完整版平面向量知识点总结

1、平面向量基础知识复习平面向量知识点小结一、向量的基本概念1. 向量的概念：既有大小又有方向的量，注意向量和数量的区别向量常用有向线段来表示注意：不能说向量就是有向线段，为什么？提示：向量可以平移uiurr举例1已知A(1,2) , B(4,2)，则把向量AB按向量5 ( 1,3)平移后得到的向量是 . 结果：(3,0)r2. 零向量：长度为0的向量叫零向量，记作：0，规定：零向量的方向是任意的；LUU uuuAB3. 单位向量：长度为一个单位长度的向量叫做单位向量(与AB共线的单位向量是-UUt)；I AB|4. 相等向量：长度相等且方向相同的两个向量叫相等向量，相等向量有传递性；r 5.平行

2、向量(也叫共线向量)：方向相同或相反的非零向量a、b叫做平行向量，记作：a / b，规定：零向量和任何向量平行.注：相等向量一定是共线向量，但共线向量不一定相等； 两个向量平行与与两条直线平行是不同的两个概念：两个向量平行包含两个向量共线，但两条直线平行不包含两条直线重合； 平行向量无传递性！(因为有0)；,uuur uur , 三点 A、B、C共线 AB、AC共线.6.相反向量：长度相等方向相反的向量叫做相反向量.5的相反向量记作a .举例2如下列命题：(1) 若 |a | | b|，则5 b .(2 )两个向量相等的充要条件是它们的起点相同，终点相同.uur uuu(3 )若AB DC，贝

3、U ABCD是平行四边形.uuu uuu(4 )若ABCD是平行四边形，则 AB DC .(5)若 a b， b c，则 a c.(6 )若a/b，b/C则a/c .其中正确的是 _. 结果：(4)( 5)二、向量的表示方法1. 几何表示：用带箭头的有向线段表示，如AB，注意起点在前，终点在后；r2. 符号表示：用一个小写的英文字母来表示，如a，b，c等；r r3. 坐标表示：在平面内建立直角坐标系，以与X轴、y轴方向相同的两个单位向量 r , r为基底，则平面内的任一向量 可表示为a xiyj (x, y)，称(x, y)为向量a的坐标，a (x, y)叫 做向量a的坐标表示.结论：如果向量

4、的起点在原点，那么向量的坐标与向量的终点坐标相同三、平面向量的基本定理定理 设右,2同一平面内的一组基底向量，a是该平面内任一向量，则存在唯一实数对 (1,2)，使 a 仏 .(1) 定理核心：a也 诂2 ； (2)从左向右看，是对向量a的分解，且表达式唯一；反之，是对向量a的合成.(3)向量的正交分解：当& 时，就说a洛为对向量a的正交分解.举例 3(1)若 a (1,1)，b (1, 1)，c ( 1,2)，则 c .结果：la -b .2 2(2) 下列向量组中，能作为平面内所有向量基底的是Brrrrrrrr 13A. e (0,0)，e2(1, 2) B. e( 1,2)，色(5,7)

5、 C.e(3,5)，e? (6,10)D. q(2, 3) , q -,-24uiur uuruiirruiur uuur r(3) 已知AD, BE分别是 ABC的边BC，AC上的中线，且AD a，BE b ,则BC可用向量a,b表示为 .结果:2a 4b.33uiur uuu uur uuu uur(4) 已知 ABC中，点D在BC边上，且CD 2DB， CD rAB sAC，贝U r s 的值是 .结果：0.四、实数与向量的积实数与向量a的积是一个向量，记作a，它的长度和方向规定如下：(1) 模:| ai | iai；(2) 方向：当 0时，a的方向与a的方向相同，当 0时，a的方向与a

6、的方向相反，当0时，a 0，注意：a 0.五、平面向量的数量积r r uuu r uuu r1.两个向量的夹角：对于非零向量a，b，作OA a，OB b，则把 AOB （0 为向量a，b的夹角.当 o时，a， b同向；当 时，a， b2.平面向量的数量积：如果两个非零向量a， 叫做a与b的数量积（或内积或点积），记作：a反向rb；当 2时，a， b垂直.它们的夹角为 ，我们把数量| a II b I cosrr即 a b i a 11 b i cos .90.uuuuiur uiur|BC| 5，贝U AB BC .规定：零向量与任一向量的数量积是 注：数量积是一个实数，不再是一个向量.,ui

