2019年上海市杨浦区高考数学一模试卷

1、2019 年上海市杨浦区高考数学一模试卷一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5分）1（ 4 分）设全集 U 1 ，2，3，4，5 ，若集合 A3 ，4，5 ，则?UA2（4分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为3（4分）已知双曲线2 y21，则其两条渐近线的夹角为x4（4分）若（ a+b）n 展开式的二项式系数之和为8，则 n5（4分）若实数 ，满足22 1，则 xy 的取值范围是x yx +y6（4 分）若圆锥的母线长l 5（ cm），高 h4（ cm），则这个圆锥的体积等于n中，（ 12n） ，则 a1 的取值范7（5

2、 分）在无穷等比数列 a a +a +a围是8（ 5 分）若函数 f（ x） ln的定义域为集合 A，集合 B（a，a+1），且 B? A，则实数 a 的取值范围为9（ 5 分）行列式中，第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作f（ x），则 y1+f（ x）的零点是10（ 5 分）已知复数 z1cosx+2f（ x） i，z2（sinx+cosx）+i（xR，i 为虚数单位）在复平面上，设复数z1， z2 对应的点分别为Z1，Z2，若 Z12OZ90，其中 O 是坐标原点，则函数 f（x）的最小正周期11（ 5 分）当 0x a 时，不等式+ 2 恒成立，则实数 a 的最大值为12（5 分

3、）设 d 为等差数列 an 的公差，数列 bn 的前 n 项和 Tn，满足 Tn+（ 1） nn（nN* ），且 da5b2，若实数 mPk x|ak 2xak+3（ *，bk Nk3），则称 m 具有性质 Pk若 Hn 是数列 Tn的前n项和，对任意的，n N*H2n1 都具有性质 Pk，则所有满足条件的 k 的值为二、选择题（本题共有 4 题，满分 20 分）第1页（共 19页）13（ 5 分）下列函数中既是奇函数，又在区间 1， 1上单调递减的是（）A f（x） arcsin xBylg|x|Cf（x） xD f（x） cos x14（ 5 分）某象棋俱乐部有队员5 人，其中女队员2 人

4、，现随机选派2 人参加象棋比赛，则选出的2 人中恰有 1 人是女队员的概率为（）ABCD15（ 5 分）已知 f（ x） logsinx，（0，），设 af（），bf（），cf（），则 a，b，c 的大小关系是（）A acbBbcaC cbaD abc16（ 5 分）已知函数 f（x） m?2x+x2+nx，记集合 A x|f（x） 0，xR ，集合 B x|ff（ x） 0，xR ，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（）A0，4）B1，4）C3，5D0，7）三、解答题（本大题共有5 题，满分 76 分）17（14 分）如图， PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形， PA

5、AB 1，AD2，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动（ 1）求三棱锥 EPAD 的体积；（ 2）证明：无论点 E 在边 BC 的何处，都有 AFPE18（ 14 分）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 cosB（ 1）若 sinA ，求 cosC；（ 2）已知 b4，证明 5第2页（共 19页）19（ 14 分）上海某工厂以 x 千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（ 5x+1 ）元，其中 1 x 10（ 1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元，求 x 的取值范围；（ 2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，

6、 问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润20（ 16 分）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y24x上存在不同的两点 A，B，满足 PA， PB 的中点均在抛物线 C 上（ 1）求抛物线 C 的焦点到准线的距离；（ 2）设 AB 中点为 M，且 P（ xP，yP），M（xM，yM），证明： yP yM；（ 3）若 P 是曲线 x2+ 1（x0）上的动点，求 PAB 面积的最小值（分）记无穷数列n的前n项中最大值为Mn，最小值为 mn，令，21 18 a 其中 nN* （ 1）若 an 2n+cos，请写出3 的值；b（ 2）求证：“数列 an 是等差数列”是“

7、数列 bn 是等差数列”的充要条件；（ 3）若对任意 n，有|an|2018，且|bn |1，请问：是否存在 KN* ，使得对于任意不小于 K 的正整数 n，有 bn+1bn 成立？请说明理由第3页（共 19页）2019 年上海市杨浦区高考数学一模试卷参考答案与试题解析一、填空题（本大题共有12 题，满分 54 分，第 1-6 题每题 4 分，第 7-12 题每题 5分）1（4 分）设全集 U1 ， 2， 3， 4， 5 ，若集合 A3 ，4，5 ，则 ?UA1 ，2【分析】 利用补集定义直接求解【解答】 解：全集 U 1 ，2，3，4，5 ，集合 A3 ，4，5， ?UA1，2 故答案为：

