word完整版勾股定理知识点总结经典例题推荐文档

1、知识点及例题知识点一：勾股定理如果直角三角形的两直角边长分别为：a，b,斜边长为c,那么a2 + b2= c2.即直角三角形中两直角边的平方和等于斜边的平方.c2=(a+b) 2-2ab方法图（1） 中方法三：将四个全等的直角三角形分别拼成如图要点诠释：（1）勾股定理揭示的是直角三角形平方关系的定理。（2 ）勾股定理只适用于直角三角形，而不适用于锐角三角形和钝角三角。 （3）理解勾股定理的一些变式：c2=a2+b2, a2=c2-b2, b2=c2-a2 ,知识点二：用面积证明勾股定理方法一：将四个全等的直角三角形拼成如图（1）所示的正方形。2 _ 1 ,，所以卜十厂2J1= u =+4x a

2、b勺 q 了图（2 ）中，所以-=；。在（3） 1中，甲的面积=（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）， 在（3） 2中，乙和丙的面积和 =（大正方形面积）一（4个直角三角形面积）2 2所以，甲的面积=乙和丙的面积和，即：亡二盘+B 方法四：如图（4）所示，将两个直角三角形拼成直角梯形。ADaAXbBc,所以。知识点三：勾股定理的作用1已知直角三角形的两条边长求第三边；2 .已知直角三角形的一条边，求另两边的关系；3用于证明平方关系的问题；4 利用勾股定理，作出长为的线段。2.在理解的基础上熟悉下列勾股数满足不定方程X2+y2=z2的三个正整数，称为勾股数(又称为高数或毕达哥拉斯数)，显然，

3、以X,y,Z为三边长的三角形一定是直角三角形。熟悉下列勾股数，对解题是会有帮助的：3、4、55、12、13; 8、15、17; 7、24、25； 10、24、26; 9、40、41 .如果(a,b,c)是勾股数，当t0时，以at,bt,ct为三角形的三边长，此三角形必为直角三角形。 经典例题透析类型一：勾股定理的直接用法1、在 Rt ABC 中，/ C=90 (1) 已知 a=6, c=10，求 b,(2)已知 a=40, b=9，求 c；(3)已知 c=25, b=15，求 a.思路点拨：写解的过程中，一定要先写上在哪个直角三角形中，注意勾股定理的变形使用。解析：(1)在厶ABC中，/ C=

4、90(2) 在厶 ABC 中，/ C=90,a=6, c=10,b= -,a=40, b=9,c=宀总结升华：有一些题目的图形较复杂，但中心思想还是化为直角三角形来解决。如：不规则图形的面积，可转化(3) 在厶 ABC 中，/ C=90,c=25, b=15,a=、 二 -为特殊图形求解，本题通过将图形转化为直角三角形的方法，把四边形面积转化为三角形面积之差或和。举一反三【变式】：如图/ B=Z ACD=90 , AD=13,CD=12, BC=3,则AB的长是多少 【答案I：/ ACD=90 AD=13, CD=12 AC2 =AD2-CD2=132- 122=25 AC=5又/ ABC=9

5、0 且 BC=3由勾股定理可得AB 2=AC2-BC2=52 - 32=16 AB= 4 AB的长是4.类型二：勾股定理的构造应用2、如图，已知：在一圧匚中,ZS = 60 JC-70 AB=30求：BC的长.角的直角三角形，为此作二于D，则有A30思路点拨：由条件一丘一匚厂，想到构造含o BD=-AB = 二七丄=，二，再由勾股定理计算出 AD、DC的长，进而求出BC的长.解析：作.于D，则因. a6L二別 (妣的两个锐角互余)-(在己中，如果一个锐角等于那么它所对的直角边等于斜边的一半） 根据勾股定理，在 门_上匚中，AD= AB2-BD2 =加-用=巴柘.根据勾股定理，在中，CD二且疔=

