word完整版数列知识点总结及题型归纳2推荐文档

1、数列、数列的概念(1) 数列定义：按一定次序排列的一列数叫做数列；数列中的每个数都叫这个数列的项。记作an，在数列第一个位置的项叫第1项(或首项)，在第二个位置的叫第2项，序号为n的项叫第n项(也叫通项)记作 an ；数列的一般形式：ai， a2， a3，,an ,，简记作an。(2)通项公式的定义：如果数列 an的第n项与n之间的关系可以用一个公式表示，那么这个公式就 叫这个数列的通项公式。例如：1 , 2 , 3 , 4, 5 ,：1111巧，3，4，5说明:an表示数列，an表示数列中的第n项，a. = f n表示数列的通项公式;1 n 2k 1 同一个数列的通项公式的形式不一定唯一。例

2、如，an= ( 1)n=(k Z);1,n 2k 不是每个数列都有通项公式。例如，1 , 1.4 , 1.41 ,1.414 , (3 )数列的函数特征与图象表示：从函数观点看，数列实质上是定义域为正整数集N (或它的有限子集)的函数 f(n)当自变量n从1开始依次取值时对应的一系列函数值f(1), f(2), f(3),f(n),通常用an来代替f n，其图象是一群孤立点。(4)数列分类：按数列项数是有限还是无限分：有穷数列和无穷数列；按数列项与项之间的大小关 系分：递增数列、递减数列、常数列和摆动数列。例：下列的数列，哪些是递增数列、递减数列、常数列、摆动数列？(1) 1 , 2, 3,

3、4, 5, 6,(2)10, 9, 8, 7, 6, 5,(3) 1,0, 1,0, 1,0,(4)a, a, a, a, a,(5)数列 an的前n项和Sn与通项an的关系：an(n 1)SnSn 1 (n2)二、等差数列(一) 、等差数列定义：一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个 数列就叫等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用字母d表示。用递推公式表示为an an 1 d(n 2)或an 1 a. d(n 1)例：等差数列an 2n 1 , an an 1(二) 、等差数列的通项公式：an a1 (n 1)d ；说明：等差数列(通常可称为

4、A P数列)的单调性：d 0为递增数列，d 0为常数列，d 0为递减数列。例：1.已知等差数列 an中，a7 a9 16, a4 1,则a12等于()A. 15 B . 30 C . 31 D . 642. an是首项a1 1，公差d 3的等差数列，如果 2005，则序号n等于(A) 667( B) 668(C) 669(D) 6703. 等差数列an 2n 1,bn 2n 1，则a.为bn为 (填“递增数列”或“递减数列”）（三）、等差中项的概念:定义：如果a , A, b成等差数列，那么 A叫做a与b的等差中项。其中 A16a ba， A， b成等差数列 A 即：2an i an an 2

5、2例：1.（全国I ）设an是公差为正数的等差数列， 若ai a2 a3(2anan m )15, a!a2a3 80,则 an a12A. 120 B . 105C. 90 D . 75（四）、等差数列的性质：（1 ）在等差数列 an中，从第2项起，每一项是它相邻二项的等差中项；（2 ）在等差数列 an中，相隔等距离的项组成的数列是等差数列；a a（3）在等差数列 an 中，对任意 m , n N , an am （n m）d , d n m （m n）；n m（4）在等差数列an 中，若 m , n , p , qp q，则 aman ap aq ；（五）、等差数列的前n和的求和公式:Sn

6、n(a1 an)na1n(n 1)d丄 n2(a1) n。2 2(Sn An2 Bn(A,B为常数)an是等差数列）递推公式：sn 色切 （am an（m1）n22例：1.如果等差数列an 中，a3a4a512，那么 q a2.a7(A) 14(B) 21(C) 28(D) 352.（湖南卷文）设Sn是等差数列an的前n项和，已知a23 ,a611，则S7等于（）A. 13B.35C.49D.633.（全国卷I）设等差数列 an的前n项和为Sn，若S9 72,则a? a a9 =390,则这个数列有（D.10 项4.若一个等差数列前 3项的和为34,最后3项的和为146，且所有项的和为A.13

7、 项B.12 项C.11 项5.已知等差数列an的前n项和为Sn，若S1221,则 a2 a5 asan 6.（全国卷n）设等差数列an的前n项和为Sn,若a5 5a3则- S57.已知an数列是等差数列，a1010,其前211A.B.C.D.3338.（陕西卷文）设等差数列an的前n项和为10项的和S1070，则其公差d等于（）23% 若 a6 S312 则 an9 （全国）设 an为等差数列，S为数列 an的前n项和，已知S7, S15= 75, Tn为数列二的n前n项和，求Tn。（六）.对于一个等差数列:（1）若项数为偶数，设共有 2n项，则S偶 S奇 nd ;&偶（2）若项数为奇数，设

