2017-2018学年上海市复旦附中高一(上)期末数学试卷

1、2017-2018 学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷一 .填空题1（3 分）（2016?杨浦区二模）函数f （x）=的定义域是2（3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）函数y=x2+2（ 1 x0）的反函数是 f 1（ x）=3（3分）（2017 秋?杨浦区校级期末）设，则 f（ x）?g（x） =4（3分）（2017 秋?杨浦区校级期末）若正数、 满足a（ 4b）=1，则 a+ba blog的最小值为5（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）幂函数f（x）=（ t3t+1）x3t+1 是奇函数，则 f（ 2） =6（ 3 分）（ 2017 秋 ?杨浦区校级期末）函数的单调递减区

2、间是7（3 分）（2016 秋?徐汇区期末）函数y=的值域是8（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）设关于x 的方程 | x26x+5| =a 的不同实数解的个数为 n，当实数 a 变化时， n 的可能取值组合的集合为9（ 3 分）（2017 秋 ?杨浦区校级期末）对于函数f（x）=x2+ax+4，若存在 x0 R，使得 f（x0）=x0，则称 x0 是 f （x）的一个不动点，已知f（ x）在 x 1， 3 恒有两个不同的不动点，则实数a 的取值范围10（ 3 分）（2017 秋 ?杨浦区校级期末）若函数f （x） =| x1|+ m| x 2|+ 6| x3| 在 x=2 时取得最小

3、值，则实数m 的取值范围是11（3 分）（2017 秋 ?杨浦区校级期末） 已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f （x）=x2ax+a，其中 a R f（ 1） =；若 f （x）的值域是 R，则 a 的取值范围是12（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）已知函数，x 1，第1页（共 21页）2 的最大值为 f （t ），则 f （t）的解析式为 f（t ）=二 .选择题13（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）ABy=（x1）2 C y=x 2D y=log0.5（x+1）14（ 3分）（2017秋 杨浦区

4、校级期末）已知函数22x+3 在闭区间 0，m?y=x上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是（）A 1，+）B 0，2 C 1，2 D（， 215（ 3 分）（2014?闵行区一模）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（ x，y）都满足方程 lg（ x+y） =lgx+lgy，那么正确的选项是（）Ay=f（x）是区间（ 0，+）上的减函数，且 x+y4By=f（x）是区间（ 1，+）上的增函数，且x+y4Cy=f（x）是区间（ 1，+）上的减函数，且x+y4Dy=f（x）是区间（ 1，+）上的减函数，且x+y416（ 3 分）（ 2007?陕西）若函数 f（ x）的反函数为 f

5、1（x），则函数 f（ x1）与f1（x1）的图象可能是（）ABCD三 .解答题17（2017 秋 ?杨浦区校级期末）已知关于x 的不等式 log2（ 2x2+3x+t）0，其中 t R（ 1）当 t=0 时，求该不等式的解；（ 2）若该不等式有解，求实数 t 的取值范围18（ 2017 秋?杨浦区校级期末）已知函数（x 0）第2页（共 21页）（ 1）求函数 f（ x）的反函数 f 1（x）；（ 2）若 x2 时，不等式恒成立，求实数 a 的范围19（2015?嘉定区二模）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数（fx）与时刻 x（时）的关系为，x 0

6、， 24），其中 a 是与气象有关的参数，且，若用每天 f（ x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作 M （a）（ 1）令 t=， x 0，24），求 t 的取值范围；（ 2）求 M （ a）的表达式，并规定当 M（a） 2 时为综合污染指数不超标，求当 a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标20（ 2017 秋?杨浦区校级期末）指数函数y=g（ x）满足 g（ 2） =4，且定义域为R 的函数是奇函数（ 1）求实数 m、n 的值；（ 2）若存在实数 t，使得不等式 f（t 22t ） +f（2t2 k） 0 成立，求实数 k 的取值范围21（ 2017 秋?杨浦区校级期末）设集

7、合M 为下述条件的函数f （x）的集合：定义域为 R；对任意实数 x 、x（x x ），都有1212（ 1）判断函数 f （x） =x2 是否为 M 中元素，并说明理由；（ 2）若函数 f（ x）是奇函数，证明： f（ x） ?M；（ 3）设 f（ x）和 g（x）都是 M 中的元素，求证： F（x）=也是 M 中的元素，并举例说明， G（x）=不一定是 M 中的元素第3页（共 21页）2017-2018 学年上海市复旦附中高一（上）期末数学试卷参考答案与试题解析一 .填空题1（3分）（杨浦区二模）函数f（）=的定义域是 x| x 2 且 x2016?x 1 【考点】 33：函数的定义域及其求