7、urunr举例 4（ 1） ABC 中，|AB| 3， | AC | 4，r i ri rrr rrr r r（2） 已知 a 1,1 ， b 0, - ， c a kb， dab， c 与 d 的夹角为 _，则 k . 结果：1.224rrr（3）已知靑|2， |b| 5，a b 3，则 |a b| . 结果：J23.（4）已知a,b是两个非零向量，且iaiibia bi，则a与a b的夹角为.结果：3oo.3. 向量b在向量a上的投影：|b|cos，它是一个实数，但不一定大于 0.rrr rrr12举例5已知|a| 3，|b| 5，且a b 12，则向量a在向量b上的投影为 .结果：t .

8、54. a b的几何意义：数量积a b等于a的模洛|与b在a上的投影的积.5.向量数量积的性质：设两个非零向量a，b，（1）a b a b o ；（2） 当a、b同向时，a b |1,y2y1)，即一个向量的坐标等于表示这个向量的有向线段的终点坐标减去起点坐标uur 1 uu unruuur11举例 9 设 A(2,3)， B( 1,5)，且 AC 1 AB， AD 3AB，则 C,D 的坐标分别是 . 结果：(1,22),( 7,9).33(4) 平面向量数量积：a b朋2y2.举例 10 已知向量 a (sinx,cosx)，b (sin x,sin x)， c ( 1,0).(1) 若x

9、，求向量a、c的夹角；33r r11(2 )若x 菁，才，函数f(x) a b的最大值为1，求 的值.结果：(1)150。；( 2)1或.2 1 .(5) 向量的模:a2|ar|2x2y2| a |-:/x2y2.(6)两点间的距离：若A(x1, yj，举例11已知a,t3均为单位向量，它们的夹角为60。，那么|a 3b| = _结果：.13.B(X2,y2)，则 |AB| .区 x)25 yJ2 .举例12如图，在平面斜坐标系 xOy中， xOy 60o，平面上任一点P关于斜坐标系 的斜坐标是这样定义的：若 OP x$ y：2，其中e,e2分别为与x轴、y轴同方向的单 位向量，则P点斜坐标为

10、(x, y).(1) 若点P的斜坐标为(2, 2)，求P到O的距离|PO| ;(2) 求以O为圆心，1为半径的圆在斜坐标系 xOy中的方程.结果：(1) 2; (2) x2 y2 xy 1 0 .rarbrbrarbrarbrb)/ rarbrarcrarbrarcrbrcrarbrarbrarbra2ra2XI/brcrcr brarcrararcrarcrar a rera七、向量的运算律1. 交换律：a b2. 结合律：a b3. 分配律：(举例13给出下列命题:r b或 r o r a则o0 ；若ara则 r b rcrclb卡a2r a2r br a(r b r a2其中正确的是_结

11、果：.说明：(1)向量运算和实数运算有类似的地方也有区别：对于一个向量等式，可以移项，两边平方、两边同乘以一个实数，两 边同时取模，两边同乘以一个向量，但不能两边同除以一个向量，即两边不能约去一个向量，切记两向量不能相除(相约)；(2)向量的“乘法”不满足结合律，即a (b C) (a b) c，为什么？八、向量平行(共线)的充要条件r rrr rr 2 r r 2a/bab(ab)2(| a |b|)2举例 14 (1)若向量 a (x,1)， t (4,x)，当 x(2) 已知舌(1,1)， b (4,x)， U a 2b， v(3) 设 PA (k,12)， PB (4,5)， PC (