6、击 1空曲-65 .眈D + DS&5+15= 80 .当题目中没有垂直条件时，也经常作垂线构总结升华：利用勾股定理计算线段的长，是勾股定理的一个重要应用造直角三角形以便应用勾股定理举一反三【变式i】如图，已知：一uv,上佶一二于p.求证：二 丨工思路点拨：图中已有两个直角三角形，但是还没有以 BP为边的直角三角形.因此，我们考虑构造一个以BP为边的直角三角形.所以连结BM.这样，实际上就得到了4个直角三角形.那么根据勾股定理，可证明这几条线段的平方之间的关系.解析：连结BM，根据勾股定理，在 习丄三丄丁中，.而在立七丄注二中，则根据勾股定理有0二曲_的.二又（已知），.加=敷_凶+ A2.8

7、282.732图（4）的连接线路最短，即图（4）的架设方案最省电线.总结升华：在实际生产工作中，往往工程设计的方案比较多，需要运用所学的数学知识进行计算，比较从中选出 最优设计本题利用勾股定理、等腰三角形的判定、全等三角形的性质.举一反三【变式】如图，一圆柱体的底面周长为20cm，高AE为4cm, BC是上底面的直径.一只蚂蚁从点A出发，沿着圆柱的侧面爬行到点 C,试求出爬行的最短路程.解:如图，在Rt ABC中，EC=底面周长的一半=10 cm ,根据勾股定理得（提问：勾股定理） AC =10.77（ cm）（勾股定理）答：最短路程约为1 0.77 cm.类型四：利用勾股定理作长为而 的线段

8、5、作长为二：、宀、 “的线段。思路点拨：由勾股定理得，直角边为1的等腰直角三角形，斜边长就等于，直角边为丿 和1的直角三角形斜边长就是，类似地可作。作法：如图所示（1）作直角边为1 （单位长）的等腰直角（2）以AB为一条直角边，作另一直角边为（3）顺次这样做下去，最后做到直角三角形 血、朽、的、的。ACB，使AB为斜边；1的直角-丄严上。斜边为一 L ;血邑，这样斜边丿月、朋L、貝耳：、朋主的长度就是总结升华：（1 ）以上作法根据勾股定理均可证明是正确的；（2）取单位长时可自定。一般习惯用国际标准的单位,如1cm、1m等，我们作图时只要取定一个长为单位即可。举一反三【变式】在数轴上表示 *的

9、点。解析：可以把F 看作是直角三角形的斜边，_ 1 ,为了有利于画图让其他两边的长为整数， 而10又是9和1这两个完全平方数的和，得另外两边分别是3和1。I 可 1*作法：如图所示在数轴上找到 A点，使OA=3，作AC丄OA且截取AC=1，以OC为半径， 以O为圆心做弧，弧与数轴的交点B即为J】。类型五：逆命题与勾股定理逆定理6、写出下列原命题的逆命题并判断是否正确1原命题：猫有四只脚.（正确）2. 原命题：对顶角相等（正确）3原命题：线段垂直平分线上的点，到这条线段两端距离相等.（正确）4原命题：角平分线上的点，至U这个角的两边距离相等.（正确）思路点拨：掌握原命题与逆命题的关系。解析：1.

10、逆命题：有四只脚的是猫（不正确）2. 逆命题：相等的角是对顶角（不正确）3. 逆命题：到线段两端距离相等的点，在这条线段的垂直平分线上.？（正确）4. 逆命题：到角两边距离相等的点，在这个角的平分线上.（正确）总结升华：本题是为了学习勾股定理的逆命题做准备。7、如果 ABC的三边分别为 a、b、c,且满足a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，判断 ABC的形状。思路点拨：要判断厶ABC的形状，需要找到a、b、c的关系，而题目中只有条件a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，故只有从该条件入手，解决问题。解析：由 a2+b2+c2+50=6a+8b+10c，得： a2-6a+9+b2-

11、8b+16+c2-10c+25=0, (a-3)2+(b-4)2+(c-5)2=0。/ (a-3)2 0, (b-4)2 0, (c-5)2 0。 a=3, b=4, c=5。- 32+42=52,- a2+b2=c2。由勾股定理的逆定理，得 ABC是直角三角形。总结升华：勾股定理的逆定理是通过数量关系来研究图形的位置关系的，在证明中也常要用到。BC=4 , CD=12 , AD=13，求四边形 ABCD 的面积。CD =36举一反三【变式1】四边形 ABCD中，/ B=90 , AB=3 , 【答案】：连结AC/ B=90 , AB=3 , BC=4 AC2=AB 2+BC2=25 （勾股定