8、法【分析】由题意即分母不为零、偶次根号下大于等于零，列出不等式组求解，最后要用集合或区间的形式表示【解答】 解：由题意，要使函数有意义，则 ，解得， x1 且 x 2；故函数的定义域为： x| x 2 且 x 1 ，故答案为： x| x 2 且 x1 【点评】本题考查了求函数的定义域， 最后要用集合或区间的形式表示， 这是容易出错的地方2（3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）函数y=x2+2（ 1 x0）的反函数是 f 1（ x）=， ，3x 2【考点】 4R：反函数【分析】由原函数的解析式解出自变量x 的解析式，再把 x 和 y 交换位置，注明反函数的定义域（即原函数的值域） 【解答】

9、解： y=x2 +2（ 1 x 0） x=，2y3，故反函数为，x 2， 3 故答案为：，x 2， 3 【点评】本题考查反函数的求法，考查计算能力，是基础题，反函数的定义域容易疏忽出错，注意反函数的定义域是原函数的值域第4页（共 21页）3（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）设，则 f（ x）?g（x） =x， x（ 1， +）【考点】 36：函数解析式的求解及常用方法【分析】 根据 f （x）， g（ x）的解析式求出f（x）?g（x）的解析式即可【解答】 解：， f（x）的定义域是（ 1，+），g（x）的定义域是 1，+）， f（x）?g（ x） =x，x（ 1，+），故答案为：

10、x， x（ 1，+）【点评】 本题考查了求函数的解析式问题，考查函数的定义域，是一道基础题（分）（2017秋 杨浦区校级期末）若正数、 满足a（ 4b）=1，则 a+b4 3?ablog的最小值为1【考点】 7F：基本不等式及其应用【分析】根据题意，由对数的运算性质可得a=，即 ab= ，进而由基本不等式的性质可得 a+b2=1，即可得答案【解答】解：根据题意，若正数 a、b 满足 loga（4b）=1，则有 a=，即 ab= ，则 a+b2=1，即 a+b 的最小值为 1；故答案为： 1【点评】本题考查基本不等式的性质以及应用， 涉及对数的运算性质， 关键是分析 a、b 的关系5（ 3 分）

11、（2017 秋?杨浦区校级期末）幂函数f（x）=（ t3t+1）x3t+1 是奇函数，则 f（ 2） = 2 【考点】 4U：幂函数的概念、解析式、定义域、值域【分析】 根据幂函数的定义求出t 的值，再验证 f（ x）是否为奇函数，第5页（共 21页）从而求出 f（ 2）的值【解答】 解：函数 f （x） =（ t 3t+1）x3t +1 是幂函数， t3t+1=1，解得 t=0 或 t=1；当 t=0 时， f（x）=x 是奇函数，满足题意；当 t=1 时， f（x）=x4 是偶函数，不满足题意；当 t=1 时， f（ x） =x2 是偶函数，不满足题意；综上， f（x）=x； f（2）=2

12、故答案为： 2【点评】 本题考查了幂函数的定义与应用问题，是基础题6（3 分）（ 2017 秋?杨浦区校级期末）函数的单调递减区间是（ 2，1【考点】 3G：复合函数的单调性【分析】由对数函数为增函数，要求复合函数的减区间，需求真数的减区间，分式的分母的增区间，利用函数的定义域以及二次函数的单调性转化求解即可【解答】 解：要求函数的单调递减区间，需求函数 y=，（ 8+2xx2 0）的增区间，由 8+2x x20 可得 2x4，对应的二次函数，开口向下，增区间为：（ 1， 4），减区间为：（ 2， 1 由复合函数的单调性可知：函数的单调递减区间是：（ 2， 1 故答案为：（ 2，1 【点评】本

13、题考查复合函数的单调性， 分式函数、二次函数和对数函数的单调性，是中档题（分）（2016秋 徐汇区期末）函数y=的值域是（1， ） 7 3?【考点】 34：函数的值域第6页（共 21页）【分析】 分离常数后，根据指数函数的值域即可求函数y 的范围【解答】 解：函数 y= 1 2x+33，0函数 y=的值域是（ 1， ）故答案为（ 1， ）【点评】 本题考查分离常数法转化为指数函数的值域的运用，属于基础题8（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）设关于x 的方程 | x26x+5| =a 的不同实数解的个数为 n，当实数 a 变化时，n 的可能取值组合的集合为 0，2，3，4 【考点】 53

