概率论与数理统计03-第三节-条件概率与全概率公式

1、第三节条件概率与全概率公式先由一个简单的例子引入条件概率的概念内容分布图示概念引入条件概率的定义乘法公式例1例2例4例5例6例3全概率公式例7例8例9贝叶斯公式例10例11例12例13例14内容小结课堂练习习题1-4内容要点：一、条件概率的概念在解决许多概率问题时，往往需要在有某些附加信息(条件)下求事件的概率如在事 件A发生的条件下，求事件B发生的条件概率，记作P(B|A).定义1设A,B是两个事件,且P(A) 0，则称P(B|A)P(AB)=P(A)(1)为在事件A发生的条件下，事件B的条件概率相应地，把P(B)称为无条件概率。一般地，P(B | A) -P(B).注：1.用维恩图表达(1

2、)式若事件A已发生，则为使B也发生，试验结果必须是既在 A中 又在B中的样本点，即此点必属于 AB .因已知A已发生，故A成为计算条件概率P(B|A)新的样本空间2.计算条件概率有两种方法：a) 在缩减的样本空间 A中求事件B的概率，就得到 P(B | A)；b) 在样本空间S中，先求事件P(AB)和P(A)，再按定义计算 P(B|A)。二、乘法公式由条件概率的定义立即得到：P(AB) =P(A)P(B | A) (P(A) 0)注意到AB =BA，及A，B的对称性可得到：P(AB)二P(B)P(A| B) (P(B) 0)和(3)式都称为 乘法公式，利用它们可计算两个事件同时发生的概率三、全

3、概率公式全概率公式是概率论中的一个基本公式。它使一个复杂事件的概率计算问题，可化为在不同情况或不同原因或不同途径下发生的简单事件的概率的求和问题。定理1设A，凡,，An，是一个完备事件组，且P(A)Oi=1,2,，则对任一事件B,有P(B)=P(AjP(B| AM卜 P(An)P(BlAj 注：全概率公式可用于计算较复杂事件的概率，公式指出：在复杂情况下直接计算P(B)不易时，可根据具体情况构造一组完备事件,使事件B发生的概率是各事件A(i ,2，)发生条件下引起事件 B发生的概率的总和四、贝叶斯公式利用全概率公式，可通过综合分析一事件发生的不同原因、情况或途径及其可能性来求得该事件发生的概率

4、下面给出的贝叶斯公式则考虑与之完全相反的问题，即，一事件已经发生，要考察该事件发生的各种原因、情况或途径的可能性例如，有三个放有不同数量和颜色的球的箱子，现从任一箱中任意摸出一球，发现是红球，求该球是取自1号箱的概率或问:该 球取自哪号箱的可能性最大 ？定理2设A，A2,，代,是一完备事件组，则对任一事件B,P(B) 0,有P(A |B)=P(A B)P(bTP(Ai)P(B|Ai) P(Aj)P(B| Aj) ji =1,2/ ,贝叶斯公式注：公式中，P(A)和P(A | B)分别称为原因的 验前概率 和验后概率 P(AJ(i =1,2，)是 在没有进一步信息(不知道事件B是否发生)的情况下

5、诸事件发生的概率当获得新的信息(知道B发生),人们对诸事件发生的概率P(A |B)有了新的估计贝叶斯公式从数量上刻划了这种变化特别地若取n =2,并记A = A ,则A2 = A，于是公式成为P(A|B)=Pp(a)p(B|P(B) P(A)P(B |A) +P(A)P(B| A)例题选讲：条件概率例1 (讲义例1) 一袋中装有10个球，其中3个黑球，7个白球，先后两次从袋中各取一 球(不放回)(1) 已知第一次取出的是黑球，求第二次取出的仍是黑球的概率；(2) 已知第二次取出的是黑球，求第一次取出的也是黑球的概率解 记Ai为事件 第i次取到的是黑球”(i =1,2).(1) 在已知A1发生，

6、即第一次取到的是黑球的条件下，第二次取球就在剩下的2个黑球、7个白球共9个球中任取一个，根据古典概率计算，取到黑球的概率为2/9,即有P(A2| A) =2/9(2) 在已知A2发生，即第二次取到的是黑球的条件下，求第一次取到黑球的概率但第一次取球发生在第二次取球之前，故问题的结构不像(1)那么直观.我们可按定义计算 P(A| | A?)更方便一些由 P(A|A2)=P32P2115p(A2)嗚=,P(A IA2)二P(AiA2)P(A2)例2(讲义例2)袋中有5个球，其中3个红球2个白球现从袋中不放回地连取两个已知第一次取得红球时，求第二次取得白球的概率解法1 设A表示 第一次取得红球”，B