12、理） AC=5T AC2+CD2=169 , AD 2=169 AC2+CD2=AD 2/ ACD=90 （勾股定理逆定理）绻+ 九=-A BC【变式2】已知： ABC的三边分别为 m2 n2,2mn,m2+n2(m,n为正整数，且m n),判断 ABC是否为直角三角形 分析:本题是利用勾股定理的的逆定理，只要证明:a2+b2=c2即可证明.(讦-a)a +三衬一 2神记+4 + 4加1*二执*十加W十所以 ABC是直角三角形.【变式3】如图正方形 ABCD , E为BC中点，F为AB上一点，且BF= “ AB。 请问FE与DE是否垂直？请说明。【答案】答：DE丄EF。证明：设 BF=a，贝U

13、 BE=EC=2a, AF=3a , AB=4a, EF2=BF2+BE2=a2+4a2=5a2；DE2=CE2+CD2=4a2+16a2=20a2。连接DF (如图)DF2=AF2+AD 2=9a2+16a2=25a2。 DF2=EF2+DE2, FE丄 DE。经典例题精析类型一：勾股定理及其逆定理的基本用法越1、若直角三角形两直角边的比是3： 4,斜边长是20,求此直角三角形的面积。思路点拨：在直角三角形中知道两边的比值和第三边的长度，求面积，可以先通过比值设未知数，再根据勾股定 理列出方程，求出未知数的值进而求面积。解析：设此直角三角形两直角边分别是3x, 4x，根据题意得：(3x) 2

14、+ (4x) 2 = 202化简得x2= 16;1直角三角形的面积= 二X 3xX4x = 6x2= 96总结升华：直角三角形边的有关计算中，常常要设未知数，然后用勾股定理列方程(组)求解。 举一反三【变式1】等边三角形的边长为 2,求它的面积。【答案】如图，等边 ABC，作AD丄BC于DJ.贝U: BD =2 BC (等腰三角形底边上的高与底边上的中线互相重合) AB = AC = BC = 2 (等边三角形各边都相等) BD = 1在直角三角形 ABD 中，AB2= AD2+bd2,即：AD2= AB2 BD2= 4 1= 3 AD =丄Sa ABC =1 BC AD = 、 注：等边三角

15、形面积公式：若等边三角形边长为a,则其面积为二a。【变式2】直角三角形周长为 12cm,斜边长为5cm，求直角三角形的面积。 【答案】设此直角三角形两直角边长分别是x, y,根据题意得：卜十尹十5 2由(1)得：x+y = 7,(x+y ) 2= 49, x2+2xy+y2 = 49 (3)(3) (2),得：xy = 121 1直角三角形的面积是 2 xy =2 x 12= 6 (cm2)【变式3】若直角三角形的三边长分别是n+1 , n+2, n+3 ,求n。思路点拨：首先要确定斜边(最长的边)长 n+3,然后利用勾股定理列方程求解。 解：此直角三角形的斜边长为n+3,由勾股定理可得：(n

16、+1) 2+ (n+2) 2=(n+3) 2化简得：n2= 4 n = 2，但当 n = 2 时，n+1 = 10 , n = 2总结升华：注意直角三角形中两“直角边”的平方和等于“斜边”的平方，在题目没有给出哪条是直角边哪条是 斜边的情况下，首先要先确定斜边，直角边。【变式4】以下列各组数为边长，能组成直角三角形的是()A、 8, 15, 17B、 4, 5, 6C、 5, 8, 10D、 8, 39, 40解析：此题可直接用勾股定理的逆定理来进行判断，对数据较大的可以用 c2= a2+b2的变形：b2 = c2 a2=( c a) (c+a)来判断。例如：对于选择D ,/ 82工(40+3

