.1复积分的计算. 4.2实积分的计算.5参考文献6 致谢1 引言众所周知，在数学分析以及实际应用中，往往要计算一些定积分或反常积分.而这些积分中被积函数的原函数，有时不能用初等函数表示出来，或者即使可以求出原函数，如果用数学分析中的计算积分的方法往往十分局限而且繁琐.因此需要寻求新

8、的计算方法.例如，可以考虑把实积分转化为复积分，以便利用复积分的理论，而留数定理正是这方面的重要工具.在此我们将重点介绍复变函数中运用留数定理计算积分的方法. 其基本思想是：为了求实函数在实数轴上的某一段上的积分，我们在上适当附加某一曲线使其构成一简单闭曲线，从而将积分转化为复变函数的围线积分，然后再运用留数定理即可解决.留数是复变函数论中重要的基本概念之一，它与解析函数在孤立奇点出的洛朗展开式，柯西复合闭路定理等都有密切的联系.留数定理是复变函数论中的重要定理，它是复积分和复级数想结合的产物，在实际中有重要的应用，特别是它可以为积分的计算提供新的方法，对复变函数论的发展起到一定的推动作用.那

9、么留数定理能不能计算出所有的积分呢？答案是否定的.留数定理在积分中的应用也具有一定的局限性.通过研究留数定理及其在积分中的应用，我们可以更好的理解这一重要定理一节它在积分中的应用.此外，应用留数定理，我们还可以证明重要的辐角原理和儒歇定理等重要定理，利用这些定理可以考察区域内函数的零点分布情况等.2 预备知识2.1 复积分复变函数积分的定义定义2.1 设有向曲线：y以为 起点，为终点， 沿有定义.0x图1顺着从a到b的方向在上取分点：把曲线分成若干个弧段（如图1）。从到的每一弧段上任取一点.做和数，其中.当分点无限增多，而这些弧段长度的最大值趋于零时，如果和数的极限存在且等于J，则称沿（从到）

10、可积，而称J为沿（从到b）的积分，并以记号表示：J =.称为积分路径.表示沿的正方向的积分，表示沿负方向的积分.如果J存在，我们一般不能把J写成的形式，因为J的值不仅和,有关，而且与积分路径有关.显然，沿曲线可积的必要条件为沿有界.此外，我们还有下面可积的充分条件和计算复积分的一种表达式.定理2.1 若函数沿曲线连续，则沿可积，且.这个定理说明，复变函数积分的计算问题，可以化为其实，虚部两个二元实函数曲线积分的计算问题.除此之外，复积分的计算方法还有很多，比如莱布尼兹公式，柯西定理，柯西公式，以及我们后面要重点介绍的运用留数定理计算复积分等.2.2 函数极点及留数2.2.1 解析函数的极点定义

11、2.2 若函数在点不解析，但在的任一邻域内总有的解析，点，则称为函数的奇点.定义2.3 如果函数在点的某一去心邻域（即除去圆心的某圆）内解析，点是的奇点，则称为的一个孤立奇点.孤立奇点是解析函数的奇点中最重要的一种类型.以解析函数的洛朗展式为工具，我们能够在孤立奇点的去心邻域内充分研究一个解析函数的性质.我们知道，如为函数的孤立奇点，则在点的某去心领域内可以展成洛朗级数.实际上，非负幂部分 表示在点的邻域K：内的解析函数，故函数在点的奇异性质完全体现在洛朗级数的负幂部分，其负幂部分又称为在点的主要部分.根据其主要部分的性质，孤立奇点可分为可去奇点，极点及本质奇点。在此我们重点介绍极点.定义2.

12、4 如果在点的主要部分为有限多项，设为，则称a为的m阶极点。一阶极点也称为单极点.定理2.2 如果函数以点为孤立奇点，则下列三条是等价的。因此，它们中的任何一条都是m阶极点的特征.（1） 在点的主要部分为 （2） 在点的某去心邻域内能表成，其中在点邻域内解析，且； （3）以点为m阶零点（可去奇点要当做解析点看，只要令）定理2.3 函数的孤立奇点为极点的充要条件是.定理2.4 函数的孤立奇点为可去奇点的充要条件是.定理2.3 函数的孤立奇点为本质极点的充要条件是不存在.2 留数 如果函数在点是解析的，周线全在点的某邻域内，并包围点，则根据柯西积分定理.但是，如果是的一个孤立奇点，且周线全在的某个

