完整版平面向量练习题集答案

1、平面向量练习题集答案典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题： 向量AB的长度与BA的长度相等； 向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反； 两个有共同起点的单位向量，其终点必相同； 向量AB与向量CD是共线向量，则 A、B、C、D必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故错；显然错；AB与CD是共线向量，则A、B、C、D可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故错.故是真命题的只有【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个 反例即可.【变式训练1】下列各式: |a|= , a?a

2、； (a?b) ? c= a? (b?c); OA OB = BA ；在任意四边形 ABCD中，M为AD的中点，N为BC的中点，贝U AB + DC = 2 MN ；a = (cos a, sin a,b= (cos B, sin 3，且 a 与 b 不共线，则(a+ b)丄(a b).其中正确的个数为(A.1D.4C.3B.2正确;【解析】选D.| a| =BA正确；如下图所示,MN = MD + DC +CN 且 MN = MA + AB + BN ,两式相加可得2MN = AB + DC，即命题正确;因为a, b不共线，且|a|= |b|= 1，所以a+ b, a b为菱形的两条对角线,

3、即得(a+ b)丄(a b).所以命题正确题型二 与向量线性运算有关的问题【例2】如图，ABCD是平行四边形，AC、BD交于点0,点M在线段DO上，且DM二丄DO，点N在线段OC上，且ON二丄OC ,设AB =a, AD =b,试用33a、b 表示 AM，An，MN .【解析】在？ABCD中，AC，BD交于点O，1 1 1所以 DO = 2DB = 2（ AB AD ） = 0 b）, 1 1 1 AO = OC = 2 AC = 2（ AB + AD ） = 2（a+ b）. 1 1 又 DM = 3 DO , ON = 3OC ,1 所以 AM = AD + DM = b + 3 DO1

4、115=b + 3（a b） = 6a + 6b,一. 一. 一 一- 1 一- AN = AO + ON = OC + OC44 12=3OC = 3 2（a + b） = 3（a + b）.所以 MN = AN AM2 1511=3（a+ b） （6a + 6b）= 2a 6【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形【变式训练2】O是平面a上一点，A、B、C是平面a上不共线的三点，平面a内的动点P满足OP =OA + % AB + AC），若 & 扌时，则 PA ? （ P

5、B + PC ）的值为.【解析】由已知得OP OA = % AB + AC），1 一 1 即 AP = %AB + AC），当 %= 2 时，得 AP = 2（ AB + AC），所以 2AP = AB + AC，即 AP AB = AC AP，所以BP = PC，所以 PB + PC = PB + BP = 0，所以 PA ? (PB + PC) = PA?0 = 0,故填 0.题型三向量共线问题【例3】 设两个非零向量a与b不共线.若 AB = a+ b, BC = 2a + 8b, CD = 3(a b),求证：A, B, D三点共线；试确定实数k，使ka+ b和a + kb共线.【解析

6、】(1)证明：因为 AB = a+ b, BC = 2a+ 8b, CD = 3(a b),所以 BD = BC + CD = 2a + 8b + 3(a b) = 5(a + b) = 5 AB ,所以AB , BD共线.又因为它们有公共点 B,所以A, B, D三点共线.因为ka + b和a + kb共线,所以存在实数 入使ka+ b= Xa + kb),所以(k Xa =(入1)b.因为a与b是不共线的两个非零向量，所以k X=入k 1 = 0,所以k2 1 = 0,所以k=.【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的 其他向量，要注意待

7、定系数法的运用和方程思想证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线【变式训练3】已知0是正三角形BAC内部一点，OA+2OB +3OC =0,则厶OAC的面积与厶OAB的面积之比是()A3A.2B.fC.2D-3【解析】如图，在三角形 ABC 中， OA + 20B + 3 0C = 0，整理可得 0A + 0C + 2(0B + 0C )= 0.1令三角形ABC中AC边的中点为 E, BC边的中点为F,则点O在点F与点E连线的处，即OE = 2OF.1h h 1设三角形 ABC 中 AB 边上的高为 h，贝U Sa

