圆锥曲线知识点汇总

1、、图像与性质椭圆与双曲线不等于零）的点的轨迹叫做双曲线.标准方程2 2笃-爲=1(a 0,b 0)ab2 2爲-笃=1(a 0, b a 0)ab焦点所在轴X轴y轴图像（谁的系数为 正，焦点在谁 上，卜面分母2是a ）毛/fl - a.?4；/肚2 /叫却jT二-1Kft /X.ix1jr 产 A f K渐近线方程y = bxay = 土旦 x b实轴长：AA2c e = 离心率：a=2a 虚轴长:IBiB2b 焦距：|FiF2| = 2ca,b,c关系式：c2=b2+a2?题型一：标准方程一一a，b，c,e,渐近线斜率k 图像对照求值思路：根据标准方程或图像对照出a，b，c,e,渐近线斜率k

2、中的任意两个，就可以利用a2 =b2 c2a,b,c关系式 将其他参数全部算出，然后罗列性质就可以了。注意下列细节：椭圆中谁的分母大，焦点在谁上，大分母是双曲线中谁的系数为正，焦点在谁上，下面分母是2 2二 1的性质。x_丄例1 :分析椭圆259解：由椭圆方程得焦点在X轴上,2 2且 a =25,b92 2 2a=5,b=3,ca -b长轴长:A1A2短轴长:Bi B2 = 6焦距:FiF2 =8归如丿fi(-(向乡)离心率:例2:顶点在X轴，两顶点的距离是8,离心率是54的双曲线方程。所以 a =4,c=5I5e =解：由题意得2a =8，4，2 2 2b =c -a =25 -16=9，

3、b = 3又因为焦点在X轴上，所以双曲线方程为2 2乙一止=1169例3、已知椭圆经过点 P(0,-3),Q(-2,0),求椭圆标准方程。解：与椭圆的两种标准图形对照不难发现这是一个焦点在Y轴上的椭圆,且P,Q作为与坐标轴的交点只能有a=3,b=2,22y标准方程为 9题型二、关于椭圆与双曲线定义的考察思路：设P是椭圆上任一点，则有PR * PF? =2aPF, - PF 2 = 2a例4:2 2xy1设RE 是椭圆259的两个焦点，过R的弦ab与椭圆交于a,B两点,设P是双曲线上任一点，则有已知AF1 =4,求AF2求三角形AF1F2的周长;(3)求三角形ABF2的周长;由上述例子说明该椭圆

4、中：a =5, b =3, c=4(1)由椭圆定义知:AR + AF2二210，又因为 AF1 =4,则 AF2 =6(3)例5、由椭圆定义知:AR + AF2= 2a = 10 F1 F2 = 2 = 85角形 AF1F2 的周长=AR +AF2 +F1F2 =2a + 2c由椭圆定义知:AR + AF2=18= 2a = 10 BF“ + BF25=2a = 10求三角形ABF2的周长=Ah + AF 2十| BF12 2双曲线=1上一点P到一个焦点的距离169为10，那么P到另一个焦点的距离是22解：由双曲线方程 D 1对照得出焦点在 Y轴上169且 a2 =16,b2 = 9，则 a

5、=4，由双曲线定义知道：PFj |PF2 =2a =8，bf2=4a =20F肿/JiA一 丁由题意知PR =10，所以PF2 =18或PF2 =2。题型三：对方程二 1的认识当m .0,n0且mn时该方程表示焦点在X轴上的椭圆当m 0, n且nm时该方程表示焦点在丫轴上的椭圆当m ，n ： 0时该方程表示焦点在x轴上双曲线当n . 0,m :： 0时该方程表示焦点在y轴上双曲线当m=n 0时刚方程表示圆2 2例6:方程必 y1所表示的曲线为C,求以下情况时t的取值范围4t t 2（1）曲线C为焦点在X轴上的椭圆；（2）曲线C为焦点在丫轴上的椭圆；（3）曲线C为焦点在X轴上的双曲线；（4）曲线