8、共有 2n 1项，则S奇 S偶 ananan 1S奇a中：&偶1. 一个等差数列共 2011项，求它的奇数项和与偶数项和之比 2. 一个等差数列前 20项和为75,其中奇数项和与偶数项和之比1: 2，求公差d3. 一个等差数列共有10项，其偶数项之和是15,奇数项之和是25，则它的首项与公差分别是2（七）.对与一个等差数列，Sn,S2nSn,S3nS?n仍成等差数列。例：1.等差数列an的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（）A.130B.170C.210D.2602. 一个等差数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3n项的和为10，则前110项和为30,贝y S

9、9 =3 已知等差数列 an的前10项和为100,前100项和为4.设Sn为等差数列an的前 n项和，S4 14, 3。 S75.(全国II :）设S是等差数列an的前n项和，若S3 _1则S =S63S123111A.B.CD.-10389（八）判断或证明一个数列是等差数列的方法:定义法：an 1 an d (常数)(n N )an是等差数列 中项法：2an 1 an an 2（nN）an是等差数列 通项公式法：ankn b（k,b为常数）an是等差数列前n项和公式法：SnAn2 Bn（A, B为常数）a是等差数万【a n 是等差数列例：1.已知数列ar|满足 an an 12 ,则数列an

10、为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an|的通项为an2n5，则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前n项和Sn2n24，则数列an为（)A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断4.已知一个数列an的前n项和Sn2n2,则数列an为（）A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断5.已知一个数列an满足an2 2an 1 an 0 ,则数列an为()A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断6.数列a

11、n满足a =8, 842,且an 2 2an 1 an 0( n N)求数列an的通项公式;7.（天津理，2）设S是数列an的前n项和，且 s=n2，则an是（）B.等差数列，但不是等比数列D.既非等比数列又非等差数列0， d 0时，Sn有最小值；A.等比数列，但不是等差数列C.等差数列，而且也是等比数列（九）.数列最值2anbn的最值;（1） ai 0， d 0时，Sn有最大值；ai（2）Sn最值的求法：若已知 Sn，Sn的最值可求二次函数 Sn可用二次函数最值的求法（n N ）；或者求出4中的正、负分界项，即:an 0 或 an 0an 10 an 10若已知an，则Sn最值时n的值（n

12、N ）可如下确定项的和最大。例：1 等差数列 an中，ai 0, S9 S12，则前2 设等差数列an的前n项和为Sn ,已知a3 12, S12 0, S13 0 求出公差d的范围， 指出S1, S2, , S12中哪一个值最大，并说明理由。3.（上海）设 an （n N）是等差数列,S是其前n项的和，且 Sv S6, S6= S S,则下列结论错误的是( )A.d v 0B. a7= 0C. S9 S5D.S6与S7均为Sn的最大值4.已知数列an的通项n 98n J 99N ），则数列 an的前30项中最大项和最小项分别是5.已知an是等差数列，其中a131 ,公差d8。（1）数列an从

13、哪一项开始小于0?（2）求数列an前n项和的最大值，并求出对应 n的值.(十).利用an1)求通项.S Sm (n 2)1. 数列an的前n项和Sn n2 1 . （1 ）试写出数列的前5项；（2）数列%是等差数列吗？（ 3）你能写出数列an的通项公式吗？2. 设数列an的前n项和为3=2n，求数列an的通项公式；3. （安徽文）设数列an的前n项和Sn n2，则a8的值为（）(A) 15(B) 16(C) 49(D) 6414、北京卷）数列an的前n项和为且a1=1, an 1 - Sn, n=1, 2, 3, ，求a2, a3, a4的值及数列an3的通项公式.三、等比数列等比数列定义一般

14、地，如果一个数列从第二项起.，每一项与它的前一项的比等于同一个常数.，那么这个数列就叫做等比数 列，这个常数叫做等比数列的公比；公比通常用字母q表示（q 0），即：an 1: an q（q 0）（一）、递推关系与通项公式递推关系：an 1 anq通项公式：an a1 qn 1推广：an am qnm1 在等比数列 an中,a14, q 2，则an 2. 在等比数列 an中，a712,q 近,则a19.3. （07重庆文）在等比数列an中，a2= 8, a1 = 64,则公比q为（）（A） 2（ B） 3（ C） 4（ D） 84.在等比数列 an中，a22 , a 5 54，贝U a$ =5.

