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文档简介
1、2019 年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题(本大题共有12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5分)1( 4 分)设全集 U 1 ,2,3,4,5 ,若集合 A3 ,4,5 ,则?UA2(4分)已知扇形的半径为6,圆心角为,则扇形的面积为3(4分)已知双曲线2 y21,则其两条渐近线的夹角为x4(4分)若( a+b)n 展开式的二项式系数之和为8,则 n5(4分)若实数 ,满足22 1,则 xy 的取值范围是x yx +y6(4 分)若圆锥的母线长l 5( cm),高 h4( cm),则这个圆锥的体积等于n中,( 12n) ,则 a1 的取值范7(5
2、 分)在无穷等比数列 a a +a +a围是8( 5 分)若函数 f( x) ln的定义域为集合 A,集合 B(a,a+1),且 B? A,则实数 a 的取值范围为9( 5 分)行列式中,第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作f( x),则 y1+f( x)的零点是10( 5 分)已知复数 z1cosx+2f( x) i,z2(sinx+cosx)+i(xR,i 为虚数单位)在复平面上,设复数z1, z2 对应的点分别为Z1,Z2,若 Z12OZ90,其中 O 是坐标原点,则函数 f(x)的最小正周期11( 5 分)当 0x a 时,不等式+ 2 恒成立,则实数 a 的最大值为12(5 分
3、)设 d 为等差数列 an 的公差,数列 bn 的前 n 项和 Tn,满足 Tn+( 1) nn(nN* ),且 da5b2,若实数 mPk x|ak 2xak+3( *,bk Nk3),则称 m 具有性质 Pk若 Hn 是数列 Tn的前n项和,对任意的,n N*H2n1 都具有性质 Pk,则所有满足条件的 k 的值为二、选择题(本题共有 4 题,满分 20 分)第1页(共 19页)13( 5 分)下列函数中既是奇函数,又在区间 1, 1上单调递减的是()A f(x) arcsin xBylg|x|Cf(x) xD f(x) cos x14( 5 分)某象棋俱乐部有队员5 人,其中女队员2 人
4、,现随机选派2 人参加象棋比赛,则选出的2 人中恰有 1 人是女队员的概率为()ABCD15( 5 分)已知 f( x) logsinx,(0,),设 af(),bf(),cf(),则 a,b,c 的大小关系是()A acbBbcaC cbaD abc16( 5 分)已知函数 f(x) m?2x+x2+nx,记集合 A x|f(x) 0,xR ,集合 B x|ff( x) 0,xR ,若 AB,且都不是空集,则 m+n 的取值范围是()A0,4)B1,4)C3,5D0,7)三、解答题(本大题共有5 题,满分 76 分)17(14 分)如图, PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形, PA
5、AB 1,AD2,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动( 1)求三棱锥 EPAD 的体积;( 2)证明:无论点 E 在边 BC 的何处,都有 AFPE18( 14 分)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 cosB( 1)若 sinA ,求 cosC;( 2)已知 b4,证明 5第2页(共 19页)19( 14 分)上海某工厂以 x 千克小时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得的利润是( 5x+1 )元,其中 1 x 10( 1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元,求 x 的取值范围;( 2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,
6、 问:该厂应选取何种生产速度?并求最大利润20( 16 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y24x上存在不同的两点 A,B,满足 PA, PB 的中点均在抛物线 C 上( 1)求抛物线 C 的焦点到准线的距离;( 2)设 AB 中点为 M,且 P( xP,yP),M(xM,yM),证明: yP yM;( 3)若 P 是曲线 x2+ 1(x0)上的动点,求 PAB 面积的最小值(分)记无穷数列n的前n项中最大值为Mn,最小值为 mn,令,21 18 a 其中 nN* ( 1)若 an 2n+cos,请写出3 的值;b( 2)求证:“数列 an 是等差数列”是“