6、C为焦点在丫轴上的双曲线；4-t0(2) t - 2 0 二 t e (3,4 )t 2 4t| 4-t0解：(1)由题意得：* t-20 二 tw(2,3)3 t At 24t a0(3)nW (-,2)t 2 0，B0），将 M（ -2，U3 ），N（ 1，2寸3 ）两点代入上式得：八14A+3B=1A =5J= J、A+12B=1b-_152 2所以椭圆方程为x2 丄y2，即x y =1515515例8:若过点M（ 3，-4J2 ），N（ 9，5）的双曲线的标准方程422f9解：设方程为 Ax +Bx =1 (ABVO),将M (3, -42 ) , N ( , 5 )两点代入49A+3

7、2B =1上式得铮+25B=1A9B二丄16所以椭圆方程为_x29169例9、已知椭圆两焦点坐标分别是 解：因为椭圆两焦点坐标分别是（五、综合考题0，-2），（0,2）且椭圆过点（3,2）,求椭圆方程。0,-2）,（ 0,2），所以焦点在 Y轴上且C = 2，又因为 2a = PF| +PF? =J(3-0f+(2-(-2) j+J(3-0) +(2-2 丫 = 8所以 a =4，b2 二 a2 _c2 =16 _4 =122 2所以椭圆方程为y x 1 16 12例10:已知双曲线两焦点坐标分别是（-6,0），（6,0,）且过点（-5,2），双曲线方程。解：因为双曲线两焦点坐标分别是（-6,

8、0），（6,0），所以焦点在 X轴上且C=6，2a =|卩片 _ PF2| = J（_5_（_6）2 十（2_。2 _J（_5_6f +（2_0丫 又因为_=75 -=5所以 a=2.5， b?=c- 36 20 = 162 2则双曲线方程为-y 1 o20 16六椭圆中的三角形例11:当椭圆满足下列情况时求离心率：1、二b2f1 f2是直角三角形解：1因为，B2F1 = B2F2所以该三角形是等腰直角三角形。令 c = B2O = F1O Ta = B2R =、2则有，所以e = Ca2 b2f1f2是等边等边三角形因为B2F1二B2F2，所以该三角形是等边三角形。令 c 二 RO 二1c

9、1则有a=B2F| =2，所以e =a 2例12：如图，在椭圆上有一点 P在三角形APF1F2中N PF1F2 =30，且PF2垂直于X轴,求椭圆的离心率。解:在 Rt PF1F2 中.PF1F2 二则有 PR =2,RF2 = ,3， x 32c = F|F2 = 3, c =2无W曲内事支Xhfo V渲錢4 M很F）的毘爲昭號的点的镀氤*才鬲詞堇為*墟一H问因男（0 h二上狎砂二斗夕申口向占 M iQ仏力二宀讹:F为沁倾钱憶昱乂为俺谖?为他滴雄侈酣园亂 翹型-祸如很一P 一因餡8塚朋（対砂如 洌调 根拓下时糸外或边孩錢丸换和卑明坦根灵AW 二_X 一3厂2a = PFr + PF2 =1

10、+2 =3,a鬼也二:代觀植.郦咽蛹西赣加州邛的拗物占题型三：定义的应用為 孰刘如加建備的恋离相等2辭粗向右且$ 二2今少詔2px(p 0)上有一点A(x,y。)，则点P到焦点的距离和到准线焦J 、由图知:AF = AA/归纳：当抛物线焦点在 X轴上时:当抛物线焦点在 Y轴上时:AFAFAB =占八、ABAF + BF=AA/ =AA/ =Xap2卫2=Xa Xb P例1：已知抛物线2px(p - 0)上一点M (3, m)到焦点的距离为5,求抛物线标准方程及点M的坐标。解：由题意得抛物线开口向右，且MF =xm 卫=5=3，卫=p=42 22所以抛物线方程为 y =8x将x =3带入标准方程y2 =8x得y二2 6，所以点M的坐标为32、6或3,-2、6 例2：过抛物线y2 =4x的焦点做直线交抛物线于 A, B两点(1) 若A、B的中点横坐标为3,求AB(2) 若直线AB的斜率为2，求AB。解：因为 AB = AF + BF =xA +xB + p由抛物线方程知抛物线开口向右且p = 2 焦点1,0，准线方程x = -1(1) 由中点坐标公式