14、：函数的零点与方程根的关系【分析】 将方程 | x26x+5| =a 的实数解的个数问题转化为函数图象的交点问题，作图分析即得答案【解答】 解：关于 x 的方程 | x26x+5| =a，分别画出 y=| x26x+5| 与 y=a 的图象，如图：若该方程没有实数根，则 a0；n=0；若 a=0，则该方程恰有两个实数解， n=2；若 a=4 时，该方程有三个不同的实数根， n=3；当 0a4，该方程有四个不同的实数根， n=4；当 a4，该方程有两个不同的实数根， n=2； n 的可能取值组合的集合为 0，2，3，4故答案为： 0， 2，3，4 第7页（共 21页）【点评】 本题考查了根的存在

15、性及根的个数判断华罗庚曾说过：“数缺形时少直观，形缺数时难入微数形结合百般好，隔离分家万事非 ”数形结合是数学解题中常用的思想方法， 能够变抽象思维为形象思维， 有助于把握数学问题的本质9（ 3 分）（2017 秋 ?杨浦区校级期末）对于函数（ ）2+ax+4，若存在 x R，f x =x0使得 f（x0）=x0，则称 x0 是 f （x）的一个不动点，已知f（ x）在 x 1， 3 恒有两个不同的不动点，则实数 a 的取值范围，【考点】 3V：二次函数的性质与图象【分析】 不动点实际上就是方程f（ x0）=x0 的实数根二次函数f （x） =x2+ax+4有不动点，是指方程x=x2+ax+4

16、 有实根即方程x=x2+ax+4 有两个不同实根，然后根据根列出不等式解答即可【解答】 解：根据题意， f（x）=x2+ax+4 在 1，3 恒有两个不同的不动点，得 x=x2+ax+4 在 1， 3 有两个实数根，即 x2+（a1）x+4=0 在 1，3 有两个不同实数根，令 g（x） =x2+（a1）x+4在 1，3 有两个不同交点，即，第8页（共 21页）解得： a ， 3）；故答案为： ， 3）【点评】本题考查了二次函数图象上点的坐标特征、函数与方程的综合运用， 解答该题时，借用了一元二次方程的根的判别式与根这一知识点10（ 3 分）（2017 秋 ?杨浦区校级期末）若函数f （x）

17、=| x1|+ m| x 2|+ 6| x3| 在 x=2 时取得最小值，则实数m 的取值范围是 5，+）【考点】 3H：函数的最值及其几何意义【分析】根据条件可得， 化为分段函数， 根据函数的单调性和函数值即可得到则解得即可【解答】 解：当 x 1 时， f （x）=1 x+2m mx+18 6x=19+2m（ m+7） x，当 1x 2 时，f（ x）=x 1+2mm，x+186x=17+2m（ m+5）x，f（1）=12+m，2x3 时， f（ x）=x1+mx2m+186x=17 2m+（m 5） x， f（2）=7，当 x3 时， f （x）=x 1+mz 2m+6x 18= 19

18、2m+（ m+7）x，f （3）=m+2，若函数 f（x）=| x1|+ m| x2|+ 6| x3| 在 x=2 时取得最小值，则解得 m 5，故 m 的取值范围为 5， +），故答案为： 5， +），【点评】本题考查了函数最值和绝对值函数， 并考查了函数的单调性， 属于中档题11（3 分）（2017 秋 ?杨浦区校级期末） 已知函数 f（ x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f （x）=x2ax+a，其中 a R第9页（共 21页） f（ 1） =1；若 f （x）的值域是 R，则 a 的取值范围是（， 0 4， +）【考点】 3K：函数奇偶性的性质与判断【分析】 运用奇函数的定

19、义，计算即可得到所求值；由 f（x）的图象关于原点对称，以及二次函数的图象与x 轴有交点，由判别式不小于 0，解不等式即可得到所求范围【解答】 解：函数 f （x）是定义在 R 上的奇函数，当 x0 时， f （x）=x2ax+a，其中 a R，f（ 1）=f （1）=（ 1a+a）=1；若 f （x）的值域是 R，由 f（ x）的图象关于原点对称，可得当 x0 时， f （x）=x2ax+a，图象与 x 轴有交点，可得 =a24a0，即 a 的取值范围是（， 0 4，+）故答案为： 1 （， 0 4，+）【点评】本题考查函数的奇偶性的运用， 考查函数的值域的应用， 注意运用二次函数的性质和对