7、数列 bn 是等差数列”的充要条件;( 3)若对任意 n,有|an|2018,且|bn |1,请问:是否存在 KN* ,使得对于任意不小于 K 的正整数 n,有 bn+1bn 成立?请说明理由第3页(共 19页)2019 年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题(本大题共有12 题,满分 54 分,第 1-6 题每题 4 分,第 7-12 题每题 5分)1(4 分)设全集 U1 , 2, 3, 4, 5 ,若集合 A3 ,4,5 ,则 ?UA1 ,2【分析】 利用补集定义直接求解【解答】 解:全集 U 1 ,2,3,4,5 ,集合 A3 ,4,5, ?UA1,2 故答案为:
8、1 ,2 【点评】本题考查补集的求法,是基础题,解题时要认真审题,注意补集定义的合理运用2(4 分)已知扇形的半径为6,圆心角为,则扇形的面积为6 【分析】 先计算扇形的弧长,再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【解答】 解:根据扇形的弧长公式可得l r62,根据扇形的面积公式可得Slr ?2?66故答案为: 6【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式,正确运用公式是解题的关键,属于基础题3(4 分)已知双曲线x2 y21,则其两条渐近线的夹角为900【分析】由双曲线方程,求得其渐近线方程,求得直线的夹角,即可求得两条渐近线夹角【解答】 解:双曲线 x2 y211 的两条渐近线的方程为:y x,所对
9、应的直线的倾斜角分别为90,双曲线 x2y2 1 的两条渐近线的夹角为90,故答案为: 90第4页(共 19页)32412cm3【点评】 本题考查双曲线的几何性质,考查直线的倾斜角的应用,属于基础题n4(4 分)若( a+b) 展开式的二项式系数之和为8,则 n3【解答】 解:(a+b)n 展开式的二项式系数之和为2n8,则 n3,故答案为: 3【点评】本题主要考查二项式定理的应用,二项展开式的通项公式, 二项式系数的性质,属于基础题(分)若实数,满足22 1,则 xy 的取值范围是,5 4x yx +y【分析】 三角换元后,利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得22则 xycossin si
10、n2 , 故答案为 ,【点评】 本题考查了三角换元以及正弦函数的值域属基础题6(4 分)若圆锥的母线长l 5(cm),高 h4(cm),则这个圆锥的体积等于12cm3【分析】 利用勾股定理可得圆锥的底面半径,那么圆锥的体积 底面半径 2高,把相应数值代入即可求解【解答】 解:圆锥的高是4cm,母线长是 5cm,圆锥的底面半径为3cm,圆锥的体积故答案为: 12cm3【点评】本题考查圆锥侧面积的求法注意圆锥的高,母线长,底面半径组成直角三角形7(5 分)在无穷等比数列 an 中,(a1+a2+an),则 a1 的取值范围是【分析】无穷等比数列 an 中,推出 0 |q|1,然后求出首项 a1 的
11、取值范围第5页(共 19页)【解答】解:因为无穷等比数列 an 中,所以 ,|q| 1,所以, 1 q 1 且 q0 0 a11 且 a1故答案为:【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用,解题时要注意极限逆运算的合理运用8( 5 分)若函数 f( x) ln的定义域为集合 A,集合 B(a,a+1),且 B? A,则实数 a 的取值范围为 1,0【分析】 先化简集合 A,由 B? A,得,得 1a0【解答】解:0,(x+1)(x 1)0, 1x1,A( 1,1); B? A, 1 a 0,实数 a 的取值范围为 1,0故答案为 1,0【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用
12、, 集合关系中的参数问题,难度中档9( 5 分)行列式中,第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作f( x),则 y1+f( x)的零点是1【分析】将行列式按第 3 行第 2 列展开,由 f(x)A32(42x+44x) 2x+2(1+2x),令 y1+f(x)12x+2(1+2x)0,解得: x 1,即可求得 y1+f( x)的零点【解答】解:第 3 行第 2 列的元素的代数余子式A32 42x x+44 2x+2(1+2x),第6页(共 19页) f(x) 2x+2(1+2x),y1+f(x) 12x+2( 1+2x),令 y0,即 2x+2( 1+2x) 1,解得: x 1,故答案为:
13、 1【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义,考查函数的零点的定义, 属于中档题10( 5 分)已知复数z1cosx+2f( x) i,z2(sinx+cosx)+i(xR,i 为虚数单位)在复平面上,设复数z1, z2 对应的点分别为Z1,Z2,若 Z1OZ290,其中 O 是坐标原点,则函数f(x)的最小正周期 【分析】 由已知求得 Z1,Z2 的坐标,结合 Z1OZ290可得 f(x)的解析式,降幂后利用辅助角公式化积,再由周期公式求周期【解答】 解:由题意, Z1(cosx, 2f(x), Z1OZ2 90,即 2f(x), f(x)则函数 f(x)的最小正周期为故答案为: 【点评】
14、本题考查复数的代数表示法及其几何意义,考查三角函数周期的求法,是基础的计算题11( 5 分)当 0x a 时,不等式+ 2 恒成立,则实数a 的最大值为 2 【分析】 想法求出左边式子的最小值,首先把分式形式乘以a2 ,变形为2+,利用均值不等式得出式子的最小值【解答】 解:(+)a2第7页(共 19页)(+) x+(ax) 2(+) x2+2x( )( )2a x+a x2+ 2+4+28+ 2 0 a 2【点评】考查了对式子的配凑变形,均值定理的应用,思路不太好想,有一定难度(分)设d为等差数列n的公差,数列n项和Tn,满足 Tn+12 5 a b 的前 n( 1) n n(nN* ),且
15、 da5b2,若实数 mPk x|ak 2xak+3( *,bk Nk3),则称 m 具有性质k若 Hn 是数列 Tn的前n项和,对任意的,PnN*H2n1 都具有性质 Pk,则所有满足条件的 k 的值为3,4【分析】 求得 n 1, 2, 3,4,5 时,数列 bn的前5项,即可求出通项公式,再求得 d 和首项 a1,得到等差数列 an的通项公式,求得,n 1 2 34H2n1 的特点,结合 k3,4,5,6,集合的特点,即可得到所求取值【解答】 解: Tn+( 1) nbn( nN* ),可得 n1 时, T1+ b1 T1,解得 b1,T2+ b2+b2+b2,33 +b2 3,即 23
16、 ,T + b+b +b +2b44 +b23 423,T +b+b +b+ ,即 b +b解得 b2,b3,同理可得 b4,b5,第8页(共 19页) , b2n 1,5 b2,可得 da1,da+4d解得 a1 ,d , an,设 H是数列Tn的前n项和,若对任意的 *, H2n都具有性质 P ,nnN1k由于 H1T1b1 , H3T1 23,H5T12345,+T +T+T+T +T +TH7 +0, , H2n1 H2n32n 1,( n2),+b当 k3 时, P3 x|a1x a6 ,x|x当 k4 时, P4 x|a2x a7 x|x ,当 k5 时, P5 x|a3x a8
17、1,x|x当 k6 时, P3 x|a4x a9 x|0x ,显然 k5,6 不成立,故所有满足条件的k 的值为 3,4答案为: 3, 4【点评】本题考查新定义的理解和运用,考查等差数列的通项公式的求法,集合的性质和数列的单调性的判断和应用,考查化简整理的运算能力,属于难题二、选择题(本题共有4 题,满分 20 分)13( 5 分)下列函数中既是奇函数,又在区间 1, 1上单调递减的是()A f(x) arcsin xBylg|x|Cf(x) xD f(x) cos x【分析】 可看出 f(x) arcsinx 在 1, 1 上单调递增, y lg|x|和 f (x) cosx 都是偶函数,从
18、而判断 A, B, D 都错误,只能选 C【解答】 A f(x) arcsinx 在区间 1,1上单调递增;该选项错误;Bylg|x|为偶函数,该选项错误;C f(x) x 是奇函数,且在 1,1 上单调递减;该选项正确;第9页(共 19页)D f(x) cosx 是偶函数,该选项错误故选: C【点评】 考查反正弦函数和一次函数的单调性,以及奇函数和偶函数的定义14( 5 分)某象棋俱乐部有队员5 人,其中女队员2 人,现随机选派2 人参加象棋比赛,则选出的2 人中恰有 1 人是女队员的概率为()ABCD【分析】 确定基本事件的个数,即可求出概率【解答】 解:随机选派 2 人参加象棋比赛,有