12、10,k)，x2r2a时，且0 .a与b共线且方向相同.结果：2.u /v，贝U x _结果：4.时，A,B,C共线. 结果：2或11.九、a ba b0 iaUUUUUU特别地ABi iin ccnnAC i ii ir CTCO|AB|AC|向量垂直的充要条件(3,m),X2X1Jucu-c rblWAPlA举例(2)(3)15 (1)以原点 已知nuur 已知 OAluirOBUUU UUU 若 OA OB，贝y mO和A(4,2)为两个顶点作等腰直角三角形 OAB，(a,b)向量n m，且|n| |rm|，贝U rm 的坐标是(1,2),结果:3m 2 ；的坐标是B 90，则点B结果：

13、(b, a)或(b,a).结果:(1,3)或(3,1)；十、线段的定比分点1. 定义：设点P是直线PP2上异于P、F2的任意一点，若存在一个实数则实数 叫做点P分有向线段所成的比占 八、-2.uUJT 使PPmurPP2 ,uuuu，P点叫做有向线段 胃胃的以定比为 的定比分的符号与分点(1) P内分线段(2) P外分线段向延长线上 1P的位置之间的关系UUUIUR P2，即点P在线段PP2上0 ;RB时，点P在线段PP2的延长线上0.1，点P在线段RP2的反注：若点p分有向线段PPU所成的比为，则点p分有向线段uiuuP2P所成的比为丄.举例16若点P分AB所成的比为3，则A分BP所成的比为

14、43.线段的定比分点坐标公式：结果:设 P(X1,yJUUU UL 亠”、P2(*,y2)，点P(x,y)分有向线段PP2所成的比为，则定比分点坐标公式为X1X2x,1 (1y2.11).特别地，当X1时，就得到线段PP2的中点坐标公式yX1X22 ,y1 y22说明：(1)在使用定比分点的坐标公式时，应明确 (x,y)，(心)、区2)的意义，即分别为分点，起点，终点的坐标(2)举例在具体计算时应根据题设条件，灵活地确定起点，分点和终点，并根据这些点确定对应的定比的坐标为.luuu17(1)若 M ( 3, 2) , N(6, 1)，且 MP1 luuur3mn，则点结果:(2)1已知A(a,

15、0)，B(3,2 a)，直线y -ax与线段AB交于MUUUUIUUUr且 AM 2MB，贝U a7(6,寸；结果：2或 4.卜一、平移公式如果点P(x,y)按向量a (h,k)平移至P(x,y)，则x x yh,;曲线 f(x,y) 0按向量 5(h,k)y k.平移得曲线f(x h, y k) 0.说明：(1)函数按向量平移与平常“左加右减”有何联系？ (2)向量平移具有坐标不变性，可别忘了啊!举例18(1)按向量a把(2, 3)平移到(1, 2)，则按向量a把点(7,2)平移到点. 结果：(2)函数y sin 2x的图象按向量5平移后，所得函数的解析式是y cos2x 1，则5 .(8,

16、3);结果： (,1).42.模的性质：|a| |b|5b|5|b|.(1)右边等号成立条件:5、br rr冋向或a、b中有0|5r b|5|r|b(2)左边等号成立条件:5、b,r r , , r 反向或a、b中有0|5r b|5|r|b(3)当5、b不共线|5|r|brr|5 b| |5| |b|.II十二、向量中一些常用的结论1. 一个封闭图形首尾连接而成的向量和为零向量，要注意运用;3.三角形重心公式 在 ABC中，若 A(x,yJ，B(X2,y2)，C(x3,y3)，坐标为xX2x y1y2G( 3y33).举例19若厶ABC的三边的中点分别为 A(2,1)、 B( 3,4)、C( 1, 1)，则 ABC的重心的坐标为结果:2 4!3 35.二角形二心”的向量表示uur PC) G ABC 的重心,(1)uuuPG1 juuuuu(PA PB特别地PAuunPBuuu rPC 0G为 ABC的重心.(2)ULH PAuunPBuju ujuPB PCuur uuiPC PAP ABC的垂心.(3)uuuuuuu| AB|PCULULr ULU | BC | PAuuur uur |CA | PBPABC的内心;向量umrABi ii imUUJILI|AB|uuuAC1 11 irUXIUII AC I0)所在直线过 ABC的内心.uuuu6.点P分