17、9)X( 40 39), 以8, 39 , 40为边长不能组成直角三角形。同理可以判断其它选项。【答案】：ABC=4 , CD=12 , AD=13，求四边形 ABCD 的面积。【变式5】四边形ABCD中，/ B=90 , AB=3 , 解：连结AC/ B=90 , AB=3 , BC=4 AC2=AB 2+BC2=25 （勾股定理） AC=5 AC 2+CD2=169, AD 2=169 AC 2+CD2=AD2 / ACD=90 （勾股定理逆定理）1 1 S 四边形 ABCD =SaABC +SaACD= AB-BC+ 二 AC CD=36类型二：勾股定理的应用2、如图，公路 MN和公路P

18、Q在点P处交汇，且/ QPN= 30，点A处有一所中学，AP = 160m。假设拖拉机行 驶时，周围100m以内会受到噪音的影响，那么拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校是否会受到噪声影响？请说明理由，如果受影响，已知拖拉机的速度为18km/h，那么学校受影响的时间为多少秒？思路点拨：(1)要判断拖拉机的噪音是否影响学校A，实质上是看 A到公路的距离是否小于 100m,小于100m则受影响，大于100m则不受影响，故作垂线段 AB并计算其长度。(2)要求出学校受影响的时间，实质是要求拖拉机对 学校A的影响所行驶的路程。因此必须找到拖拉机行至哪一点开始影响学校，行至哪一点后结束影响学校。解析

19、：作AB丄MN，垂足为B。在 Rt ABP 中，/ ABP = 90,/ APB = 30, AP = 160,2 AB =2 AP = 80。(在直角三角形中，30所对的直角边等于斜边的一半)点A到直线MN的距离小于100m,这所中学会受到噪声的影响。如图，假设拖拉机在公路 MN上沿PN方向行驶到点C处学校开始受到影响，那么AC = 100(m),由勾股定理得：BC2= 1002-802= 3600, BC = 60。同理，拖拉机行驶到点 D处学校开始脱离影响，那么，AD = 100(m), BD = 60(m), CD = 120(m)。拖拉机行驶的速度为：18km/h = 5m/st=

20、120m 十 5m/s = 24s。答：拖拉机在公路MN上沿PN方向行驶时，学校会受到噪声影响，学校受影响的时间为24秒。总结升华：勾股定理是求线段的长度的很重要的方法，若图形缺少直角条件，则可以通过作辅助垂线的方法，构造直角三角形以便利用勾股定理。举一反三【变式1】如图学校有一块长方形花园，有极少数人为了避开拐角而走“捷径”，在花园内走出了一条路”。他们仅仅少走了 步路(假设2步为1m),却踩伤了花草。解析：他们原来走的路为3+4= 7(m)设走“捷径”的路长为 xm，贝U故少走的路长为 7 5= 2(m)又因为2步为1m，所以他们仅仅少走了 4步路。【答案】41的正三角形，这样的三【变式2

21、】如图中的虚线网格我们称之为正三角形网格，它的每一个小三角形都是边长为1角形称为单位正三角形。(1) 直接写出单位正三角形的高与面积。(2) 图中的平行四边形 ABCD含有多少个单位正三角形？平行四边形ABCD的面积是多少?(3) 求出图中线段 AC的长(可作辅助线)。【答案】(1)单位正三角形的高为-，面积是-所以关键是线段的转化,思路点拨:三角24x=茁(2)如图可直接得出平行四边形ABCD含有24个单位正三角形，因此其面积(3) 过A作AK丄BC于点K (如图所示)，则在Rt ACK中,叶15 AC-4KCKC =1+ 1 4-=，故 类型三：数学思想方法(一)转化的思想方法 我们在求三角形的边或角，或进行推理论证时，常常作垂线，构造直角三角形，将问题转化为直角三角形问题来解决.3、如图所示， ABC是等腰直角三角形， AB=AC , D是斜边BC的中点,E、F分别是AB、AC边上的点，且D总结 了解：当已 角三角形(二)4、如总结升华: 举一反三:EF的长。形的中线有特殊的性质，不妨先连接AD .解：连接AD .因为Z BAC=90 , AB=AC .