8、1 ，2 【点评】本题考查补集的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意补集定义的合理运用2（4 分）已知扇形的半径为6，圆心角为，则扇形的面积为6 【分析】 先计算扇形的弧长，再利用扇形的面积公式可求扇形的面积【解答】 解：根据扇形的弧长公式可得l r62，根据扇形的面积公式可得Slr ?2?66故答案为： 6【点评】本题考查扇形的弧长与面积公式，正确运用公式是解题的关键，属于基础题3（4 分）已知双曲线x2 y21，则其两条渐近线的夹角为900【分析】由双曲线方程，求得其渐近线方程，求得直线的夹角，即可求得两条渐近线夹角【解答】 解：双曲线 x2 y211 的两条渐近线的方程为：y x，所对

9、应的直线的倾斜角分别为90，双曲线 x2y2 1 的两条渐近线的夹角为90，故答案为： 90第4页（共 19页）32412cm3【点评】 本题考查双曲线的几何性质，考查直线的倾斜角的应用，属于基础题n4（4 分）若（ a+b） 展开式的二项式系数之和为8，则 n3【解答】 解：（a+b）n 展开式的二项式系数之和为2n8，则 n3，故答案为： 3【点评】本题主要考查二项式定理的应用，二项展开式的通项公式， 二项式系数的性质，属于基础题（分）若实数，满足22 1，则 xy 的取值范围是，5 4x yx +y【分析】 三角换元后，利用二倍角正弦公式和正弦函数的值域可得22则 xycossin si

10、n2 ， 故答案为 ，【点评】 本题考查了三角换元以及正弦函数的值域属基础题6（4 分）若圆锥的母线长l 5（cm），高 h4（cm），则这个圆锥的体积等于12cm3【分析】 利用勾股定理可得圆锥的底面半径，那么圆锥的体积 底面半径 2高，把相应数值代入即可求解【解答】 解：圆锥的高是4cm，母线长是 5cm，圆锥的底面半径为3cm，圆锥的体积故答案为： 12cm3【点评】本题考查圆锥侧面积的求法注意圆锥的高，母线长，底面半径组成直角三角形7（5 分）在无穷等比数列 an 中，（a1+a2+an），则 a1 的取值范围是【分析】无穷等比数列 an 中，推出 0 |q|1，然后求出首项 a1 的

11、取值范围第5页（共 19页）【解答】解：因为无穷等比数列 an 中，所以 ，|q| 1，所以， 1 q 1 且 q0 0 a11 且 a1故答案为：【点评】本题考查无穷等比数列的极限存在条件的应用，解题时要注意极限逆运算的合理运用8（ 5 分）若函数 f（ x） ln的定义域为集合 A，集合 B（a，a+1），且 B? A，则实数 a 的取值范围为 1，0【分析】 先化简集合 A，由 B? A，得，得 1a0【解答】解：0，（x+1）（x 1）0， 1x1，A（ 1，1）； B? A， 1 a 0，实数 a 的取值范围为 1，0故答案为 1，0【点评】本题考查的知识点是集合的包含关系判断及应用

12、， 集合关系中的参数问题，难度中档9（ 5 分）行列式中，第 3 行第 2 列的元素的代数余子式记作f（ x），则 y1+f（ x）的零点是1【分析】将行列式按第 3 行第 2 列展开，由 f（x）A32（42x+44x） 2x+2（1+2x），令 y1+f（x）12x+2（1+2x）0，解得： x 1，即可求得 y1+f（ x）的零点【解答】解：第 3 行第 2 列的元素的代数余子式A32 42x x+44 2x+2（1+2x），第6页（共 19页） f（x） 2x+2（1+2x），y1+f（x） 12x+2（ 1+2x），令 y0，即 2x+2（ 1+2x） 1，解得： x 1，故答案为：

