概率论第六章习题解答

1、概率论第六章习题解答1、 在总体N(52,6.32)中随机抽取一容量为36的样本，求样本均值X落在50.8与53.8之间的概率。解因为N(52,6.32)，所以2、 在总体N(12,4)中随机抽取一容量为5的样本Xi，X2，X3，X4，X5，(1) 求样本均值与总体均值之差的绝对值大于1的概率。(2) 求概率 Pmax( Xi,X2,X3,X4,X5)15，Pmin( Xi,X2,X3,X4,X5) 101 54解 (1)总体均值为4=12 ,，样本均值X瓦XjLN(12；)5 N45所求概率为(2) Pmax( X1,X2,X3,X4,X5) 15 =1Pmax( X1,X2,X3,X4,X

2、5)乞15=1 -(门(1.5)5 =1 -(0.9332)5 =0.2923 .(3) Pmin( X1,X2,X3,X4,X5) 103、 求总体N(20,3)的容量分别为10,15的两个独立样本均值差的绝对值不超过0.3的概率。解 设容量为10的样本均值为X，样本容量为15的样本均值为Y，33331则xL(20,)，H (20,)，(X-Y)Ln(0,) = N(0)101510 1524、 ( 1)设 X1,X2I(,X6 样本是来自总体 N(0,1)，Y=(X1 X2 X3)2 (X4 X5 X6)2，试确定常数C,使CY服从2分布。(2) 设X1,X2, IHX5来自总体N(0,1

3、)样本，Y二C(X1 X2) 1，试确定常数C使Y服(X；+X：+X从t分布。(3) 已知 X LI t( n)，求 X2L F(1, n)解 (1)因为Xi,X2,X6是来自总体N(0,1)的样本，由 Xi L N( 门2)知(Xi X2 Xn)N(叫:卜二2 n,；2 匚2 yf)故Xi X2 X N(0,3) , X4 X5 X N(0,3),且相互独立，因此x X2X3X4 X5 X6|L3N( 0 ,i-5_ L N(0,1),3、3且两者相互独立，由Xi2,X；|(,X：是来自总体N(0,1)的样本，则统计量由2分布的定义知即丫 L 2 (2)，所以C。33(2)因为设Xi,X2,

4、|l(,X5是来自总体N(0,1)的样本Xi X2L N(0,2)，即有 Xi X2 L N(0,1)，又有 XX： - x|L 2(3)因此所求常数为其中ZL|N(0,i)，yL 2( n)，且Z，丫相互独立，按F分布的定义知X2 L F(1,n)。5、( 1)已知某种能力测试的得分服从正态分布NC；2)，随机地取10个人参加这一测试，求他们的联合概率密度，并求这10个人得分的平均值小于 的概率(2)在(1)中设亠-62，匚2 =25，若得分超过70就能得奖，求至少有一人得奖 的概率。解 设Xi表示参加测试的i个人的得分(i=1,2川|,10 )，则X丄N(Pq2),1 ZfX(x) ：彳寸

5、，- 0 ，-: :： x ：.2-7由于Xi,X2,|l(,Xio相互独立，所以它们的联合的联合分布密度为1 10 1 10 1 10又 X 血Xi，E（XrE（10；Xi）竝EW_ 2 故XL n(7)，则10(2) 因为X丄N(62,25)，若一人得分超过70就能得奖，则一人得奖的概率为则10个人得奖可以看作是一个二项分布：b(10,0.0548)，设A表示没有人得奖,即至少有一得奖的概率为0.4308。6、设总体XL|b(1,p)，X1,X2,|l(,Xn是来自总体的样本。(1) 求 (X1,X2,|l(,Xn)的分布律；n(2) 求a Xi的分布律；y(3) 求 E(X)，D(X)，

6、E(S2)解 (1)因为 X1,X2,|l(,Xn相互独立，且有 XiLb(1,p)，i =1,21,n，即Xi具有分布律PX二xj二p(1 - p)1，为=0,1，因此(X1,X2，川,Xn)分布律为(各个样本的分布律的乘积)n(2)因为 X1,X2l(,Xn相互独立，且有 X丄 b(1,p)，故 XiL b(n, p)，iH其分布律为7、设总体 xL 2(n)，X1,X2，川，X10 是来自 X 的样本，求 E(X)，D(X)，D(S2)。 解 因为 xL 2(n)，所以 E(Xi)=E( j= n，D(Xi)=D( 2) =2n i=1,2,Hl,10因为E( X A D(iX+)(Ei

7、fx=) ) + n2 n10所以E(s2)=丄(、(2n n2) -10(- n2)9 y58、总体 X|_N(,2), Xi,X2,|l(,Xio 是来自 X 的样本,(1)写出Xi,X2,|l(,Xio的联合分布密度;(2)写出X的概率密度。解 (1)X1,X2,|I(,X10联合概率密度_ _ 2(2)因为 E(X)二 i， D(X)二10(X J2所以 MX*10。_般地XLNZ2小初才(X严 n)2。9、设在总体xLn(；2)中抽取一容量为16的样本，这里，二2均为未知S2(1)求P%空2.041;其中S2为样本方差。a(2) D(S2)。解 (1)设X1,X2I(,X16为总体的一个样本，则由教材P143定理二知S2s2从而 P= _2.041 =P152 -15 2.041( n-1 = 15).(查表,n-1=15，2( n-