19、10 种,选出的 2 人中恰有 1人是女队员,有6 种,所求概率为,故选: B【点评】 本题考查古典概型,考查概率的计算,确定基本事件的个数是关键15( 5 分)已知 f( x) logsin x,(0,),设 af(),bf(),cf(),则 a,b,c 的大小关系是()A acbBbcaC cbaD abc【分析】先判断(fx)在(0,+)上是减函数,再比较,的大小关系,从而得到 a,b,c 的大小关系【解答】解: f(x)logsin ,( ,),sin( 0,1),故 f(x)在(0,x0+)上为减函数 a f(),b f(), c f(), 0 , a f () b f(),ab又,
20、 即) , b f() cf(),即 b c第 10 页(共 19 页)综上, abc,故选: D【点评】本题主要考查复合函数的单调性,基本不等式的应用, 比较两个数大小的方法,属于中档题16( 5 分)已知函数 f(x) m?2x+x2+nx,记集合 A x|f(x) 0,xR ,集合 B x|ff( x) 0,xR ,若 AB,且都不是空集,则 m+n 的取值范围是()A0,4)B1,4)C3,5D0,7)【分析】 由x|f(x) 0 x|f (f( x) 0 可得 f( 0) 0,从而求得 m 0;22从而化简 f(f (x)( x +nx)(x +nx+n) 0,从而讨论求得 f(x1
21、) f( f(x1) 0, f(0) 0,即 f( 0) m0,故 m0;故 f( x) x2+nx,f(f( x)( x2 +nx)( x2+nx+n) 0,当 n0 时,成立;当 n0 时, 0, n 不是 x2 +nx+n0 的根,故 n2 4n0,解得: 0n4;综上所述, 0n+m4;故选: A【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用, 同时考查了方程的根的判断,属于中档题三、解答题(本大题共有 5 题,满分 76 分)17(14 分)如图, PA平面 ABCD,四边形 ABCD 为矩形, PAAB 1,AD2,点 F 是 PB 的中点,点 E 在边 BC 上移动(
22、 1)求三棱锥 EPAD 的体积;第 11 页(共 19 页)( 2)证明:无论点E 在边 BC 的何处,都有 AFPE【分析】(1)转换底面,代入体积公式计算;( 2)利用线线垂直证明 AF平面 PBC,即可得出结论【解答】(1)解: PA平面 ABCD,且四边形 ABCD 为矩形, ( 3 分) (6分)( 2)证明: PA平面 ABCD, PAAB,又 PA AB 1,且点 F 是 PB 的中点, AFPB ( 8 分)又 PA BC, BC AB, PAABA, BC平面 PAB,又 AF? 平面 PAB, BCAF ( 10 分)由AF平面 PBC,又 PE? 平面 PBC无论点 E
23、 在边 BC 的何处,都有 AFPE 成立 ( 12 分)【点评】本题给出特殊的四棱锥, 考查了线面垂直的证明与性质的运用,考查了学生的空间想象能力与推理论证能力,关键是要熟练掌握定理的条件18( 14 分)在 ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且 cosB( 1)若 sinA ,求 cosC;( 2)已知 b4,证明 5【分析】(1)利用同角三角函数基本关系式可求sinB,由 sinB sinA,可得 A 为锐角,可求 cosA,根据三角形内角和定理,诱导公式,两角和的余弦函数公式即可计算得解 cosC 的值第 12 页(共 19 页)( 2)由余弦定理,基本不等式可求得
24、 ac 13,根据平面向量数量积的运算,诱导公式即可计算得解【解答】 解:(1) cosB,可得: sinB, sinB sinA , B A,可得 A 为锐角, cosA, cosC cos(A+B) sinAsinBcosAcosB( 2)证明:由余弦定理b2a2+c22accosB,可得: a2+c2 ac16, a2+c2 2ac,解得: ac13,当且仅当 ac 时等号成立, accos(B) accosBac 5得证【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式, 三角形内角和定理, 两角和的余弦函数公式,余弦定理,基本不等式,平面向量数量积的运算,诱导公式在解三角形中的综合应用,考