20、称性，考查运算能力，属于中档题12（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）已知函数，x 1，2 的最大值为 f （t ），则 f （t）的解析式为 f（t ）=， ，【考点】 3H：函数的最值及其几何意义；6E：利用导数研究函数的最值【分析】 根据题意，由函数g（x）的解析式，对其求导可得数g（ x） =（ t1）+=，令 h（ x）=（t 1）x2+4，结合二次函数的性质，对t 分 5 种情况讨论，每种情况下，分析h（ x）的符号，即可得g（x）的符号，分析可得第 10 页（共 21 页）函数 g（x）的单调性，即可得g（x）在区间 1， 2 上的最大值，综合即可得答案【解答】 解：根据

21、题意，函数，其导数 g（ x） =（ t1）+=，令 h（x） =（ t 1） x2 +4，令 h（x） =0，即（ t 1）x2 +4=0 可得， x2=，分 5 种情况讨论， t 1 时， h（x）=（t 1）x2+4 为开口向上的二次函数，在 1，2 上，有 h （ x） 0，则有 g（x） 0，函数 g（x）为增函数，则 g（x）在 1， 2 上的最大值为 g（2）=2（ t1） =2t 4， t=1 时， h（ x） =4，在 1，2 上，有 h（ x） 0，则有 g（x） 0，函数 g（x）为增函数，则 g（x）在 1， 2 上的最大值为 g（2）=2（ t1） =2t 4， 0t

22、 1 时， h（x）=（t 1）x2+4 为开口向下的二次函数，且h（0）=4，且 h（2）=t0，则在 1， 2 上，有 h（x） 0，则有 g（x） 0，函数 g（x）为增函数，则 g（x）在 1， 2 上的最大值为 g（2）=2（ t1） =2t 4，当 3 t0 时， h（x） =（ t 1）x2+4 为开口向下的二次函数，令 h（x） =0，即（ t 1）x2 +4=0 可得 x=，有 12，则有在 1，）上，有 h（x） 0，则有 g（ x） 0，函数 g（x）为增函数，在（，2 上，有 h（x） 0，则有 g（x） 0，函数 g（x）为减函数，此时 g（x）在 1，2 上的最大值

23、为 g（） = 4，当 t 3 时， h（x）=（t 1） x2+4 为开口向下的二次函数，第 11 页（共 21 页）令 h（x） =0，即（ t 1）x2 +4=0 可得 x=，此时1，在 1，2 上，有 h（x） 0，则有 g（x） 0，函数 g（x）为减函数，此时 g（x）在 1，2 上的最大值为 g（1）=t5；，综合可得：，；，故答案为：，【点评】本题考查函数最值的计算， 涉及函数导数的性质以及应用，注意对 k 进行分类讨论二 .选择题13（ 3 分）（2017 秋?杨浦区校级期末）下列函数中，在区间（0，+）上为增函数的是（）A（ ）2 20.5（x+1）By= x1Cy=xDy

24、=log【考点】 3E：函数单调性的性质与判断【分析】 根据函数单调性的性质分别进行判断即可【解答】 解： A.在（ 0，+）上是增函数，满足条件，By=（x 1） 2 在（， 1 上为减函数，在 1，+）上为增函数，不满足条件Cy=x 2 在（ 0，+）上为减函数，不满足条件Dy=log0.5（ x+1）在（ 0，+）上为减函数，不满足条件故选： A【点评】本题主要考查函数单调性的判断，根据常见函数的单调性是解决本题的关键比较基础第 12 页（共 21 页）14（ 3分）（2017秋 杨浦区校级期末）已知函数22x+3 在闭区间 0，m?y=x上有最大值 3，最小值 2，则 m 的取值范围是

25、（）A 1，+）B 0，2 C 1，2 D（， 2【考点】 3V：二次函数的性质与图象【分析】本题利用数形结合法解决，作出函数 f（ x）的图象，如图所示，当 x=1 时， y 最小，最小值是 2，当 x=2 时， y=3，欲使函数 f（ x）=x22x+3 在闭区间 0，m 上的上有最大值 3，最小值 2，则实数 m 的取值范围要大于等于 1 而小于等于 2 即可【解答】 解：作出函数 f（x）的图象，如图所示，当 x=1 时， y 最小，最小值是 2，当 x=2 时， y=3，2 函数 f （x） =x 2x+3 在闭区间 0， m 上上有最大值 3，最小值 2，则实数 m 的取值范围是