13、 1【点评】本题考查三阶行列式的余子式的定义，考查函数的零点的定义， 属于中档题10（ 5 分）已知复数z1cosx+2f（ x） i，z2（sinx+cosx）+i（xR，i 为虚数单位）在复平面上，设复数z1， z2 对应的点分别为Z1，Z2，若 Z1OZ290，其中 O 是坐标原点，则函数f（x）的最小正周期 【分析】 由已知求得 Z1，Z2 的坐标，结合 Z1OZ290可得 f（x）的解析式，降幂后利用辅助角公式化积，再由周期公式求周期【解答】 解：由题意， Z1（cosx， 2f（x）， Z1OZ2 90，即 2f（x）， f（x）则函数 f（x）的最小正周期为故答案为： 【点评】

14、本题考查复数的代数表示法及其几何意义，考查三角函数周期的求法，是基础的计算题11（ 5 分）当 0x a 时，不等式+ 2 恒成立，则实数a 的最大值为 2 【分析】 想法求出左边式子的最小值，首先把分式形式乘以a2 ，变形为2+，利用均值不等式得出式子的最小值【解答】 解：（+）a2第7页（共 19页）（+） x+（ax） 2（+） x2+2x（ ）（ ）2a x+a x2+ 2+4+28+ 2 0 a 2【点评】考查了对式子的配凑变形，均值定理的应用，思路不太好想，有一定难度（分）设d为等差数列n的公差，数列n项和Tn，满足 Tn+12 5 a b 的前 n（ 1） n n（nN* ），且

15、 da5b2，若实数 mPk x|ak 2xak+3（ *，bk Nk3），则称 m 具有性质k若 Hn 是数列 Tn的前n项和，对任意的，PnN*H2n1 都具有性质 Pk，则所有满足条件的 k 的值为3，4【分析】 求得 n 1， 2， 3，4，5 时，数列 bn的前5项，即可求出通项公式，再求得 d 和首项 a1，得到等差数列 an的通项公式，求得，n 1 2 34H2n1 的特点，结合 k3，4，5，6，集合的特点，即可得到所求取值【解答】 解： Tn+（ 1） nbn（ nN* ），可得 n1 时， T1+ b1 T1，解得 b1，T2+ b2+b2+b2，33 +b2 3，即 23

16、 ，T + b+b +b +2b44 +b23 423，T +b+b +b+ ，即 b +b解得 b2，b3，同理可得 b4，b5，第8页（共 19页） ， b2n 1，5 b2，可得 da1，da+4d解得 a1 ，d ， an，设 H是数列Tn的前n项和，若对任意的 *， H2n都具有性质 P ，nnN1k由于 H1T1b1 ， H3T1 23，H5T12345，+T +T+T+T +T +TH7 +0， ， H2n1 H2n32n 1，（ n2），+b当 k3 时， P3 x|a1x a6 ，x|x当 k4 时， P4 x|a2x a7 x|x ，当 k5 时， P5 x|a3x a8

17、1，x|x当 k6 时， P3 x|a4x a9 x|0x ，显然 k5，6 不成立，故所有满足条件的k 的值为 3，4答案为： 3， 4【点评】本题考查新定义的理解和运用，考查等差数列的通项公式的求法，集合的性质和数列的单调性的判断和应用，考查化简整理的运算能力，属于难题二、选择题（本题共有4 题，满分 20 分）13（ 5 分）下列函数中既是奇函数，又在区间 1， 1上单调递减的是（）A f（x） arcsin xBylg|x|Cf（x） xD f（x） cos x【分析】 可看出 f（x） arcsinx 在 1， 1 上单调递增， y lg|x|和 f （x） cosx 都是偶函数，从

18、而判断 A， B， D 都错误，只能选 C【解答】 A f（x） arcsinx 在区间 1，1上单调递增；该选项错误；Bylg|x|为偶函数，该选项错误；C f（x） x 是奇函数，且在 1，1 上单调递减；该选项正确；第9页（共 19页）D f（x） cosx 是偶函数，该选项错误故选： C【点评】 考查反正弦函数和一次函数的单调性，以及奇函数和偶函数的定义14（ 5 分）某象棋俱乐部有队员5 人，其中女队员2 人，现随机选派2 人参加象棋比赛，则选出的2 人中恰有 1 人是女队员的概率为（）ABCD【分析】 确定基本事件的个数，即可求出概率【解答】 解：随机选派 2 人参加象棋比赛，有