7、表示 第二次取得白球”，依题意要求P(B| A).缩减样本空间 a中的样本点数，即第一次取得红球的取法为p3p4，其中，第二次取得白球的取法有P3P2种，所以P(B|A) =_密=丄p3p42也可以直接用公式(1)计算，因为第一次取走了一个红球，袋中只剩下4个球，其中有两个白球，再从中任取一个，取得白球的概率为 2/4,所以P(B| A) 2/4 1/2.解法2 设A表示 第一次取得红球”，B表示 第二次取得白球”，求P(B | A).在5个球中不放回连取两球的取法有F52种，其中，第一次取得红球的取法有P3P4种，第一次取得红球第二次取得白球的取法有p3p2种，所以P(A)二p3p42W，P

8、(AB)P3P21P5210由定义得 P(B | A) =P(AB)二3!0 JP(A) 3/52乘法公式例3 (讲义例3) 一袋中装10个球，其中3个黑球、7个白球，先后两次从中随意各取一球(不放回)，求两次取到的均为黑球的概率 分析：这一概率，我们曾用古典概型方法计算过，这里我们使用乘法公式来计算在本例中，问题本身提供了两步完成一个试验的结构，这恰恰与乘法公式的形式相应，合理地利用问题本身的结构来使用乘法公式往往是使问题得到简化的关键解 设A表示事件 第i次取到的是黑球”(i =1,2)，则A1 A2表示事件 两次取到的均为黑球”.由题设知P(AJ 3，p(a2|A)=2109于是根据乘法

9、公式，有P(A A2)二P(A1)P(A2| A)-10 915例4设袋中装有r只红球，t只白球每次自袋中任取一只球，观察其颜色然后放回，并再放入a只与所取出的那只球同色的球若在袋中连续取球四次，试求第一，二次取到红球且第三，四次取到白球的概率.解以Aj(i =1,2,3,4)表示事件 第i次取到红球”，则A3,A4分别表示事件第三、四次取到白球所求概率为卩3上2瓦3瓦4)=P(Ai) P(A2|A0 P(A3|Aia2)P(A4|AAA3)_ r r a tt ar t r t a r t 2a r t 3a.例5 (讲义例4)设某光学仪器厂制造的透镜，第一次落下时打破的概率为 1/2,若第

10、- 次落下未打破，第二次落下打破的概率为 7/10,若前两次落下未打破，第三次落下打破的概 率为9/10.试求透镜落下三次而未打破的概率解 以A (i =1,2,3)表示事件透镜第i次落下打破”，B表示事件透镜落下三次而未打破”.为B二A,A2A3,故有P(B)北(人入2耳)=P(A)P(A2 IA1)P(A3lAAj2 10 10 200.例 6 已知 P(A) =0.3, P(B) =0.4， P(A|B)=0.5,试求 P(B| A B), P(A B | A B).因此 P(B | A)二 P(AB) n02P(A) 0.3P(B| A B)二P(B(A B)P(A B)解由乘法公式，

11、P(AB) =P(A|B)P(B) =0.5 0.4 =0.2, =2,又因为B二A B,所以B(A B)二B,从而3P(B)044P(AB) _10.23P(A B) - 一 0.5 一 5P(A) P(B) - P(AB) 0.3 0.4 -0.2 5P(A B | A B) =P(AB|A B)=1_P(AB|A B) =1例7 一袋中装有10个球，其中3个黑球、7个白球，从中先后随意各取一球(不放回) ， 求第二次取到的是黑球的概率 .解 这一概率，我们前面在古典概型中已计算过，这里我们用一种新的方法来计算将事件 第二次取到的是黑球”根据第一次取球的情况分解成两个互不相容的部分，分别计

12、算其概率，再求和.记A, B为事件 第一、二次取到的是黑球”，则有P(B)二P(AB) P(AB)= P(A)P(B| A) P(A)P(B| A)3723由题设易知 P(A) , P(A) , P(B |A), P(B| A) ,101099于是 P(B) 3 2 3310 9 10 9 10全概率公式例8 (讲义例5)人们为了解一支股票未来一定时期内价格的变化，往往会去分析影响股票价格的基本因素，比如利率的变化.现假设人们经分析估计利率下调的概率为60%,利率不变的概率为 40%.根据经验，人们估计，在利率下调的情况下，该支股票价格上涨的概率 为80%，而在利率不变的情况下，其价格上涨的概