26、1，2 【点评】本题考查二次函数的值域问题， 其中要特别注意它的对称性及图象的应用，属于中档题15（ 3 分）（2014?闵行区一模）如果函数y=f（x）图象上任意一点的坐标（x，y）都满足方程lg（ x+y） =lgx+lgy，那么正确的选项是（）Ay=f（x）是区间（ 0，+）上的减函数，且x+y4By=f（x）是区间（ 1，+）上的增函数，且x+y4Cy=f（x）是区间（ 1，+）上的减函数，且x+y4第 13 页（共 21 页）Dy=f（x）是区间（ 1，+）上的减函数，且x+y4【考点】 3E：函数单调性的性质与判断【分析】 由给出的方程得到函数y=f（x）图象上任意一点的横纵坐标x

27、，y 的关系式，利用基本不等式求出x+y 的范围，利用函数单调性的定义证明函数在（ 1，+）上的增减性，二者结合可得正确答案【解答】 解：由 lg（x+y）=lgx+lgy，得，由 x+y=xy 得：，解得： x+y4再由 x+y=xy 得：（x 1）设 x1x2 1，则=因为 x1 x21，所以 x2 x10， x210则 ，即 f（ x1） f（x2）所以 y=f（x）是区间（ 1，+）上的减函数，综上， y=f（x）是区间（ 1，+）上的减函数，且x+y4故选： C【点评】 本题考查了函数单调性的判断与证明，考查了利用基本不等式求最值，训练了利用单调性定义证明函数单调性的方法，是基础题1

28、6（ 3 分）（ 2007?陕西）若函数 f（ x）的反函数为 f 1（x），则函数 f（ x1）与f1（x1）的图象可能是（）ABCD【考点】 4R：反函数第 14 页（共 21 页）【分析】 f（x）和 f 1（ x）关于 y=x 对称是反函数的重要性质；而将 f （x）的图象向右平移 a 个单位后，得到的图象的解析式为f（xa）而原函数和反函数的图象同时平移时，他们的对称轴也相应平移【解答】 解：函数 f （x 1）是由 f（x）向右平移一个单位得到，f1（x1）由 f 1（x）向右平移一个单位得到，而 f（ x）和 f1 （x）关于 y=x 对称，从而 f（x 1）与 f 1（x1）的

29、对称轴也是由原对称轴向右平移一个单位得到即y=x1，排除 B，D；A，C 选项中各有一个函数图象过点（ 2，0），则平移前的点坐标为（ 1， 0），则反函数必过点（0，1），平移后的反函数必过点 （ 1，1），由此得： A 选项有可能，C 选项排除；故选： A【点评】 用整体平移的思想看问题，是解决本题的关键三 .解答题17（2017 秋 ?杨浦区校级期末）已知关于x 的不等式 log2（ 2x2+3x+t）0，其中 t R（ 1）当 t=0 时，求该不等式的解；（ 2）若该不等式有解，求实数 t 的取值范围【考点】 7J：指、对数不等式的解法【分析】（1）t=0 时不等式为 log2（ 2x

30、2+3x） 0，化为 0 2x2+3x1，求出解集即可；（ 2）由不等式 log2（ 2x2+3x+t） 0 有解，得出 0 2x2+3x+t1，化为 2x23xt 2x2 3x+1；设 f（ x）=2x23x，求出 f（x）min 即可得出结论【解答】 解：（1）关于 x 的不等式 log2（ 2x2+3x+t ） 0，当 t=0 时，不等式为 log2（ 2x2+3x） 0，即 0 2x2+3x1，等价于，第 15 页（共 21 页） 解得，或 即 0x 或 1x ；不等式的解集为（ 0， ）（ 1， ）；（ 2）不等式 log2（ 2x2+3x+t） 0 有解， 0 2x2+3x+t 1

31、，化为 2x23x t 2x2 3x+1；设 f（ x）=2x23x， x R， f（x）min =f（ ）= ，且 f（x）无最大值；实数 t 的取值范围是（，+）【点评】 本题考查了对数函数的定义与不等式的解法和应用问题，是中档题18（ 2017 秋?杨浦区校级期末）已知函数（x 0）（ 1）求函数 f（ x）的反函数 f 1（x）；（ 2）若 x2 时，不等式恒成立，求实数 a 的范围【考点】 6P：不等式恒成立的问题【分析】（1）从条件中函数式 f（x）=（）2，（ ）中反解出x，再将 ，=y x 0x 1y 互换即得 f（x）的反函数 f （ x） 1（ 2）利用（1）的结论，将不等