8、c= Szoae + Szoec = ?0E? + 2)= 2OE h,1 1 1Szoab= 2AB ?2h= 4AB h,由于 AB = 2EF , OE = EF，所以 AB= 30E ,1S8AC所以S/OABOE?h 21-AB?h42=3.故选B.总结提高1向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线（即重合）的情形，而向量平行则包括共线（即重合）的情形2判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个 向量表示出来3当向量a与b共线同向时,|a+ b|= |a|+ |b|;当向量a与b共线反向时，|a + b|= |a|b|;

9、当向量a与b不共线时，|a+ b|v |a|+ |b|.典例精析题型一 平面向量基本定理的应用【例1】如图？ABCD中,M,N分别是DC , BC中点已知AM =a, AN =b,试用a, b表示AB , AD与AC【解析】 易知AM = AD + DM1 - =AD +2AB,1 AN = AB + BN = AB + 2 AD ,1AD -AB a,即21 -AB AD b.22 2所以 AB = 3（2b a）, AD = 3（ 2a b）.2所以 AC = AB + AD = 3（a+ b）.【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值

10、得仔细领悟【变式训练1】已知D为/ ABC的边BC上的中点， ABC所在平面内有一点 P,满足PA + BP + CP=o,则LPD1等于（）|AD|11AB.C.1D.23 2PB + PC = 2PD，因【解析】由于D为BC边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知| PD |此结合PA + BP + CP = 0即得PA = 2PD，因此易得P, A, D三点共线且 D是RA的中点，所以 |AD|=1即选C.题型二向量的坐标运算【例 2】 已知 a= (1, 1), b = (x, 1), u = a + 2b, v= 2a b.(1) 若 u = 3v,求 x; (2)若 u /

11、 v,求 x.【解析】因为a= (1, 1), b= (x, 1),所以 u= (1 , 1) + 2(x, 1) = (1 , 1) + (2x, 2)= (2x+ 1, 3),v= 2(1, 1) (x, 1) = (2 x, 1).(1) u = 3v? (2x + 1, 3) = 3(2 x, 1)? (2x+ 1 , 3)= (6 3x , 3),所以 2x+ 1 = 6 3x ,解得 x = 1.(2) u / v ? (2x + 1, 3) = ?(2 x , 1)? 2x 1(2 x),3? (2x+ 1) 3(2 x) = 0? x= 1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量

12、相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.n nn nrrr【变式训练2】已知向量an=(COS7 ,si门7亦 N*) ,|b|= 1.则函数y=|a1+ b|2 +念+b|2+念+b|2+ |a141+ b|2的最大值为 .n【解析】设 b= (cos0,sin0),所以 y= |ab|2+|a2 + b|2+ |a3+b|2+ - + |aw + b|2=(a1 )2+ b2 + 2(cos7 ,n141 n 141 nnsin7)(cos 0, sin 0 + + (a141)2+ b2+ 2(cos, sin )(cos 0 sin 0)= 282 + 2cos(7 0),所

13、以 y 的最大 值为284.题型三 平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知 ABC的角A , B , C所对的边分别是a , b , c ,设向量m = (a , b) , n = (sin B , sin A) , p= (b 2 , a 2).(1)若m / n ,求证： ABC为等腰三角形；若mlp,边长c= 2,角C = n求厶ABC的面积.【解析】(1)证明：因为 m/ n ,所以asin A = bsin B.由正弦定理，得 a2= b2 ,即a = b.所以ABC为等腰三角形.因为m丄p,所以m p= 0，即a(b 2) + b(a2) = 0，所以 a+ b= ab.由余弦定理

14、，得 4 = a?+ b? ab = (a+ b)? 3ab,所以(ab)2 3ab 4= 0.所以ab= 4或ab= 1(舍去).1i所以 Szabc= ?absin C = ?X4【点拨】设 m= (xi, yi), n = (x2, y2),则m n? xiy2 = x2yi : m n? xix2 + yiy2= 0.【变式训练3】已知a, b, c分别为 ABC的三个内角A, B, C的对边，向量m = (2cosCi, 2), n =(cos C, cos C+ 1).若mln,且a + b = 10,则厶ABC周长的最小值为()A.10 5 .3B.10 + 5 .3C.10 2