15、在各项都为正数的等比数列an中，首项a1 3，前三项和为21,则a3 a aA 33 B 72 C 84 D 189（二）、等比中项：若三个数 a,b,c成等比数列，则称b为a与c的等比中项，且为bac,注：b2ac是成等比数列的必要而不充分条件.例：1. 2.3和2.3的等比中项为（）(A)1(B) 1(C) 1(D)2的前n项和Sn =2.(重庆卷文)设an是公差不为0的等差数列，ai 2且31,33,36成等比数列，则an( )n2 7n2 n5n2 n3n2A.B.C .D.n n443324(三)、等比数列的基本性质,1. (1)若 m n pq,则 3m3n3P3q(其中m,n,

16、p,qN )n m (全国文，21)设等比数列 3n 的前n2(2) q，3n3n m 3n m(nN)3 m(3) 3n为等比数列，则下标成等差数列的对应项成等比数列.(4) 3n既是等差数列又是等比数列3n是各项不为零的常数列例：1 在等比数列 3n中，&和3io是方程2x2 5X 1 0的两个根，则34 37 ()5血11(A)(B)(C)(D);22222.在等比数列 3n ，已知31 5 , 39310 100，则318 =3.等比数列a.的各项为正数，且353634 3718,则 log 3 31log 3 32Llog 3 310A . 12B . 10 C.2+ log3 54

17、.(广东卷)已知等比数列3n满足3n0,n1,2,L，且3532n 52n /2 (n 3)则当n1时,log 2 31 log 2 33 Llog 2 32n(四)、Sn例:A. n(2n 1)等比数列的前na31(1qn)B.(n1)2C.D.(n 1)2n项和,(q 1)313nq1 q(q1)1.已知等比数列3n的首相312(北京卷)设f (n) 2242n八2 n 1A . -(81)B . y(85 ,27公比2101)2 ,23nn项和Sn则其前10(n N)，则 f (n)等于()2 n 32 n 4(81) D . -(81)n项和为S，若S3+ S6= 2$,求数列的公比

18、q；(五) .等比数列的前n项和的性质若数列an是等比数列，Sn是其前n项的和，k N ,那么Sk, S2k Sk , S3k S2k成等比数列例：1.(辽宁卷)设等比数列 an的前n项和为Sn，若S6SS3 =3，则S6 =A. 2B.3C.3D.32. 一个等比数列前n项的和为48,前2 n项的和为60,则前3n项的和为()A. 83 B 108C .75D . 633.已知数列an是等比数列，且Sm 10, S2m 30,则Ssm (六) 、等比数列的判定法o(1 )定义法：q (常数)an为等比数列;an2(2) 中项法：an 1an an 2 (an 0)an为等比数列；(3) 通项

19、公式法：an k qn (k,q为常数)an为等比数列；(4) 前n项和法：Sn k(1 qn)( k,q为常数)an为等比数列。Snk kqn (k,q为常数)a.为等比数列。例：1.已知数列an的通项为an 2n,则数列an为()A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断2.已知数列an、卄2满足 an 1an an2(an 0)，则数列an为()A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断3.已知一个数列an的前n项和Sn22n 1，则数列an为()A.等差数列B.等比数列 C.既不是等差数列也不是等比数列D.无法判断四、求数列通项公

20、式方法(1 )公式法(定义法)根据等差数列、等比数列的定义求通项例: 1已知等差数列an满足：a3 7,a5 ay 26,求an;22. 等比数列an的各项均为正数，且 2a1 3a2 1, a39a2a6，求数列a.的通项公式23. 已知数列an满足a1 2, a2 4且an 2 an an 1( n N ),求数列an的通项公式；4.已知数列an满足a12,且an15n 125n)( n N )，求数列an的通项公式;5.数列已知数列 an满足ah1,an 4an 1 1(n 1).则数列an的通项公式=2(2)累加法1、累加法适用于：an i an f(n)若 an 1 anf (n)

21、(n 2)，则a2 ai f(1) a3 a2 f (2) LLan 1 anf(n)n两边分别相加得 an 1 a1f(n)k 11例：1已知数列an满足a1,2an 12 ，求数列an的通项公式。4n 12.已知数列an满足an 1an2n 1，a1 1，求数列an的通项公式。3.已知数列an满足an 1an 2 3n 1，a1 3，求数列an的通项公式。(3) 累乘法适用于：an 1f(n )anan 1若anf(n),则a2a1f(1，sf(2)丄L 詈 f(n)两边分别相乘得,an 1例：1.已知数列2.已知数列a1a1an满足anan满足a1f(k)2( n1)5na13，求数列a

22、n的通项公式。，annn 1*，求 an 。3.已知 a13 , an 13n 13n 2an(n1)，求 an 。(4) 待定系数法适用于 an i qan f (n)例：1.已知数列an中，a11,an2an 11(n2)，求数列an的通项公式。2.(重庆，文,14)在数列an中，若a11,an12an 3(n1)，则该数列的通项an3.已知数列 an满足a11,an 12an1(nN ).求数列an的通项公式；(5 )递推公式中既有SnS n i分析：把已知关系通过 an转化为数列 an或Sn的递推关系，然后采用相应的方法求解。Sn Sn 1, n 2n11.(北京卷)数列an的前n项和为S,且a1=1, a