基本不等式练习题含答案

1、基本不等式11 .函数y=x+ -(x0)的值域为().XA.2 U 2,+x)B. (0,+x)C. 2 ,+x)D . (2,+x)a + bi2. 下列不等式：a(2)已知0v xv 5,贝U y= 2x 5x2的最大值为.若x, y (0,+x)且2x+ 8y xy= 0,贝U x+ y的最小值为.利用基本不等式证明不等式【例 2 ?已知 a0, b0, c0,求证：bC+ 学+ aba+ b+ c.a b c + 12a；- - 1,其中正确的个数是pabx 十 1（2010四川）设ab0,贝U a2+ +的最小值是（）.ab a a bC. 3().A. 0 B . 1C. 2 D

2、 . 33. 若a0, b0,且a + 2b 2 = 0,则ab的最大值为().1B. 1C. 2D. 414. (2011重庆)若函数f(x) = x+(x2)在x= a处取最小值，则a=().X 2A. 1+ 2 B. 1+ 3 C. 3 D. 4t2 4t+ 15. 已知t0,则函数y= t的最小值为利用基本不等式求最值1 1【例1】?(1)已知x0, y0,且2x+y= 1,则x + y的最小值为X y2x当x0时，贝U f(x)= x2+ 1的最大值为1【训练1】(1)已知x 1,则f(x) = x+一 的最小值为x I【训练2】 已知a0, b0, c0,且a+ b+ c= 1.1

3、 1 1 求证：一+匚+9.a b c利用基本不等式解决恒成立问题x【例3】?（2010 山东）若对任意x0, x2+ 3x+ 三a恒成立，则a的取值范围是 【训练3】（2011宿州模拟）已知x0, y0, xy= x+ 2y,若xym 2恒成立, 则实数m的最大值是.考向三利用基本不等式解实际问题【例3】？某单位建造一间地面面积为12 m2的背面靠墙的矩形小房，由于地理位 置的限制，房子侧面的长度x不得超过5 m.房屋正面的造价为400元/m2,房 屋侧面的造价为150元/m2,屋顶和地面的造价费用合计为 5 800元，如果墙高 为3m,且不计房屋背面的费用当侧面的长度为多少时，总造价最低？

4、 1双基自测1.答案 C1 12解析 不正确，正确，/ +孑亍二(x2+ 1) + 齐1 121二1.答案 B13. 解析v a0, b0, a + 2b = 2,二 a + 2b= 22.2ab，即 ab2 时，x 20, f(x)= (x 2) + x-2 + 22 寸 x 2 X+ 21二4,当且仅当x 2二严(x2),即x= 3时取等号，即当f(x)取得最小值时，xx2=3,即a = 3.答案 Ct24t+ 115. 解析 v t0,二 y=t= t+1 42 4= 2,当且仅当 t= 1 时取等号.答案 2【例 1】解析(1) v x0, y0,且 2x+y= 1,+J4 + 4=

5、3 + y +生3+ 2頁.当且仅当匕空时，取等号.x y x yx yx y2x 2 2 1 v x0,. f(x) = x2+2x十w 2= 1,当且仅当x= J即x= 1时取等号.答x+x案(1)3+ 2 2 (2)1 1【训练 1.解析(1) Vx 1,二 f(x)= (x 1) + + 12+ 1 = 3 当且仅当 xx 12一 5 5xv 2,22 1=2 时取等号.(2)y = 2x 5x2= x(2 - 5x) = 55x(2 5X),5x + 2 一 5x15x0,. 5x(2 5x) 2= 1 , y 10+ 2X 2X= 18,x yx yx y. x y ，当且仅当 4

6、y= x，即 x= 2y 时取等号，又 2x+ 8y xy= 0,. x= 12, y= 6,x y当 x= 12, y= 6 时，x+ y 取最小值 18.答案 (1)3 (2# (3)18【例 2】证明/a0, b0, c0, bc+ 甲2bcca = 2c； bc+ ab2a b a ba c：加2b ； -+瞥2- Ob - 2a.以上三式相加得：2齐?+学2(abc ca ab , + b+ c)，即 + , + a+ b+ c. a b c111a + b+ c 【训练 2 证明 / a0, b0, c0,且 a+ b+ c= 1,二一+乙+一=+a b c aa+七+a+ 二 3

7、+b+c+b+?+a+3+ ?+a+a+a + e+bbca a b b c c a b a c b c1 3+ 2+ 2+ 2= 9,当且仅当a= b= c=3时，取等号.XX解析 若对任意x 0, x2+ 3x+ w a恒成立，只需求得 尸x2 + 3x+的最大值即1 xx15当且仅当可，因为 x 0,所以 y=x2+ 3x+ 1 = 口W x+3 2x11等号，所以a的取值范围是5，+答案 5，+【训练3】解析 由x0,y0,xy= x+ 2y 2 - 2xy,得 xy 8,于是由恒成立，得m 28, m 10,故m的最大值为10.答案 10一 12【例3.解 由题意可得，造价y= 3(

8、2xX 150+ X 400)+ 5 800= 900xx= 1时取m 2 xyx +16 + 5x16800(0 x900X 2入x=号，即x=4时取等号.故当侧面的长度为4米时，总造价最低.正解 Ta0, b0, 且 a+ b= 1,1,2b 2ab 2aa + b(a+ b)=1+ 2 + a+3 + 2aF = 3 + 22a+ b=1, b = 2a a= b，当且仅当【示例】.1 2_+=a b当且仅当xX 16+ 5 800= 13 000(元),a= 21,1 2即b=22时，a+b的最小值为3+2 2.1 1 1 1【试一试】 尝试解答a2 +1 + = a2 ab+ ab +1