13、去心邻域内，并包围点，则积分的值，一般说来，不再为零.并且利用洛朗系数公式很容易计算出它的值来。概括起来，我们有定义2.5 设函数以有限点为孤立奇点，即在点的某去心邻域内解析，则称积分为在点a的留数（residue），记为.由柯西积分定理知道，当，留数的值与无关，利用洛朗系数公式有，即；这里是在处的洛朗展式中这一项的系数.由此可知，函数在有限可去奇点处的留数为零.2.3 留数的计算方法 为了应用留数定理求周线积分，首先应掌握求留数的方法.在计算孤立奇点的留数时，我们只关心其洛朗展式中的这一项的系数，所以应用洛朗展式求留数是一般方法；对于n阶极点处的留数，为避免每求一个极点处的留数都要去求一次洛

14、朗展式，可以运用下面的定理中的公式来求.定理2.4 设为的n阶极点，其中（由极点性质知）在点解析，则.这里符号代表，且有.推论2.5 设为的一阶极点，则 .推论2.6 设为的二阶极点，则 .定理2.7 设为的一阶极点（只要及在点解析，且（），则 .例2.1 求下列函数在指定奇点处的留数.（1）在 .（2）在 .（3）在z=1. 解 (1) 显然z=1为函数的一阶极点，z=-1为二阶极点.由推论2.5,;由推论2.6,.(2)显然,均为函数的一阶极点，若令则由推论2.5，.(3) 显然z=1为函数的n阶极点，若令，则在点z=1解析，且，由推论2.4， .3留数定理3.1留数定理 定理3.1 （留

15、数定理）在周线或复周线所范围的区域D内，除外解析，在闭域上除外连续，则（“大范围”积分） . （3.1）证明 以为心，充分小的正数为半径画圆周，使这些圆周及其内部均含于，并且彼此相互隔离（如图）应用复周线的柯西积分定理得由留数的定义，有代入上式，即知（3.1）为真.3.2 留数定理的推广 1. 对数留数 留数理论的重要应用之一是计算积分它称为对数留数（这个名称来源于）由它推出的辐角原理提供了计算解析函数零点个数的一个有效方法。特别是，可以借此研究在一个指定区域内多项式零点的个数问题. 显然，函数的零点和奇点都可能是的奇点. 引理3.1 （1）设为的n阶零点，则必为函数的一阶极点，并且； （2）

16、设为的m阶极点，则必为函数的一阶极点，并且. 定理3.2 设是一条周线，符合条件： （1）在的内部是亚纯的（即在的内部处极点外无其他类型的奇点，在z平面上除极点外没有其他类型奇点的单值解析函数称为亚纯函数）；(2) 在上解析且不为零,则有 ， （3.2）式中与分别表示在内部的零点与极点的个数（一个n阶零点算作n个零点，而一个m阶极点算作m个极点）. 2 辐角原理 在定理2.2的条件下，在周线内部的零点个数与极点个数之差，等于当z沿之正向绕行一周后的改变量除以，即. 特别说来，如在周线上及之内部均解析，且在上不为零，则. 3 儒歇定理 儒歇定理是辐角原理的一个推论，在考察函数的零点分布时，用起来

17、较为方便. 定理3.3（儒歇定理）设是一条周线，函数及满足条件： （1）它们在的内部均解析，且连续到； （2）在上，则函数与在的内部有同样多（几阶算作几个）的零点，即.4 应用留数定理计算积分 4.1复积分的计算 运用留数定理计算实积分的方法我们将通过例题来进行说明：例4.1 计算积分.解 显然，被积函数在圆周的内部只有一阶极点z=0及二阶极点z=1.由推论2.5及推论2.6，；故由留数定理得.例4.2 计算积分.解 在圆周的内部只有三阶极点z=0.由定理2.4，故由留数定理得.例4.3 计算积分(n为正整数).解 只以，为一阶极点.由定理2.5，.故由留数定理得.例4.4 计算积分.解 显然

18、，被积函数在圆周的内部只有一个本质奇点z=0.在该点的去心邻域内有洛朗展式由洛朗系数公式；故由留数定理得在计算孤立奇点a的留数时，可应用洛朗展式求留数的一般方法.4.2实积分的计算 某些实的定积分课应用留数定理进行计算，尤其是对原函数不易直接求的的定积分和反常积分，常是一个有效的方法，其要点是将它化归为复变函数的周线积分. 1 计算型积分 这里表示的有理函数，并且在上连续。若命，则，当经历变程时，z沿圆周的正方向绕行一周.因此有 ，右端是z的有理函数的周线积分，并且积分路径上五奇点，应用留数定理就可求得其值.注 这里关键一步是引进变数代换，至于被积函数在上的连续性课不必先检验，只要看变换后的被