15、,3D.10 + 2,31【解析】由 m丄 n 得 2cos2C 3cos C 2 = 0,解得 cos C= q或 cos C= 2(舍去)，所以 c2= a2 + b2 2abcosC= a2 + b2 + ab= (a + b)2 ab= 100 ab,由 10= a + b2 . ab? ab75，即 c 5 3，所以 a + b+ c 10+ 5 ,3，当且仅当a = b = 5时，等号成立故选B.典例精析题型一利用平面向量数量积解决模、夹角问题【例1】 已知a, b夹角为120且|a|= 4, |b|= 2，求:(1) |a + b|;(2) (a+ 2b) (a + b);(3)

16、 a与(a+ b)的夹角0.【解析】(1)(a+ b)2= a2+ b2 + 2a b=16 + 4 2 4 X2 弓=12,所以 |a+ b|= 2 .3.2 2(2)(a+ 2b) (a + b) = a2 + 3a b + 2b21=16 3 X4 K+ 2 = 12.(3) a (a+ b)= a2+ a b= 16-4 2 弓=12.所以cos 0=a?(a b)lalla b|124 .3窪所以7t=6.【点拨】禾U用向量数量积的定义、性质、运算律可以解决向量的模、夹角等问题【变式训练1】已知向量a, b, c满足:|a|= 1, |b|= 2, c= a+ b,且c丄a,则a与b

17、的夹角大小是 【解析】由c丄a? c a = 0? a2 + a b = 0,1所以 cos 0=- 2,所以 0= 120 题型二利用数量积来解决垂直与平行的问题【例2】 在厶ABC中，AB = (2, 3), AC = (1 , k)，且 ABC的一个内角为直角，求 k的值.【解析】当/ A= 90时，有AB AC = 0,2所以 2 + 3 k= 0,所以 k=- 2;3 当/B= 90 时，有 AB BC = 0,又 BC = AC AB = (1 2, k 3) = ( 1, k 3),11所以 2 1) + 3 k 3)= 0? k = 3; 当/C= 90 时，有 AC BC =

18、 0,所以一1 + k (k 3) = 0, 所以 k2 3k 1 = 0? k= 3 2 13.2113 13所以k的取值为一3, 或一匸.【点拨】因为哪个角是直角尚未确定，故必须分类讨论在三角形中计算两向量的数量积，应注意方向 及两向量的夹角.【变式训练 2】 ABC中，AB = 4, BC= 5, AC = 6,求 AB BC + BC 【解析】因为2 AB CA + CA BC + 2BCAB. CA + 2CA AB* ” *Ll丄丄丄=(AB BC + CA-AB)+(CA AB + BC CA)+ (BC CA + BC AB)=AB ( BC + CA) + CA ( AB +

19、 BC ) + BC (CA + AB )=AB BA + CA AC + BC CB=-42-62 - 52= 77.所以 AB BC + BC CA + CA AB =马.题型三平面向量的数量积的综合问题【例3】数轴Ox, Oy交于点0,且/ xOy=n构成一个平面斜坐标系，厲，良分别是与Ox, Oy同向3的单位向量，设P为坐标平面内一点，且 OP = xei+ ye2,则点P的坐标为(x, y),已知Q( 1, 2).(1) 求|OQ |的值及OQ与Ox的夹角；过点Q的直线I丄OQ，求I的直线方程(在斜坐标系中).1【解析】(1)依题意知，ei e2 = 2，且 OQ = e1 + 2e2,所以 OQ 2= ( &+ 2e2)2 = 1 + 4 4e1 e2= 3.所以|Oq |= 3又 OQ e1 = ( e1 + 2e2) e1 = e1+ 2e1 ? e2= 0.所以OQ丄&,即卩OQ与Ox成90。