25、查了计算能力和转化思想,属于中档题19( 14 分)上海某工厂以x 千克小时的速度匀速生产某种产品,每一小时可获得的利润是( 5x+1)元,其中 1 x 10( 1)要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元,求 x 的取值范围;( 2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大, 问:该厂应选取何种生产速度?并求最大利润【分析】(1)由题意可得: 2(5x+1) 30,1x10解出即可得出( 2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,设该厂应选取生产速度为,10,可得 t90,900可得获得利润 (ft) 5+1 +1,t0利用导数研究其单调性即可得出【解答】 解:(1)由题意
26、可得: 2( 5x+1) 30,1 x 10第 13 页(共 19 页)解得: 3x10,因此要使生产该产品2 小时获得的利润不低于30 元, x 的取值范围为 3,10( 2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,设该厂应选取生产速度为,10,可得 t90, 900则获得利润 f(t) 5+1+1,t0f( t) 0 f(t)在 t90,900单调递减 t90 时,即该厂应选取 10 千克小时的速度匀速生产, 可使生产 900 千克该产品获得的利润最大,其最大利润为 f(10)元故该厂应选取10 千克小时的速度匀速生产,可使生产900 千克该产品获得的利润最大,其最大利润为f (10)
27、元【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值,考查了数形结合方法、推理能力与计算能力,属于中档题20( 16 分)如图,已知点 P 是 y 轴左侧(不含 y 轴)一点,抛物线 C:y24x上存在不同的两点 A,B,满足 PA, PB 的中点均在抛物线 C 上( 1)求抛物线 C 的焦点到准线的距离;( 2)设 AB 中点为 M,且 P( xP,yP),M(xM,yM),证明: yP yM;( 3)若 P 是曲线 x2+ 1(x0)上的动点,求 PAB 面积的最小值第 14 页(共 19 页)【分析】(1)由抛物线方程求得p,则答案可求;( 2) P( xP,yP),设
28、A(,y1),B(,y2),运用中点坐标公式可得M的坐标,再由中点坐标公式和点在抛物线上,代入化简整理可得y1, y2 为关于 y 的方程 y22yPy+8xP0 的两根,由根与系数的关系即可得到结论;( 3)由题意可得, 1 xP0, 2yP 2,可得 PAB 面积为 S|PM|?|y1y2|,再由配方和换元法结合函数单调性求最值2【解答】(1)解:由抛物线 C: y 4x,得 2p 4,则 p2,( 2)证明: P( xP,yP),设 A(, y1 ), B(,y2),AB中点为M的坐标为M, yM),则 M(,),M(x抛物线 C: y24x 上存在不同的两点A, B 满足 PA,PB
29、的中点均在 C 上,可得,化简可得 y1,y2 为关于 y 的方程 y22yPy+8xP0 的两根,可得 y1+y22yP,y1y2 8,第 15 页(共 19 页)可得;( 3)解:若 P 是曲线 x2 ( )上的动点,+1 x0可得, 1xP0, 2yP 2,由( 2)可得 y1+y22yP,y1y28,由 PM 垂直于 y 轴,可得 PAB 面积为 S|PM|?|y1y2|()?(),令 t,得时, t 取得最大值xP 1 时, t 取得最小值 2,即 2t,则 S在 2 t递增,可得 S6, , PAB 面积的最小值为6【点评】本题考查抛物线的方程和运用,考查转化思想和运算能力, 训练
30、了利用换元法及函数的单调性求最值,属于难题21(18 分)记无穷数列 an 的前 n 项中最大值为 M n,最小值为 mn,令,其中 nN* ( 1)若 an 2n+cos,请写出 3 的值;b( 2)求证:“数列 an 是等差数列”是“数列 bn 是等差数列”的充要条件;( 3)若对任意 n,有|an|2018,且|bn |1,请问:是否存在 KN* ,使得对于任意不小于 K 的正整数 n,有 bn+1bn 成立?请说明理由第 16 页(共 19 页)【分析】(1)an2n,可得 1 2,a23,a38,M3,m3即可得出 b3+cosa( 2)充分性:若“数列 an是等差数列”,设其公差为d,可得 n,bn+1b bn+1bn常数,即可证明“数列 bn 是等差数列”必要性:若“数列 bn是等差数列”,设其公差为n+1 bnd, b+d,根据定义, Mn+1 Mn, mn+1mn,至少有一个取等号,当 d 0 时, Mn+1Mn,an+1Mn+1Mn an,即数列 an 为增数列,则 Mnan,mn a1,
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