19、10 种，选出的 2 人中恰有 1人是女队员，有6 种，所求概率为，故选： B【点评】 本题考查古典概型，考查概率的计算，确定基本事件的个数是关键15（ 5 分）已知 f（ x） logsin x，（0，），设 af（），bf（），cf（），则 a，b，c 的大小关系是（）A acbBbcaC cbaD abc【分析】先判断（fx）在（0，+）上是减函数，再比较，的大小关系，从而得到 a，b，c 的大小关系【解答】解： f（x）logsin ，（ ，），sin（ 0，1），故 f（x）在（0，x0+）上为减函数 a f（），b f（）， c f（）， 0 ， a f （） b f（），ab又，

20、 即） ， b f（） cf（），即 b c第 10 页（共 19 页）综上， abc，故选： D【点评】本题主要考查复合函数的单调性，基本不等式的应用， 比较两个数大小的方法，属于中档题16（ 5 分）已知函数 f（x） m?2x+x2+nx，记集合 A x|f（x） 0，xR ，集合 B x|ff（ x） 0，xR ，若 AB，且都不是空集，则 m+n 的取值范围是（）A0，4）B1，4）C3，5D0，7）【分析】 由x|f（x） 0 x|f （f（ x） 0 可得 f（ 0） 0，从而求得 m 0；22从而化简 f（f （x）（ x +nx）（x +nx+n） 0，从而讨论求得 f（x1

21、） f（ f（x1） 0， f（0） 0，即 f（ 0） m0，故 m0；故 f（ x） x2+nx，f（f（ x）（ x2 +nx）（ x2+nx+n） 0，当 n0 时，成立；当 n0 时， 0， n 不是 x2 +nx+n0 的根，故 n2 4n0，解得： 0n4；综上所述， 0n+m4；故选： A【点评】本题考查了函数与集合的关系应用及分类讨论的思想应用， 同时考查了方程的根的判断，属于中档题三、解答题（本大题共有 5 题，满分 76 分）17（14 分）如图， PA平面 ABCD，四边形 ABCD 为矩形， PAAB 1，AD2，点 F 是 PB 的中点，点 E 在边 BC 上移动（

22、 1）求三棱锥 EPAD 的体积；第 11 页（共 19 页）（ 2）证明：无论点E 在边 BC 的何处，都有 AFPE【分析】（1）转换底面，代入体积公式计算；（ 2）利用线线垂直证明 AF平面 PBC，即可得出结论【解答】（1）解： PA平面 ABCD，且四边形 ABCD 为矩形， （ 3 分） （6分）（ 2）证明： PA平面 ABCD， PAAB，又 PA AB 1，且点 F 是 PB 的中点， AFPB （ 8 分）又 PA BC， BC AB， PAABA， BC平面 PAB，又 AF? 平面 PAB， BCAF （ 10 分）由AF平面 PBC，又 PE? 平面 PBC无论点 E

23、 在边 BC 的何处，都有 AFPE 成立 （ 12 分）【点评】本题给出特殊的四棱锥， 考查了线面垂直的证明与性质的运用，考查了学生的空间想象能力与推理论证能力，关键是要熟练掌握定理的条件18（ 14 分）在 ABC 中，角 A，B，C 所对的边分别为a，b，c，且 cosB（ 1）若 sinA ，求 cosC；（ 2）已知 b4，证明 5【分析】（1）利用同角三角函数基本关系式可求sinB，由 sinB sinA，可得 A 为锐角，可求 cosA，根据三角形内角和定理，诱导公式，两角和的余弦函数公式即可计算得解 cosC 的值第 12 页（共 19 页）（ 2）由余弦定理，基本不等式可求得

24、 ac 13，根据平面向量数量积的运算，诱导公式即可计算得解【解答】 解：（1） cosB，可得： sinB， sinB sinA ， B A，可得 A 为锐角， cosA， cosC cos（A+B） sinAsinBcosAcosB（ 2）证明：由余弦定理b2a2+c22accosB，可得： a2+c2 ac16， a2+c2 2ac，解得： ac13，当且仅当 ac 时等号成立， accos（B） accosBac 5得证【点评】本题主要考查了同角三角函数基本关系式， 三角形内角和定理， 两角和的余弦函数公式，余弦定理，基本不等式，平面向量数量积的运算，诱导公式在解三角形中的综合应用，考

25、查了计算能力和转化思想，属于中档题19（ 14 分）上海某工厂以x 千克小时的速度匀速生产某种产品，每一小时可获得的利润是（ 5x+1）元，其中 1 x 10（ 1）要使生产该产品 2 小时获得的利润不低于 30 元，求 x 的取值范围；（ 2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大， 问：该厂应选取何种生产速度？并求最大利润【分析】（1）由题意可得： 2（5x+1） 30，1x10解出即可得出（ 2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，10，可得 t90，900可得获得利润 （ft） 5+1 +1，t0利用导数研究其单调性即可得出【解答】 解：（1）由题意