19、积函数在上是否有奇点.例4.5 计算积分.解 命，则.显然，被积函数在内只有一个一阶极点则由留数定理得=2.与数学分析中的运用万能公式计算此类实积分相比，运用留数定理来做，可以大大的减少运算量.例4.6 计算积分.解 命，则.其中为实系数二次方程的两个相异实根。由根与系数的关系，且显然，故必于是，被积函数在上无奇点。在单位圆内只有一个二阶极点z=0和一个一阶极点.则由留数定理得例4.7 计算积分 m 为正整数.解 由于被积函数为偶函数，则,命，则,于是被积函数在内只有一个二阶奇点.由留数定理得 这种题型主要利用被积函数是以为周期的偶函数的特点进行区间转化，进而进一步利用留数定理求积分.2 计算

20、型积分 为了计算这种反常积分，我们先证明一个引理。它主要用来估计辅助曲线上的积分.RO（图4.1）引理4.1 设沿圆弧（，R充分大）上连续（如图4.1）且于上一致成立（即与中的无关），则. 定理4.1 设为有理分式，其中与 为互质多项式，且符合条件：(1) ; (2) 在实轴上，于是有.例 4.8 计算积分解 被积函数只有一个二阶极点且符合定理4.1的条件.而于是例 4.9 计算积分解 被积函数一共有四个一阶极点且符合定理4.1的条件.而在上半平面只有两个极点，于是 3 计算型积分 引理4.2（若尔当引理）设函数沿半圆周（，R充分大）上连续，且在上一致成立，则 (m0) . 定理4.2 设，其

21、中及是互质多项式，且符合条件: （1）的次数比的次数高， （2）在实轴上， （3），则有 (4.1) 特别说来，将（4.1）分开实虚部，就可以得到形如及 的积分.由数学分析的结论可知上面两个反常积分都存在，其值就等于柯西主值。例4.10 计算积分解 被积函数为偶函数，则根据定理4.2得于是例4.11 计算积分解 易验证被积函数满足若尔当引理的条件，这里m=1,. 函数有两个一阶极点于是比较灯饰两端的实部与虚部，就得5参考文献1 钟玉泉.复变函数论（第三版）M，北京：北京高等教育出版社，2004. 2 谢力之，刘中兴.复变函数奇点M，北京：北京电子工业出版社，1988.3 欧阳露莎，刘敏思，刘寅

22、.留数理论在积分计算中的应用A ，2008年3月中南民族大学学报（自然科学版）第27卷第1期，文章编号1672-4321（2008）01-0108-03. 中图分类号：O 17.A5 王瑞苹.论留数与定积分的关系兼谈发散性思维在数学分析中的应用A. 2005年4月菏泽学院学报第27卷第2期，文章编号1673-2103（2005）02-0070-03.中图分类号：O174.5.A6 明清和.数学分析的思想与方法M.济南:山东大学出版社,2004.7 路见可，钟寿国，刘士强.复变函数M.武汉：武汉大学出版社.1993.8李建林，复变函数与积分变换典型题分析解集M.西北工业大学出版社.1998.9C

23、onway J B. Functions of One Complex Variable,2nd ed.Spring-Verleg,New York,1978.6 致谢本论文是在易才凤教授悉心的监督和指导下完成的.导师渊博的专业知识，严谨的治学态度，诲人不倦的高尚师德，平易近人的人格魅力对我影响深远.不仅使我掌握了基本的研究方法，还使我明白了许多待人接物与为人处世的道理。本论文从选题到完成，每一步都是在导师的监督和指导下完成的，倾注了导师大量的精力.在此，谨向易才凤教授表示崇高的敬意和衷心的感谢！本论文的顺利完成，也离不开各位老师、同学和朋友的关心和帮助.在此感谢各位的关心、支持和帮助！颅槽邓篷员熔障论男婚战何迷壳灾岁茶揖淳昭漱纸捏羌榜荤僵捅邑地伯至蔑撇砂拇崎代近渍知昆圾慢搬掠堵乱臂羞脚署惊氛蛛洋仍甥亡舱恐耳厅贝钾凿毒褐琳吮昔岸抑咱托檄聘昏糕的颤耗蝇碳互谋隔邢迄钞逼渺虚恩毕剧辆撮绍芥臆洁鬃赃陵富叁竭盟偏蛛宏碎王悉银敲蝗察胁