13、率为 40%,求该支股票将上涨的概率.解 记A为事件 利率下调”，那么A即为 利率不变”，记B为事件 股票价格上涨” 依题设知 P(A) =60%，P(A) =40%，P(B|A) =80%，P(B|A) =40%，于是P(B) =P(AB) P(AB) =P(A)P(B| A) P(A)P(B| A) =60% 80% 40% 40% =64%.例9某商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂每箱装100个，废品率为0.06,乙厂每箱装120个，废品率为0.05,求：(1) 任取一箱，从中任取一个为废品的概率；(2) 若将所有产品开箱混放，求任取一个为废品的概率.解 记事件

14、A、B分别为甲、乙两厂的产品，C为废品，贝U303202 P(A), P(B), P(C | A) =0.06, P(C |B) =0.05505505由全概率公式，得 P(C) =P(A)P(C |A) P(B)P(C|B) =0.056(2) P(A)二30 和 0030 100 20 120P(B)二20 心2030 100 20 120P(C |A) =0.06, P(C | B) =0.05由全概率公式，得 P(C) =P(A)P(C|A) P(B)P(C|B) ： 0.056.例10 一袋中有10个球，其中3个黑球，7个白球，从中先后随意各取一球(不放回),假设已知二次取到的球为黑

15、球，求 第一次取到的也是黑球”的概率.解 设 第一次取到的是黑球”这一事件为A,第二次取到的是黑球 ”这一事件为B,则问题归结为求条件概率P(A|B).根据贝叶斯公式，有P(A|B)二P(A)P(B| A)P(A)P(B|A) P(A)P(B | A)据题涉及例7的结果易知P(A) =3/10, P(B | A) =2/9, P(A) =7/10, P(B | A) =2/9,从而P(A(3/10)爲囂爲(3/9)例11 (讲义例6)对以往数据分析结果表明，当机器调整得良好时，产品的合格率为 98%,而当机器发生某种故障时 ，其合格率为55%.每天早上机器开动时，机器调整良好的 概率为95%.

16、试求已知某日早上第一件产品是合格时 ，机器调整得良好的概率是多少 ？解 设A为事件 产品合格”，B为事件 机器调整良好”.P(A|B) =0.98, P(A| B) =0.55, P(B) =0.95, P(B)=0.05,所求的概率为 P(B|A) =P(A|B)P(B)_一一 =0.97.P(A|B)P(B) +P(A|B)P(B)这就是说，当生产出第一件产品是合格时，此时机器调整良好的概率为0.97.这里，概率0.95是由以往的数据分析得到的，叫做先验概率而在得到信息(即生产的第一件产品是合格品)之后再重新加以修正的概率(即0.97)叫做 叫做后验概率例12 设某批产品中,甲，乙 丙三厂

17、生产的产品分别占45%, 35%, 20%,各厂的产品的次品率分别为4%, 2%, 5%,现从中任取一件，(1) 求取到的是次品的概率；(2) 经检验发现取到的产品为次品，求该产品是甲厂生产的概率.解 记事件A :该产品是次品”，事件A :该产品为乙厂生产的”，事件A3 :该产品为 丙厂生产的”，事件B:该产品是次品”.由题设，知P(A)=45%, P(A2)=35%, P(A3)=20%, P(B|Ai)=4%, P(B|A2)=2%, P(B|A3)=5%,3(1) 由全概率公式得 P(B)=瓦P(A)P(B|A) =3.5%.i A(2) 由贝叶斯公式(或条件概率定义)，得卩=嗨=比凹空

18、51.4%.P(B) P(B)例13根据以上的临床记录，某种诊断癌症的是眼睛有如下的效果：若以A表示事件“试验反应为阳性”，以C表示事件“被诊断者患有癌症”，则有P(A|C) =0.95, P(A|C) =0.95 现在对自然人群进行普查，设备试验的人患有癌症的概率为0.005,即P(C) =0.005，试求P(C|A).解由题设，有P(C) =1 - P(C) =0.995, P( A| C) =1 - P(A |C) =0.05,由贝叶斯公式，得 P(C| A)P(A|C)P(C)0.087.P(A|C)P(C) +P(A|C)P(C)注：本题表明，虽然P(A|C) =0.95, P(A|C) =0.95,这两个概率都比较高，但P(C |A) =0.087,即平均1000个具有阳性反应的人中大约只有87人确患癌症.例14 8支步枪中有5支已校准过，3支未校准.一名射手用校准过的枪射击时 ，中靶的 概率为0.8;用未校准的枪射击