26、可得： 2（ 5x+1） 30，1 x 10第 13 页（共 19 页）解得： 3x10，因此要使生产该产品2 小时获得的利润不低于30 元， x 的取值范围为 3，10（ 2）要使生产 900 千克该产品获得的利润最大，设该厂应选取生产速度为，10，可得 t90， 900则获得利润 f（t） 5+1+1，t0f（ t） 0 f（t）在 t90，900单调递减 t90 时，即该厂应选取 10 千克小时的速度匀速生产， 可使生产 900 千克该产品获得的利润最大，其最大利润为 f（10）元故该厂应选取10 千克小时的速度匀速生产，可使生产900 千克该产品获得的利润最大，其最大利润为f （10）

27、元【点评】本题考查了不等式的解法、利用导数研究函数的单调性极值与最值，考查了数形结合方法、推理能力与计算能力，属于中档题20（ 16 分）如图，已知点 P 是 y 轴左侧（不含 y 轴）一点，抛物线 C：y24x上存在不同的两点 A，B，满足 PA， PB 的中点均在抛物线 C 上（ 1）求抛物线 C 的焦点到准线的距离；（ 2）设 AB 中点为 M，且 P（ xP，yP），M（xM，yM），证明： yP yM；（ 3）若 P 是曲线 x2+ 1（x0）上的动点，求 PAB 面积的最小值第 14 页（共 19 页）【分析】（1）由抛物线方程求得p，则答案可求；（ 2） P（ xP，yP），设

28、A（，y1），B（，y2），运用中点坐标公式可得M的坐标，再由中点坐标公式和点在抛物线上，代入化简整理可得y1， y2 为关于 y 的方程 y22yPy+8xP0 的两根，由根与系数的关系即可得到结论；（ 3）由题意可得， 1 xP0， 2yP 2，可得 PAB 面积为 S|PM|?|y1y2|，再由配方和换元法结合函数单调性求最值2【解答】（1）解：由抛物线 C： y 4x，得 2p 4，则 p2，（ 2）证明： P（ xP，yP），设 A（， y1 ）， B（，y2），AB中点为M的坐标为M， yM），则 M（，），M（x抛物线 C： y24x 上存在不同的两点A， B 满足 PA，PB

29、的中点均在 C 上，可得，化简可得 y1，y2 为关于 y 的方程 y22yPy+8xP0 的两根，可得 y1+y22yP，y1y2 8，第 15 页（共 19 页）可得；（ 3）解：若 P 是曲线 x2 （ ）上的动点，+1 x0可得， 1xP0， 2yP 2，由（ 2）可得 y1+y22yP，y1y28，由 PM 垂直于 y 轴，可得 PAB 面积为 S|PM|?|y1y2|（）?（），令 t，得时， t 取得最大值xP 1 时， t 取得最小值 2，即 2t，则 S在 2 t递增，可得 S6， ， PAB 面积的最小值为6【点评】本题考查抛物线的方程和运用，考查转化思想和运算能力， 训练

30、了利用换元法及函数的单调性求最值，属于难题21（18 分）记无穷数列 an 的前 n 项中最大值为 M n，最小值为 mn，令，其中 nN* （ 1）若 an 2n+cos，请写出 3 的值；b（ 2）求证：“数列 an 是等差数列”是“数列 bn 是等差数列”的充要条件；（ 3）若对任意 n，有|an|2018，且|bn |1，请问：是否存在 KN* ，使得对于任意不小于 K 的正整数 n，有 bn+1bn 成立？请说明理由第 16 页（共 19 页）【分析】（1）an2n，可得 1 2，a23，a38，M3，m3即可得出 b3+cosa（ 2）充分性：若“数列 an是等差数列”，设其公差为d，可得 n，bn+1b bn+1bn常数，即可证明“数列 bn 是等差数列”必要性：若“数列 bn是等差数列”，设其公差为n+1 bnd， b+d，根据定义， Mn+1 Mn， mn+1mn，至少有一个取等号，当 d 0 时， Mn+1Mn，an+1Mn+1Mn an，即数列 an 为增数列，则 Mnan，mn a1，