32、式（x1）f （ x）（a a ）化成（a+1） a21，下面对 a 分类讨论：当 a+10；当 a+10分别求出求实数 a 的取值范围，最后求它们的并集即可【解答】 解：（1） y=（）2=（ 1+ ）2（x0） y 1（ 2 分）由原式有：=， x+1=x x=（2 分） f 1（x）= ，x（ 1， +）（ 2 分）（ 2）（ x1）f 1（x） a（a ）第 16 页（共 21 页）（ x 1）a（a）（ x0）（+1）（1）a（a）+1 a2a（ a+1）a21（2 分）当 a+1 0 即 a 1 时a1 对 x2 恒成立 1a+1当 a+1 0 即 a 1 时a1 对 x2 恒成立

33、 a+1 此时无解（ 3 分）综上 1a+1（1 分）a，【点评】本小题主要考查反函数、 函数恒成立问题等基础知识， 考查运算求解能力求反函数，一般应分以下步骤： （ 1）由已知解析式 y=f（x）反求出 x=（ y）；（ 2）交换 x=（y）中 x、 y 的位置；（ 3）求出反函数的定义域（一般可通过求原函数的值域的方法求反函数的定义域） 19（2015?嘉定区二模）某市环保部门对市中心每天的环境污染情况进行调查研究后，发现一天中环境综合污染指数 （fx）与时刻 x（时）的关系为，x 0， 24），其中 a 是与气象有关的参数，且，若用每天 f（ x）的最大值为当天的综合污染指数，并记作M

34、（a）（ 1）令 t=， x 0，24），求 t 的取值范围；（ 2）求 M （ a）的表达式，并规定当 M（a） 2 时为综合污染指数不超标，求当 a 在什么范围内时，该市市中心的综合污染指数不超标【考点】 57：函数与方程的综合运用【分析】（1）利用取倒数，求导数，确定函数的单调性，可得t 的取值范围；（ 2）分段求出每天的综合放射性污染指数不超过2 时 a 的范围，即可得到结论【解答】（本题满分 14 分）本题共有 2 个小题，第 1 小题满分（ 5 分），第 2 小题满分（ 9 分）解：（ 1）当 x=0 时， t=0； （2 分）第 17 页（共 21 页）当 0x 24 时，因为

35、x2+1 2x0，所以 ， （4 分）即 t 的取值范围是， （5 分）（ 2）当，时，由（ 1），令，则， （1 分）所以=， （3 分）， 于是， g（t ）在 t 0，a 时是关于 t的减函数，在，时是增函数，因为，由，所以，当时，；当 时，即， （6 分）， 由 M （a） 2，解得 （8 分）所以，当，时，综合污染指数不超标 （9 分）【点评】本题主要考查了函数模型的选择与应用及分类讨论的思想，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题20（ 2017 秋?杨浦区校级期末）指数函数y=g（ x）满足 g（ 2） =4，且定义域为R 的函数是奇函数（ 1）求实数 m、n 的值；（ 2）若存

36、在实数 t，使得不等式 f（t 22t ） +f（2t2 k） 0 成立，求实数 k 的取值范围【考点】 3R：函数恒成立问题【分析】（1）根据指数函数 y=g（x）满足： g（ 2） =4，即可求出 y=g（x）的解析式；由题意知 f（ 0） =0，f（ 1）=f（ 1），解方程组即可求出 m， n 的值；（ 2）由已知易知函数 f（ x）在定义域 f（ x）在（， +）上为减函数我们第 18 页（共 21 页）可将 f（t22t ）+f（ 2t 2 k）0 转化为 k 3t 2 2t，根据二次函数的性质即可得到实数 k 的取值范围【解答】 解：（1）指数函数 y=g（x）满足： g（ 2）

37、 =4， g（ x）=2x； f（x）=是奇函数 f（x）是奇函数， f（0）=0，即=0， n=1； f（x）=，又由 f （1）=f（ 1）知=， m=2；（ 2）由（ 1）知 f（ x）= +易知 f （x）在（， +）上为减函数又 f（ x）是奇函数，从而不等式： f （t2 2t） +f （2t2k） 0 等价于f（ t2 2t） f（ 2t2 k） =f（ k 2t2）， f（x）为减函数， t22tk2t2， k 3t22t=3（t ）2 ， k【点评】本题考查的知识点： 待定系数法求指数函数的解析式， 函数的奇偶性和函数单调性的性质， 体现了转化的思想， 考查了运算能力和灵活应